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Momentane Änderungsrate einfach erklärt
Die momentane Änderungsrate beschreibt, wie stark sich ein Funktionswert an einer bestimmten Stelle ändert. Sie ist die Steigung der Tangente am Graphen und entspricht der Ableitung $f'(a)$, sofern der zugehörige Grenzwert existiert.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Von der mittleren zur momentanen Änderung
Stell dir vor, $f(t)$ gibt den zurückgelegten Weg eines Fahrzeugs an. Dann beantwortet die mittlere Änderungsrate die Frage: Wie schnell war das Fahrzeug durchschnittlich während eines Zeitintervalls?
Für das Intervall $[a;b]$ gilt:
$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
Der Zähler beschreibt die Änderung der Funktionswerte, der Nenner die Änderung der Eingabegröße. Grafisch ist der Quotient die Steigung einer Sekante, also einer Geraden durch die beiden Graphenpunkte.
Momentane Änderungsrate
Die momentane Änderungsrate beschreibt die Änderung einer Größe an einer einzelnen Stelle $a$. Sie wird mit $f'(a)$ bezeichnet und ist grafisch die Steigung der Tangente am Graphenpunkt $(a\mid f(a))$.
Für $f(t)=t^2$ beträgt die mittlere Änderungsrate zwischen $t=2$ und $t=5$:
$$\frac{f(5)-f(2)}{5-2}=\frac{25-4}{3}=7$$
Ist $t$ in Sekunden und $f(t)$ in Metern angegeben, lautet die Einheit $\mathrm{m/s}$. Der Wert $7\,\mathrm{m/s}$ ist ein Durchschnitt und noch nicht die Geschwindigkeit genau bei $t=2$.
Wie aus der Sekante eine Tangente wird
Um die Änderung genau bei $a$ zu untersuchen, wählst du einen zweiten Punkt mit der Stelle $a+h$. Die zugehörige Sekantensteigung lautet:
$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h},\qquad h\ne 0$$
Je näher $h$ an null rückt, desto näher rückt der zweite Graphenpunkt an den ersten. Besitzen die Sekantensteigungen dabei einen eindeutigen endlichen Grenzwert, ist dieser die momentane Änderungsrate:
$$f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$
Die Sekante geht in ihrer Grenzlage in die Tangente über. Deshalb sind momentane Änderungsrate, Differentialquotient, Ableitung an der Stelle und Tangentensteigung hier Bezeichnungen für denselben Wert.
Beim Grenzübergang wird nicht $h=0$ eingesetzt. Man untersucht, welchem Wert sich der Quotient für immer kleinere positive und negative Werte von $h$ nähert.
Direktes Einsetzen von $h=0$ würde den nicht definierten Ausdruck $0/0$ ergeben. Erst wird der Quotient für $h\ne0$ vereinfacht, danach wird der Grenzwert bestimmt.
Die h-Methode Schritt für Schritt
Berechne die momentane Änderungsrate von $f(x)=x^2$ bei $a=2$.
1. Differenzenquotienten aufstellen
$$\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{(2+h)^2-4}{h}$$
2. Zähler ausmultiplizieren
$$(2+h)^2-4=4+4h+h^2-4=4h+h^2$$
3. Für $h\ne0$ vereinfachen
$$\frac{4h+h^2}{h}=4+h$$
4. Grenzwert bilden
$$f'(2)=\lim_{h\to0}(4+h)=4$$
Die momentane Änderungsrate bei $x=2$ beträgt $4$. Die Tangente am Punkt $(2\mid4)$ hat daher die Steigung $4$.
Der entscheidende Schritt ist das Kürzen von $h$. Das ist erlaubt, weil der Quotient während der Umformung nur für $h\ne0$ betrachtet wird.
Probiere es selbst
Bestimme mit der h-Methode die momentane Änderungsrate von $f(x)=4-x^2$ bei $a=1$.
Änderungsraten im Sachzusammenhang deuten
Bei einer Wegfunktion $s(t)$ bedeutet $s(t)$ den zurückgelegten Weg. Die momentane Änderungsrate $s'(t)$ ist dagegen die Geschwindigkeit zu diesem Zeitpunkt.
Für $s(t)=0{,}2t^2$ ergibt die h-Methode bei $t=10$:
$$\frac{s(10+h)-s(10)}{h}=\frac{0{,}2(10+h)^2-20}{h}$$
Nach dem Ausmultiplizieren und Kürzen bleibt:
$$4+0{,}2h$$
Daher gilt:
$$s'(10)=\lim_{h\to0}(4+0{,}2h)=4$$
Wenn $t$ in Sekunden und $s(t)$ in Metern gemessen wird, fährt das Fahrzeug bei $t=10$ mit $4\,\mathrm{m/s}$. Der Funktionswert $s(10)=20\,\mathrm m$ bezeichnet hingegen den bis dahin zurückgelegten Weg.
Die Einheit einer Änderungsrate ist „Einheit der abhängigen Größe pro Einheit der unabhängigen Größe“, zum Beispiel Meter pro Sekunde oder Zentimeter pro Tag.
Wann existiert keine momentane Änderungsrate?
Ein Grenzwert muss nicht an jeder Stelle existieren. Für eine eindeutige momentane Änderungsrate müssen die Sekantensteigungen von links und von rechts demselben endlichen Wert zustreben.
An einer Ecke können sich von links und rechts unterschiedliche Steigungen ergeben. Dann gibt es an dieser Stelle keine eindeutige Tangentensteigung und damit keine momentane Änderungsrate im hier verwendeten Sinn.
Kleine Werte von $h$ liefern zunächst gute Näherungen. Auf einem Taschenrechner müssen extrem kleine Werte aber nicht zu besseren Ergebnissen führen, weil nur mit begrenzter Genauigkeit gerechnet wird. Der mathematische Grenzwert ist deshalb nicht dasselbe wie bloßes Ausprobieren mit immer mehr Dezimalstellen.
Typische Fehler sind:
- den Funktionswert $f(a)$ mit der Änderungsrate $f'(a)$ zu verwechseln;
- $h=0$ in den ursprünglichen Quotienten einzusetzen;
- nur die Annäherung von einer Seite zu betrachten;
- die Einheit oder das Vorzeichen im Sachzusammenhang zu ignorieren.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Momentane Änderungsrate $f'(a)$
- entsteht als Grenzwert von Sekantensteigungen
- wird mit dem Differentialquotienten berechnet
- entspricht der Tangentensteigung
- beschreibt bei Wegfunktionen die Momentangeschwindigkeit
- existiert nur bei einem eindeutigen endlichen Grenzwert
- unterscheidet sich vom Funktionswert $f(a)$
Abschluss-Check
Du hast das Ziel erreicht, wenn du bei einer Aufgabe zuerst zwischen Funktionswert, mittlerer Änderungsrate und momentaner Änderungsrate unterscheidest, den Differenzenquotienten korrekt vereinfachst und das Ergebnis mit Einheit und Bedeutung deutest.