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Mittlere Änderungsrate berechnen und deuten
Die mittlere Änderungsrate sagt dir, wie stark sich ein Funktionswert in einem Intervall durchschnittlich pro Einheit verändert. Grafisch ist sie die Steigung der Geraden durch die beiden Randpunkte des Graphen.
Du brauchst dafür nur die Funktionswerte am Anfang und am Ende des Intervalls. Der Verlauf dazwischen beeinflusst das Ergebnis nicht.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was misst die mittlere Änderungsrate?
Betrachte ein Intervall $[a;b]$ mit $a \ne b$. Auf dem Graphen liegen die Randpunkte $A(a\mid f(a))$ und $B(b\mid f(b))$. Die Gerade durch diese beiden Punkte heißt Sekante.
Mittlere Änderungsrate
Die mittlere Änderungsrate ist die durchschnittliche Änderung von $f(x)$ pro einer Einheit von $x$ im Intervall $[a;b]$. Sie entspricht der Steigung der Sekante durch die Randpunkte.
Für die Berechnung verwendest du den Differenzenquotienten:
$$m=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
Im Zähler steht die Änderung der Funktionswerte. Im Nenner steht die Änderung der Eingabewerte. Kurz: Änderung nach oben oder unten geteilt durch Änderung nach rechts.
Ordne die Werte in Zähler und Nenner gleich: Endwert minus Anfangswert. So vermeidest du Vorzeichenfehler.
So berechnest du den Differenzenquotienten
Gehe in vier Schritten vor:
- Lies die Intervallgrenzen $a$ und $b$ ab.
- Bestimme $f(a)$ und $f(b)$.
- Setze die vier Werte in den Differenzenquotienten ein.
- Prüfe Vorzeichen, Einheit und Bedeutung des Ergebnisses.
Die Funktion $f(x)=5x^2$ beschreibt eine Keimzahl; $x$ ist die Zeit in Minuten. Gesucht ist die mittlere Änderungsrate im Intervall $[3;9]$.
Zuerst bestimmst du die Randwerte:
$$f(3)=45 \qquad\text{und}\qquad f(9)=405$$
Dann setzt du sie ein:
$$m=\frac{405-45}{9-3}=\frac{360}{6}=60$$
Die Keimzahl nimmt zwischen Minute 3 und Minute 9 durchschnittlich um 60 Keime pro Minute zu. Die Einheit entsteht aus „Keime geteilt durch Minuten“.
So deutest du Vorzeichen und Verlauf
Das Vorzeichen zeigt, wie sich die Randwerte unterscheiden:
- $m>0$: Der Endwert ist größer als der Anfangswert.
- $m<0$: Der Endwert ist kleiner als der Anfangswert.
- $m=0$: Anfangs- und Endwert sind gleich.
Beim Abkühlen eines Kuchens ergibt sich in den ersten elf Minuten eine mittlere Änderungsrate von ungefähr $-5{,}9$. Das Minuszeichen bedeutet: Die Temperatur nimmt ab. In Worten kühlt der Kuchen durchschnittlich um etwa 5,9 °C pro Minute ab.
Die mittlere Änderungsrate kennt nur die beiden Randwerte. Ein Graph kann im Intervall zunächst fallen und später stärker steigen. Liegt der Endwert trotzdem über dem Anfangswert, ist die mittlere Änderungsrate positiv.
Eine positive mittlere Änderungsrate bedeutet nicht, dass die Funktion an jeder Stelle des Intervalls steigt. Sie fasst nur die gesamte Änderung zwischen Anfang und Ende zusammen.
Mittlere oder momentane Änderungsrate?
Die mittlere Änderungsrate beschreibt ein ganzes Intervall. Du berechnest sie mit dem Differenzenquotienten; grafisch ist sie eine Sekantensteigung.
Die momentane Änderungsrate beschreibt die Änderung an einer einzelnen Stelle. Grafisch ist sie die Steigung der Tangente, rechnerisch der Wert der Ableitung an dieser Stelle.
Wenn die beiden Randpunkte einer Sekante immer näher zusammenrücken, nähert sich die Sekante einer Tangente. So führt die Idee der mittleren zur momentanen Änderungsrate.
Für $f(x)=5x^2$ beträgt die mittlere Änderungsrate im Intervall $[3;9]$ genau $60$ Keime pro Minute. An der Stelle $x=3$ beträgt die momentane Änderungsrate dagegen $f'(3)=30$ Keime pro Minute.
Die Zahlen beantworten verschiedene Fragen: $60$ fasst sechs Minuten zusammen; $30$ beschreibt die Änderung genau bei Minute 3.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Mittlere Änderungsrate
- Bedeutung: durchschnittliche Änderung im Intervall
- Rechnung: Differenzenquotient
- Grafik: Steigung der Sekante
- Deutung: Vorzeichen und Einheit
- Abgrenzung: momentane Rate als Tangentensteigung