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Tangentengleichung bestimmen: Formel und Beispiel
Die Tangente an den Graphen von $f$ im Berührpunkt $P(x_0\mid f(x_0))$ hat dort dieselbe Steigung wie der Graph. Deshalb setzt du $m=f'(x_0)$ und den Berührpunkt in die Punkt-Steigungs-Form ein:
$$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$$
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was du für die Tangente brauchst
Angenommen, du sollst die Tangente an den Graphen von $f$ an der Stelle $x_0$ bestimmen. Zwei Angaben legen diese Gerade fest:
- Der Berührpunkt ist $P(x_0\mid f(x_0))$. Den zugehörigen $y$-Wert erhältst du also mit der ursprünglichen Funktion.
- Die Tangentensteigung ist $m=f'(x_0)$. Dafür setzt du $x_0$ in die Ableitungsfunktion ein.
Tangente
Die Tangente ist die Gerade, die den Funktionsgraphen im Berührpunkt lokal am besten annähert. Ist $f$ an $x_0$ differenzierbar, hat sie dort die Steigung $f'(x_0)$.
Eine Tangente muss den Graphen nicht nur in einem einzigen Punkt treffen. Entscheidend sind der gemeinsame Berührpunkt und die gleiche lokale Steigung, nicht die Anzahl aller Schnittpunkte.
$f(x_0)$ liefert die Höhe des Berührpunkts. $f'(x_0)$ liefert die Steigung der Tangente. Vertausche diese beiden Werte nicht.
In vier Schritten zur Gleichung
Gegeben sind eine differenzierbare Funktion $f$ und eine Berührstelle $x_0$. Gehe immer in derselben Reihenfolge vor:
- Ableiten: Bestimme $f'(x)$.
- Steigung berechnen: Setze $x_0$ ein und berechne $m=f'(x_0)$.
- Berührpunkt berechnen: Bestimme $y_0=f(x_0)$. Damit ist $P(x_0\mid y_0)$ bekannt.
- Geradengleichung aufstellen: Setze $m$, $x_0$ und $y_0$ in
$$y-y_0=m(x-x_0)$$
ein. Forme anschließend bei Bedarf zu $y=mx+b$ um.
Die Punkt-Steigungs-Form ist besonders sicher, weil du den bekannten Punkt direkt einsetzen kannst. Aus ihr folgt auch die kompakte Tangentenformel:
$$t(x)=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$$
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Für die Tangente an $f$ bei $x_0$ berechnest du zuerst die $f'(x)$. Die Steigung ist dann . Der Berührpunkt hat den $y$-Wert . Beide Angaben setzt du in die ein.
Ein vollständiges Beispiel
Bestimme die Tangente an den Graphen von
$$f(x)=x^2-2x$$
an der Stelle $x_0=3$.
1. Ableiten:
$$f'(x)=2x-2$$
2. Steigung bestimmen:
$$m=f'(3)=2\cdot 3-2=4$$
3. Berührpunkt bestimmen:
$$y_0=f(3)=3^2-2\cdot 3=3$$
Der Berührpunkt ist also $P(3\mid 3)$.
4. Werte einsetzen und umformen:
$$y-3=4(x-3)$$
$$y-3=4x-12$$
$$y=4x-9$$
Die Tangentengleichung lautet $t(x)=4x-9$.
Die Punktprobe
Setze die $x$-Koordinate des Berührpunkts in die Tangentengleichung ein:
$$t(3)=4\cdot 3-9=3$$
Das Ergebnis stimmt mit $f(3)=3$ überein. Die Gerade verläuft also durch den richtigen Punkt. Die Punktprobe allein beweist aber noch nicht die richtige Steigung; prüfe deshalb zusätzlich, ob der Koeffizient vor $x$ gleich $f'(3)=4$ ist.
Selbst anwenden und Fehler vermeiden
Bestimme die Tangente an $f(x)=x^3$ bei $x_0=-1$. Rechne zuerst selbst und öffne gedanklich erst danach den Lösungsweg.
Lösung: Es gilt $f'(x)=3x^2$. Damit ist
$$m=f'(-1)=3\cdot(-1)^2=3$$
und
$$y_0=f(-1)=(-1)^3=-1$$
Setze $P(-1\mid -1)$ und $m=3$ in die Punkt-Steigungs-Form ein:
$$y-(-1)=3(x-(-1))$$
$$y+1=3(x+1)$$
$$y=3x+2$$
Die Probe bestätigt $t(-1)=-1=f(-1)$ und die Steigung $3=f'(-1)$.
Drei typische Fehler
- Funktionswert und Ableitungswert vertauscht: Der Punkt verwendet $f(x_0)$, die Steigung verwendet $f'(x_0)$.
- Vorzeichen bei negativem $x_0$ verloren: In $x-x_0$ wird bei $x_0=-1$ daraus $x-(-1)=x+1$.
- Nur den Berührpunkt geprüft: Kontrolliere zusätzlich die Steigung der Geraden.
Eine waagerechte Tangente ist kein Sonderverfahren. Wenn $f'(x_0)=0$ gilt, setzt du einfach $m=0$ ein. Bei $f(x)=x^2$ und $x_0=0$ erhältst du so $y=0$.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Tangentengleichung
- Berührpunkt
- $x_0$ ist gegeben
- $y_0=f(x_0)$ berechnen
- Steigung
- $f'(x)$ bilden
- $m=f'(x_0)$ berechnen
- Gleichung
- $y-y_0=m(x-x_0)$ einsetzen
- zu $y=mx+b$ umformen
- Kontrolle
- Punktprobe durchführen
- Steigung vergleichen
- Berührpunkt