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Produktregel: Formel, Beispiele und Übungen
Ist eine Funktion das Produkt zweier veränderlicher Faktoren, leitest du nicht einfach beide Faktoren gleichzeitig ab. Du bildest zwei Summanden: einmal den ersten Faktor abgeleitet und den zweiten unverändert, dann umgekehrt.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Wann brauchst du die Produktregel?
Die Produktregel brauchst du, wenn zwei Funktionen von $x$ miteinander multipliziert werden. Bei
$$f(x)=x^2\cdot\sin(x)$$
sind $x^2$ und $\sin(x)$ beide veränderlich. Deshalb müssen beim Ableiten die Änderungen beider Faktoren berücksichtigt werden.
Produktregel
Sind $u$ und $v$ an der betrachteten Stelle differenzierbar, dann gilt für $f(x)=u(x)\cdot v(x)$:
$$f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)$$
Nicht jede Multiplikation verlangt die Produktregel. In $g(x)=4\sin(x)$ ist $4$ eine Konstante. Hier genügt die Faktorregel:
$$g'(x)=4\cos(x)$$
Auch bei einem Produkt aus Polynomen lohnt sich ein Blick auf den Term. $x^2(x-1)$ kannst du mit der Produktregel ableiten oder zuerst ausmultiplizieren. Beide Wege müssen zum gleichen Ergebnis führen.
Warum entstehen zwei Summanden?
Bei einem Produkt können sich beide Faktoren ändern. Die Produktregel erfasst beide Beiträge getrennt:
- $u'(x)v(x)$ beschreibt die Änderung von $u$, während $v$ unverändert übernommen wird.
- $u(x)v'(x)$ beschreibt die Änderung von $v$, während $u$ unverändert übernommen wird.
Ersten ableiten, zweiten stehen lassen – plus ersten stehen lassen, zweiten ableiten.
Du kannst die Regel auch aus dem Differenzenquotienten verstehen. Für $f(x)=u(x)v(x)$ beginnt die Ableitung mit
$$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)}{h}.$$
Im Zähler ergänzt man den wertneutralen Ausdruck $-u(x)v(x+h)+u(x)v(x+h)$. Dadurch lässt sich der Zähler gruppieren:
$$[u(x+h)-u(x)]v(x+h)+u(x)[v(x+h)-v(x)].$$
Teilt man beide Gruppen durch $h$ und bildet den Grenzwert, entstehen genau $u'(x)v(x)$ und $u(x)v'(x)$. Die beiden Summanden sind also nötig, weil beide Faktoren zur Änderung des Produkts beitragen.
So gehst du in fünf Schritten vor
- Produkt erkennen: Prüfe, ob zwei veränderliche Funktionen multipliziert werden.
- Faktoren benennen: Setze $u(x)$ und $v(x)$.
- Einzeln ableiten: Bestimme $u'(x)$ und $v'(x)$ mit den passenden Grundregeln.
- Einsetzen: Nutze $f'(x)=u'v+uv'$.
- Vereinfachen: Fasse zusammen oder klammere gemeinsame Faktoren aus.
Leite $f(x)=x^2\cos(x)$ ab.
1. Faktoren und Ableitungen:
$$u(x)=x^2,\quad u'(x)=2x$$
$$v(x)=\cos(x),\quad v'(x)=-\sin(x)$$
2. In die Produktregel einsetzen:
$$f'(x)=2x\cos(x)+x^2\bigl(-\sin(x)\bigr)$$
3. Vorzeichen vereinfachen:
$$f'(x)=2x\cos(x)-x^2\sin(x)$$
Das Minuszeichen stammt aus $(\cos x)'=-\sin x$ und darf nicht verloren gehen.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Für $f(x)=u(x)v(x)$ lautet die Ableitung $f'(x)=$. In jedem Summanden wird genau abgeleitet. Der jeweils andere Faktor bleibt .
