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Wenn ein Fahrrad in 2 Stunden 38 Kilometer fährt, interessiert dich die durchschnittliche Geschwindigkeit. Genau diese Idee steckt hinter der mittleren Änderungsrate.
- Ich kann das Thema Mittlere Änderungsrate in eigenen Worten erklären.
- Ich kann typische Aufgaben zu diesem Thema Schritt für Schritt lösen.
- Ich kann wichtige Begriffe erkennen und voneinander unterscheiden.
- Ich kann meine Rechnung oder Entscheidung mit einer Probe kontrollieren.
Worum es geht
Die mittlere Änderungsrate beschreibt, wie stark sich ein Funktionswert durchschnittlich pro x-Einheit ändert. Graphisch ist sie die Steigung der Sekante durch zwei Punkte.
Mittlere Änderungsrate
Die mittlere Änderungsrate von \(f\) im Intervall \([a,b]\) ist \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\).
Änderung im y-Wert geteilt durch Änderung im x-Wert.
Schritt für Schritt
Berechne zuerst \(f(a)\) und \(f(b)\). Bilde die Differenz der Funktionswerte. Teile durch die Länge des Intervalls \(b-a\) und deute die Einheit.
\(f(x)=x^2\) von 1 bis 4.
\(f(1)=1\), \(f(4)=16\). Mittlere Änderungsrate: \(\frac{16-1}{4-1}=\frac{15}{3}=5\).
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Typische Fehler vermeiden
Verwechsle nicht \(f(b)-f(a)\) mit \(b-a\). Oben stehen Funktionswerte, unten stehen x-Werte.
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Prüfungsmodus
In Sachaufgaben gehören Einheiten dazu, zum Beispiel Kilometer pro Stunde oder Meter pro Sekunde.
Ein Auto fährt von Kilometer 20 auf Kilometer 95 in 1,5 Stunden.
Änderung: \(95-20=75\) km. Rate: \(75:1{,}5=50\) km/h.
Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Die mittlere Änderungsrate ist eine Durchschnittssteigung. Sie verbindet Rechnen mit Graphen und ist die Vorbereitung auf momentane Änderungsraten.