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Kettenregel: Verkettete Funktionen ableiten
Mit der Kettenregel leitest du eine Funktion ab, die in einer anderen Funktion steckt. Für $f(x)=u(v(x))$ gilt: Leite die äußere Funktion ab, setze die innere Funktion wieder ein und multipliziere mit der inneren Ableitung.
$$f'(x)=u'(v(x))\cdot v'(x)$$
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Verkettete Funktionen erkennen
Betrachte $f(x)=(x^2+4)^3$. Zuerst wird $x^2+4$ berechnet. Anschließend wird dieses Ergebnis hoch 3 genommen. Zwei Rechenschritte liegen ineinander.
Verkettete Funktion
Eine verkettete Funktion entsteht, wenn das Ergebnis einer inneren Funktion $v(x)$ als Eingabe einer äußeren Funktion $u$ dient. Man schreibt $f(x)=u(v(x))$.
Für das Beispiel gilt:
- innen: $v(x)=x^2+4$
- außen: $u(v)=v^3$
- Kontrolle: $u(v(x))=(x^2+4)^3$ ergibt wieder die Ausgangsfunktion.
Typische Hinweise auf eine Verkettung sind ein Klammerausdruck unter einer Potenz oder Wurzel sowie ein zusammengesetztes Argument bei Sinus, Kosinus, Exponentialfunktion oder Logarithmus. Eine Klammer allein entscheidet jedoch nicht, welche Regel du brauchst: Untersuche immer den Aufbau des ganzen Terms.
In fünf Schritten ableiten
Die Kettenregel funktioniert zuverlässig, wenn du außen beginnst und die innere Ableitung als zusätzlichen Faktor notierst.
Außen ableiten – innen stehen lassen – mal innere Ableitung. Die Faktoren darfst du vertauschen; entscheidend ist, dass beide vollständig vorhanden sind.
Leite $f(x)=(x^2+4)^3$ ab.
- Zerlege: $v(x)=x^2+4$ und $u(v)=v^3$.
- Leite innen ab: $v'(x)=2x$.
- Leite außen ab: $u'(v)=3v^2$.
- Setze zurück: $u'(v(x))=3(x^2+4)^2$.
- Multipliziere mit der inneren Ableitung:
$$f'(x)=3(x^2+4)^2\cdot 2x=6x(x^2+4)^2$$
Die Potenz sinkt nur bei der äußeren Ableitung von 3 auf 2. Der innere Ausdruck $x^2+4$ bleibt dabei zunächst unverändert.
Typische äußere Funktionen nutzen
Für eine differenzierbare innere Funktion $v(x)$ kannst du die bekannten Grundableitungen direkt mit $v'(x)$ verbinden.
| Funktion | Ableitung |
|---|---|
| $(v(x))^c$ | $c(v(x))^{c-1}\cdot v'(x)$ |
| $\sqrt{v(x)}$ | $\frac{1}{2\sqrt{v(x)}}\cdot v'(x)$ |
| $\sin(v(x))$ | $\cos(v(x))\cdot v'(x)$ |
| $\cos(v(x))$ | $-\sin(v(x))\cdot v'(x)$ |
| $e^{v(x)}$ | $e^{v(x)}\cdot v'(x)$ |
| $\ln(v(x))$ | $\frac{1}{v(x)}\cdot v'(x)$ |
Diese Formeln gelten an den Stellen, an denen die beteiligten Funktionen definiert und differenzierbar sind.
Für $g(x)=e^{3x^2-1}$ ist $v(x)=3x^2-1$ und $v'(x)=6x$. Die äußere Funktion $e^v$ bleibt beim Ableiten erhalten. Daher:
$$g'(x)=6x\,e^{3x^2-1}$$
Für $k(x)=\sqrt{x^2+3}$ ist $v'(x)=2x$. Deshalb:
$$k'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^2+3}}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^2+3}}$$
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Bei $f(x)=\sin(x^2)$ ist $x^2$ die Funktion. Die äußere Ableitung ist . Zusätzlich wird mit der inneren Ableitung multipliziert. Somit gilt $f'(x)=$.
Mehrere Ebenen schichtweise bearbeiten
In $k(x)=\cos(e^{x^2})$ stecken drei Schichten: außen der Kosinus, darin die Exponentialfunktion und ganz innen $x^2$. Gehe von außen nach innen und sammle pro Schicht einen Ableitungsfaktor.
- Außen: Aus $\cos(\square)$ wird $-\sin(\square)$.
- Mittlere Schicht: Aus $e^{x^2}$ wird der Faktor $e^{x^2}$.
- Innen: Aus $x^2$ wird der Faktor $2x$.
Damit gilt:
$$k'(x)=-\sin(e^{x^2})\cdot e^{x^2}\cdot 2x$$
Jede Schicht bleibt im Argument der nächstäußeren Funktion erhalten. Nur die Ableitungsfaktoren kommen nacheinander hinzu.
Enthält der ganze Term zusätzlich ein Produkt, entscheidest du zuerst nach der äußersten Rechenstruktur. Bei einem Produkt brauchst du die Produktregel; verkettete Faktoren leitest du innerhalb dieser Regel mit der Kettenregel ab. Die Produktregel selbst ist ein eigenes Thema.
Fehler erkennen und selbst üben
Drei Fehler treten besonders häufig auf:
- Innere Ableitung vergessen: Aus $\sin(4x+3)$ wird fälschlich nur $\cos(4x+3)$ statt $4\cos(4x+3)$.
- Innere Funktion nicht wieder eingesetzt: In der fertigen Ableitung bleibt eine Hilfsvariable wie $v$ stehen.
- Äußere Ableitung falsch gebildet: Bei $(v(x))^4$ muss die neue Potenz 3 sein.
Prüfe deine Rechnung mit drei Fragen: Entsteht durch Einsetzen wieder die Ausgangsfunktion? Ist jede Schicht abgeleitet? Ist die innere Ableitung als Faktor vorhanden?
Aufgabe: Leite $f(x)=\ln(5x+3)$ ab.
Die innere Funktion ist $v(x)=5x+3$ mit $v'(x)=5$. Außen gilt $(\ln v)'=\frac{1}{v}$. Daher:
$$f'(x)=\frac{1}{5x+3}\cdot 5=\frac{5}{5x+3}$$
Die Ableitung gilt dort, wo der Logarithmus und damit die Ausgangsfunktion definiert ist.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Kettenregel
- Verkettung erkennen: innere und äußere Funktion
- Zerlegung prüfen: Zusammensetzen ergibt Ausgangsfunktion
- Ableiten: außen ableiten und innen stehen lassen
- Ergänzen: mit innerer Ableitung multiplizieren
- Mehrere Ebenen: Faktor für jede Schicht
- Kontrolle: Einsetzen, Faktoren und Definitionsbereich prüfen
Abschluss-Check
Du bist sicher, wenn du eine Verkettung zerlegen, jede Schicht ableiten und das Ergebnis auf fehlende Faktoren prüfen kannst.