Beispiele anwenden und Ergebnisse prüfen
Beispiel mit einer Exponentialfunktion
Gegeben ist $f(x)=xe^x$.
$$u(x)=x,\quad u'(x)=1,\qquad v(x)=e^x,\quad v'(x)=e^x$$
Damit gilt
$$f'(x)=1\cdot e^x+x\cdot e^x=e^x(1+x).$$
Die ausgeklammerte Form macht den gemeinsamen Faktor $e^x$ sichtbar.
Beispiel mit zwei Polynomen
Leite $g(x)=x^2(x-1)$ auf zwei Arten ab.
Mit der Produktregel:
$$g'(x)=2x(x-1)+x^2\cdot1=2x^2-2x+x^2=3x^2-2x.$$
Durch Ausmultiplizieren:
$$g(x)=x^3-x^2$$
$$g'(x)=3x^2-2x.$$
Beide Wege liefern dasselbe Ergebnis. Das ist eine nützliche Kontrolle.
Übung
Leite $p(x)=(e^x-2)(x-1)$ ab. Vereinfache anschließend.
Typische Fehler vermeiden und Regeln verbinden
Fehler 1: Beide Ableitungen multiplizieren
Falsch wäre $(uv)'=u'v'$. Beim Beispiel $x\cdot x=x^2$ ergäbe das $1\cdot1=1$. Richtig ist aber $(x^2)'=2x$. Mit der Produktregel erhältst du tatsächlich $1\cdot x+x\cdot1=2x$.
Fehler 2: Einen Summanden vergessen
Bei $x^2\sin(x)$ reicht $2x\sin(x)$ nicht aus. Der zweite Beitrag $x^2\cos(x)$ gehört ebenfalls zur Ableitung.
Fehler 3: Den unveränderten Faktor verändern
In $u'v$ bleibt $v$ vollständig stehen. Klammern und Vorzeichen müssen dabei übernommen werden.
Produktregel und Kettenregel
Ein Faktor kann selbst eine verkettete Funktion sein. Bei
$$q(x)=x^2e^{-x}$$
brauchst du außen die Produktregel und für $e^{-x}$ zusätzlich die Kettenregel:
$$q'(x)=2xe^{-x}+x^2(-e^{-x})=xe^{-x}(2-x).$$
Die Produktregel entscheidet, wie die beiden Faktoren verbunden sind. Die Kettenregel wird innerhalb eines Faktors gebraucht, wenn eine Funktion in einer anderen steckt. Deshalb können beide Regeln in derselben Rechnung vorkommen.
Vertiefung: Drei Faktoren ableiten
Bei drei differenzierbaren Faktoren wird in jedem Summanden genau einer abgeleitet:
$$[u(x)v(x)w(x)]'=u'(x)v(x)w(x)+u(x)v'(x)w(x)+u(x)v(x)w'(x).$$
Es entstehen drei Summanden, weil jeder der drei Faktoren einmal seinen Änderungsbeitrag liefert.
Für $f(x)=x^2\sin(x)\cdot5x$ gilt
$$u=x^2,\quad u'=2x,\qquad v=\sin(x),\quad v'=\cos(x),\qquad w=5x,\quad w'=5.$$
Damit ist
$$f'(x)=2x\sin(x)\cdot5x+x^2\cos(x)\cdot5x+x^2\sin(x)\cdot5.$$
Zusammengefasst:
$$f'(x)=15x^2\sin(x)+5x^3\cos(x).$$
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Produktregel
- Erkennen: zwei veränderliche Faktoren werden multipliziert
- Anwenden: $u'v+uv'$
- Kontrollieren: vollständig einsetzen und vereinfachen
- Abgrenzen: Konstante mal Funktion braucht nur die Faktorregel
- Verbinden: innerhalb eines Faktors kann die Kettenregel nötig sein
- Erweitern: bei mehreren Faktoren jeden genau einmal ableiten