Mit Google fortfahren
h-Methode: Ableitungen Schritt für Schritt
Mit der h-Methode leitest du eine Funktion direkt aus der Definition der Ableitung ab. Du berechnest zunächst Sekantensteigungen für einen Abstand $h \ne 0$ und lässt diesen Abstand anschließend gegen $0$ gehen. Existiert der Grenzwert, erhältst du die Tangentensteigung und damit die Ableitung.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Wie wird aus einer Sekante eine Tangente?
Wähle auf dem Graphen von $f$ zwei Punkte mit den x-Werten $x$ und $x+h$. Ihre waagerechte Entfernung beträgt $h$.
Differenzenquotient
Der Differenzenquotient
$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
beschreibt für $h \ne 0$ die Steigung der Geraden durch die beiden Punkte. Diese Gerade heißt Sekante.
Nun lässt du $h$ gegen $0$ gehen. Der zweite Punkt nähert sich dem ersten Punkt, und die Sekante nähert sich der Tangente.
Differentialquotient
Der Grenzwert der Sekantensteigungen heißt Differentialquotient. Existiert er, ist er die Ableitung:
$$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
Der Wert $f'(x)$ ist die Tangentensteigung an der Stelle $x$.
Der Differenzenquotient beschreibt eine Sekantensteigung bei einem Abstand $h \ne 0$. Sein Grenzwert für $h\to0$ beschreibt die Tangentensteigung.
Wie wendest du die h-Methode an?
Gehe immer in derselben Reihenfolge vor:
- Schreibe die Formel der h-Methode auf.
- Bilde $f(x+h)$, indem du in der Funktionsvorschrift jedes $x$ durch $x+h$ ersetzt.
- Setze $f(x+h)$ und $f(x)$ in den Zähler ein.
- Löse Klammern auf und fasse gleichartige Terme zusammen.
- Klammere $h$ aus dem gesamten Zähler aus.
- Kürze den gemeinsamen Faktor $h$. Das ist zulässig, weil während dieser Umformung $h \ne 0$ gilt.
- Bestimme erst jetzt den Grenzwert für $h\to0$.
Bei einer bestimmten Stelle $x_0$ verwendest du dieselbe Idee:
$$f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$
Die Schreibweise mit $x$ liefert eine Ableitungsfunktion. Die Schreibweise mit $x_0$ liefert die Steigung an einer bestimmten Stelle.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Zuerst bildet man . Danach werden die Terme im Zähler . Ein gemeinsamer Faktor $h$ darf erst werden. Anschließend bestimmt man den .
Wie leitest du f(x)=x² vollständig her?
Wir bestimmen die Ableitungsfunktion von $f(x)=x^2$.
1. In die h-Formel einsetzen
Da $f(x+h)=(x+h)^2$ und $f(x)=x^2$ gilt:
$$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}$$
2. Binomische Formel anwenden
$$(x+h)^2=x^2+2xh+h^2$$
Damit folgt:
$$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}$$
3. Zusammenfassen und $h$ ausklammern
Die Terme $x^2$ und $-x^2$ heben sich auf:
$$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{2xh+h^2}{h}$$
Im gesamten Zähler steckt der Faktor $h$:
$$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{h(2x+h)}{h}$$
4. Für $h\ne0$ kürzen
$$f'(x)=\lim_{h\to0}(2x+h)$$
5. Grenzwert bestimmen
Wenn $h$ gegen $0$ geht, geht $2x+h$ gegen $2x$. Deshalb:
$$f'(x)=2x$$
Das Kürzen von $h$ beseitigt die problematische Division durch einen immer kleiner werdenden Abstand. Danach lässt sich der Grenzwert bestimmen.
Wie erhältst du die Steigung an einer Stelle?
Die Ableitungsfunktion $f'(x)=2x$ ordnet jeder Stelle die passende Tangentensteigung zu. Du musst die h-Methode deshalb nicht für jede Stelle neu durchführen.
Für $f(x)=x^2$ soll die Steigung an der Stelle $x=3$ bestimmt werden.
Die hergeleitete Ableitung lautet $f'(x)=2x$. Setze $x=3$ ein:
$$f'(3)=2\cdot3=6$$
Die Tangente an den Graphen von $f(x)=x^2$ hat bei $x=3$ die Steigung $6$.
Welche Fehler solltest du vermeiden?
Fehler 1: h sofort gleich 0 setzen
Im ursprünglichen Quotienten steht $h$ im Nenner. Mit $h=0$ würdest du durch $0$ teilen. Du darfst nur untersuchen, welchem Wert der umgeformte Ausdruck zustrebt, wenn $h$ gegen $0$ geht.
Fehler 2: f(x+h) falsch bilden
Bei $f(x)=x^2$ gilt $f(x+h)=(x+h)^2$ und nicht $x^2+h$. Das Argument $x+h$ ersetzt jedes $x$ der Funktionsvorschrift.
Fehler 3: h nur aus einem Summanden kürzen
In $2xh+h^2$ ist $h$ ein Faktor beider Summanden. Deshalb darfst du $h$ aus dem gesamten Zähler ausklammern. Ohne gemeinsamen Faktor ist Kürzen nicht erlaubt.
Jetzt bist du dran
Bestimme mit der punktbezogenen h-Methode die Steigung von $f(x)=x^2$ an der Stelle $x_0=3$.
Lösung
Setze $x_0=3$ ein:
$$f'(3)=\lim_{h\to0}\frac{(3+h)^2-3^2}{h}$$
Multipliziere aus und fasse zusammen:
$$f'(3)=\lim_{h\to0}\frac{6h+h^2}{h}$$
Klammere $h$ aus und kürze für $h\ne0$:
$$f'(3)=\lim_{h\to0}(6+h)$$
Nun darfst du den Grenzwert bestimmen:
$$f'(3)=6$$
Die Tangentensteigung an der Stelle $x_0=3$ beträgt $6$.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- h-Methode
- Ausgangspunkt: Sekantensteigung bei $h\ne0$
- Annäherung: $h$ geht gegen $0$
- Geometrische Idee: Sekante nähert sich der Tangente
- Formel: $f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
- Algebra: einsetzen, umformen, $h$ ausklammern und kürzen
- Ergebnis für $f(x)=x^2$: $f'(x)=2x$
- Anwendung: $f'(x_0)$ ist die Tangentensteigung an $x_0$
Abschluss-Check
Wenn du Sekante, Grenzwert und Tangente miteinander verbinden und den Rechenweg begründen kannst, hast du die Kernidee der h-Methode verstanden.