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Viele Funktionen sind aus einer äußeren und einer inneren Funktion zusammengesetzt. Die Kettenregel sagt dir, wie du solche verketteten Funktionen ableitest.
- Ich kann innere und äußere Funktion erkennen.
- Ich kann die Kettenregel formulieren.
- Ich kann verkettete Potenzfunktionen ableiten.
- Ich kann typische Fehler beim Nachdifferenzieren vermeiden.
Grundidee
In \((2x+1)^5\) steckt außen die fünfte Potenz und innen der Term \(2x+1\). Beide Teile beeinflussen die Ableitung.
Kettenregel
Für eine Verkettung \(f(g(x))\) gilt: \((f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)\).
Du leitest zuerst die äußere Funktion ab und lässt die innere dabei stehen. Danach multiplizierst du mit der Ableitung der inneren Funktion. Dieses zweite Multiplizieren nennt man Nachdifferenzieren.
\(y=(2x+1)^5\).
Außen: fünfte Potenz, Ableitung \(5(2x+1)^4\). Innen: \(2x+1\), Ableitung 2.
\(y'=5(2x+1)^4\cdot2=10(2x+1)^4\).
Außen ableiten, innen stehen lassen, mal innere Ableitung.
Vorgehen
Markiere bei jeder Aufgabe erst die Klammer oder innere Funktion. Wenn die innere Ableitung 1 ist, sieht man die Kettenregel kaum. Wenn sie nicht 1 ist, darf der Faktor nicht fehlen.
\(f(x)=\sqrt{3x-2}=(3x-2)^{1/2}\).
\(f'(x)=\frac12(3x-2)^{-1/2}\cdot3=\frac{3}{2\sqrt{3x-2}}\).
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Prüfungsmodus
Prüfe bei jeder abgeleiteten Klammer: Habe ich nachdifferenziert? Gerade bei Wurzeln, Potenzen und Exponentialfunktionen kostet der fehlende Innenfaktor viele Punkte.
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Alles auf einen Blick
Die wichtigsten Wörter und Entscheidungen solltest du schnell wiedererkennen können.
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Abschluss-Check
Nutze diese Fragen erst, wenn du die Beispiele darüber verstanden hast. Sie mischen Rechnen, Begründen und Entscheiden.
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Zusammenfassung
Die Kettenregel ist die Ableitungsregel für verkettete Funktionen. Der sichere Merksatz lautet: außen ableiten, innen lassen, mal innere Ableitung.