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Die h-Methode zeigt, woher die Ableitung kommt. Statt nur Regeln auswendig zu nutzen, berechnest du die momentane Steigung als Grenzwert von Sekantensteigungen.
- Ich kann die mittlere und momentane Änderungsrate unterscheiden.
- Ich kann den Differenzenquotienten aufstellen.
- Ich kann mit der h-Methode einfache Ableitungen berechnen.
- Ich kann den Grenzübergang $h\to0$ erklären.
Von Sekante zu Tangente
Zwischen zwei Punkten eines Graphen misst du eine durchschnittliche Steigung. Wenn der zweite Punkt immer näher an den ersten rückt, entsteht die Tangentensteigung.
h-Methode
Die h-Methode berechnet die Ableitung mit \(f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\). Dabei ist \(h\) der Abstand zwischen zwei x-Werten.
Für eine Strecke von \(x\) nach \(x+h\) ist die Änderung in y gleich \(f(x+h)-f(x)\).
Die Änderung in x ist \(h\).
Der Quotient beschreibt die Sekantensteigung.
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Beispiel mit \(f(x)=x^2\)
Die h-Methode wirkt lang, folgt aber immer denselben Schritten: einsetzen, ausmultiplizieren, kürzen, Grenzwert bilden.
\(f(x)=x^2\).
\(f(x+h)=(x+h)^2=x^2+2xh+h^2\).
\(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}\).
\(=\frac{2xh+h^2}{h}=2x+h\).
Für \(h\to0\) ergibt sich \(f'(x)=2x\).
Du darfst erst kürzen, wenn der Zähler einen Faktor \(h\) enthält. Vorher wäre Teilen durch 0 das Problem.
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Beispiel mit linearen Funktionen
Bei linearen Funktionen ist die Ableitung konstant. Die h-Methode zeigt das sauber.
\(f(x)=3x+5\).
\(f(x+h)=3(x+h)+5=3x+3h+5\).
\(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{3x+3h+5-(3x+5)}{h}\).
\(=\frac{3h}{h}=3\).
Also ist \(f'(x)=3\).
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Prüfungsmodus
Schreibe jeden Klammer- und Kürzungsschritt aus. Viele Fehler entstehen beim Ausmultiplizieren von \((x+h)^2\).
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
Die h-Methode erklärt die Ableitung als Grenzwert. Du berechnest die Steigung zwischen zwei nahen Punkten und lässt den Abstand \(h\) gegen 0 gehen. Sorgfältiges Ausmultiplizieren ist der wichtigste Rechenschritt.