Momentane Änderungsrate

Ein Tacho zeigt nicht die Durchschnittsgeschwindigkeit der ganzen Fahrt, sondern die Geschwindigkeit genau jetzt. Diese Idee steckt hinter der momentanen Änderungsrate.

    :::lernziele
    - Ich kann durchschnittliche und momentane Änderungsrate unterscheiden.

• Ich kann die Ableitung als momentane Änderungsrate deuten.

• Ich kann Tangentensteigungen berechnen.

• Ich kann Einheiten beachten. :::

    ## Grundidee
  
    Die durchschnittliche Änderungsrate nutzt zwei Punkte. Die momentane Änderungsrate entsteht, wenn diese zwei Punkte immer näher zusammenrücken. Dann erhältst du die Tangentensteigung.
  
    :::definition Momentane Änderungsrate
    Die **momentane Änderungsrate** beschreibt, wie schnell sich eine Größe in einem bestimmten Punkt ändert. Mathematisch ist sie der Ableitungswert an dieser Stelle.
    :::
  
    :::beispiel
    Bei f(x)=x^2 ist f'(x)=2x. An der Stelle x=3 ist die momentane Änderungsrate also f'(3)=6.
    :::
  
    :::merke
    Momentan heißt: Steigung an genau einer Stelle.
    :::
  
    :::quiz
    ?1 Was ist die momentane Änderungsrate von f(x)=x^2 bei x=3?
    + 6
    - 9 => 9 ist der Funktionswert, nicht die Steigung.
    ! 6 ist richtig.
    ?2 Was stellt die Tangente in diesem Zusammenhang dar?
    + Die Steigung im betrachteten Punkt.
    - Den Durchschnitt über ein langes Intervall. => Durchschnitt braucht zwei getrennte Punkte.
    ! Achte auf die genaue Regel und prüfe dein Ergebnis.
    :::
  
    ## Methode Schritt für Schritt
  
    Bestimme zuerst die Ableitung. Setze dann die gesuchte Stelle ein. Zum Schluss deutest du das Ergebnis mit Einheit und Kontext.
  
    :::beispiel
    Wenn s(t)=t^2 eine Strecke in Metern beschreibt, dann ist s'(t)=2t die Geschwindigkeit in Meter pro Sekunde. Bei t=4 beträgt sie 8 m/s.
    :::
  
    :::lueckentext
    Die momentane Änderungsrate ist der Wert der {*Ableitung|Stammfunktion} an einer Stelle.
    ! Wenn du die Schlüsselwörter richtig zuordnest, passt auch die Rechenidee.
    :::

Prüfungsmodus

In Klassenarbeiten erkennst du das Thema oft nicht am Namen, sondern an der Aufgabe. Frage dich zuerst: Was ist gegeben, was ist gesucht, und welche Bedingung muss am Ende stimmen?

    ## Alles auf einen Blick

    :::karten
    Sekante => durchschnittliche Änderungsrate

Tangente => momentane Änderungsrate Ableitungswert => Steigung im Punkt :::

    :::mindmap
    Änderungsrate

durchschnittlich momentan Ableitung Tangente Einheit :::

    ## Abschluss-Check

    :::quiz
    ?1 Warum muss die Einheit mitgedacht werden?
    + Weil eine Änderungsrate eine Größe pro anderer Größe beschreibt.
    - Weil Zahlen ohne Einheit immer falsch sind. => Die Einheit erklärt die Bedeutung im Kontext.
    ! Entscheide zuerst, welche Information wirklich gefragt ist.
    ?2 Was ist eine gute Probe?
    + Du setzt dein Ergebnis wieder in die Aufgabe oder die Bedeutung ein.
    - Du vergleichst nur, ob die Zahl schön aussieht. => Eine Probe muss zur Aufgabe passen.
    ! Eine Probe schützt dich vor Vorzeichen-, Stellenwert- und Einheitenfehlern.
    ?3 Wie gehst du bei einer gemischten Aufgabe vor?
    + Erst Thema erkennen, dann passende Regel wählen, dann rechnen und prüfen.
    - Sofort irgendeine Formel einsetzen. => Die Formel muss zur Situation passen.
    ! Diese Reihenfolge hilft besonders in Klassenarbeiten.
    :::

    ## Zusammenfassung

    Die momentane Änderungsrate ist die lokale Steigung. Du berechnest sie über die Ableitung und deutest sie im Sachzusammenhang.