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Ableitungsregeln: Übersicht mit Übungen
Ableitungsregeln helfen dir, aus dem Aufbau einer Funktion ihre Steigungsfunktion zu berechnen. Entscheidend ist zuerst die äußerste Rechenoperation: Sie zeigt dir meist, welche Regel du als Erstes brauchst.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was sagt eine Ableitung aus?
Die erste Ableitung $f'(x)$ ist die Steigungsfunktion von $f$. Sie ordnet jedem zulässigen $x$-Wert die momentane Steigung des Funktionsgraphen zu.
- $f'(x)>0$: Der Graph steigt an dieser Stelle.
- $f'(x)<0$: Der Graph fällt an dieser Stelle.
- $f'(x)=0$: Die Tangente ist waagerecht. Das macht die Stelle zu einem möglichen Extrem- oder Sattelpunkt, beweist aber noch keinen Extrempunkt.
Ableitungswert
$f(x_0)$ ist der Funktionswert, also die Höhe des Graphen bei $x_0$. $f'(x_0)$ ist dagegen die Steigung des Graphen an dieser Stelle.
Für $f(x)=x^3+1$ gilt $f'(x)=3x^2$. Am Punkt mit $x_0=1$ ist
$$f'(1)=3\cdot 1^2=3.$$
Der Graph hat dort die Steigung $3$.
Wie wählst du die passende Regel?
Schau zuerst auf die Struktur des Terms. Klammern helfen dir, Teilfunktionen zu erkennen.
- Summe oder Differenz außen: Leite jeden Summanden einzeln ab.
- Produkt außen: Nutze die Produktregel, wenn zwei von $x$ abhängige Funktionen multipliziert werden.
- Bruch außen: Nutze die Quotientenregel oder forme den Bruch sinnvoll um.
- Funktion in einer Funktion: Nutze die Kettenregel, zum Beispiel bei $(3x^2+4)^2$.
- Mehrere Strukturen: Arbeite von außen nach innen und kombiniere die Regeln.
Die äußerste Rechenoperation bestimmt die erste Strukturregel. Innerhalb der Teilfunktionen können weitere Regeln nötig sein.
Wie funktionieren die Grundregeln?
Die Grundregeln reichen für Konstanten und viele ganzrationale Funktionen.
- Konstantenregel: $(C)'=0$
- Potenzregel: $(x^n)'=n x^{n-1}$
- Faktorregel: $(a\,u(x))'=a\,u'(x)$
- Summenregel: $(u+v)'=u'+v'$
- Differenzregel: $(u-v)'=u'-v'$
Leite $f(x)=2x^3-x^2+x$ gliedweise ab:
$$f'(x)=2\cdot 3x^2-2x+1=6x^2-2x+1.$$
Der Faktor $2$ bleibt erhalten. Der Term $x$ hat die Ableitung $1$, denn $x=x^1$.
Vorzeichen gehören zu ihren Termen. Aus $-x^2$ wird $-2x$; das Minus darf nicht verloren gehen.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Für $f(x)=4x^3-2x+7$ ist die Ableitung $f'(x)=$ $$ $$. Die Konstante $7$ hat die Ableitung $$.
Wie leitest du Produkte ab?
Für ein Produkt $f(x)=u(x)v(x)$ gilt:
$$f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).$$
Jeder Faktor erscheint einmal abgeleitet und einmal unverändert. Die beiden Produkte werden addiert.
Gegeben ist
$$f(x)=(2x+1)(x^2+4x).$$
Bestimme zuerst die Teilfunktionen:
$$u=2x+1,\quad u'=2,\qquad v=x^2+4x,\quad v'=2x+4.$$
Setze sie in die Produktregel ein:
$$f'(x)=2(x^2+4x)+(2x+1)(2x+4).$$
Ausmultipliziert ergibt sich
$$f'(x)=6x^2+18x+4.$$
Falsch wäre $u'v'$. Die Produktregel braucht zwei Summanden, damit die Änderung beider Faktoren berücksichtigt wird.
Wie leitest du Verkettungen ab?
Bei einer Verkettung steckt eine Funktion in einer anderen. Für $f(x)=u(v(x))$ gilt:
$$f'(x)=u'(v(x))\cdot v'(x).$$
In Worten: äußere Funktion ableiten, innere Funktion stehen lassen und mit der inneren Ableitung multiplizieren.
Gegeben ist
$$f(x)=(3x^2+4)^2.$$
Die innere Funktion ist $v(x)=3x^2+4$ mit $v'(x)=6x$. Außen steht die Quadratfunktion. Ihre Ableitung ist $2v$.
Daher gilt:
$$f'(x)=2(3x^2+4)\cdot 6x=12x(3x^2+4).$$
Auch bei $\sin(3x^3)$ ist die Kettenregel nötig. Außen wird Sinus zu Kosinus, innen wird $3x^3$ zu $9x^2$:
$$\bigl(\sin(3x^3)\bigr)'=9x^2\cos(3x^3).$$
Wie funktionieren Quotienten und höhere Ableitungen?
Für einen Quotienten $f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$ mit $v(x)\ne 0$ gilt:
$$f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}.$$
Achte auf das Minus im Zähler und das Quadrat des ursprünglichen Nenners.
Für
$$f(x)=\frac{x^2+1}{x},\qquad x\ne 0,$$
wählst du $u=x^2+1$, $u'=2x$, $v=x$ und $v'=1$. Dann:
$$f'(x)=\frac{2x\cdot x-(x^2+1)\cdot 1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}.$$
Die Stelle $x=0$ bleibt ausgeschlossen, weil schon die Ausgangsfunktion dort nicht definiert ist.
Da $f'$ wieder eine Funktion ist, kannst du sie erneut ableiten. So entsteht die zweite Ableitung $f''$.
Für $g(x)=3x^4-2x^2+5$ gilt:
$$g'(x)=12x^3-4x,$$
$$g''(x)=36x^2-4.$$
Die zweite Ableitung beschreibt, wie sich die Steigung verändert.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Ableitungsregeln
- Bedeutung
- $f'(x)$ beschreibt die Steigung
- $f''(x)$ beschreibt die Änderung der Steigung
- Grundregeln
- Konstanten-, Potenz-, Faktor- und Summenregel
- Strukturregeln
- Produktregel bei Multiplikation
- Quotientenregel bei Brüchen
- Kettenregel bei Verschachtelung
- Sicheres Vorgehen
- äußerste Operation erkennen
- Teilfunktionen und Ableitungen notieren
- Definitionsbereich prüfen
- Bedeutung
Abschluss-Check
Prüfe jetzt, ob du Regelwahl, Rechnung und Deutung verbinden kannst.