Mit Google fortfahren
Quotientenregel: Brüche richtig ableiten
Mit der Quotientenregel leitest du einen Bruch aus zwei Funktionen ab. Dabei ist die Reihenfolge im Zähler entscheidend: Zählerableitung mal Nenner minus Zähler mal Nennerableitung. Vorher lohnt sich immer die Frage, ob du den Bruch einfacher umformen kannst.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Wann brauchst du die Quotientenregel?
Du siehst einen Bruch wie
$$f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}.$$
Dabei heißt $u(x)$ Zählerfunktion und $v(x)$ Nennerfunktion. Hängen beide von $x$ ab und lässt sich der Term nicht sinnvoll vereinfachen, ist die Quotientenregel meist die passende Wahl.
Der Nenner darf niemals null sein. Die Funktion und ihre Ableitung werden daher nur an Stellen betrachtet, an denen $v(x)\neq 0$ gilt.
Ein sichtbarer Bruch bedeutet nicht automatisch Quotientenregel. Prüfe zuerst: Kannst du kürzen, zerlegen oder eine konstante Zahl als Faktor vorziehen?
So funktioniert die Regel
Für $f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$ mit $v(x)\neq 0$ gilt:
$$f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}.$$
Gehe in fünf Schritten vor:
- Bestimme $u(x)$ und $v(x)$.
- Berechne $u'(x)$ und $v'(x)$ getrennt.
- Setze zuerst $u'(x)v(x)$ ein.
- Ziehe davon $u(x)v'(x)$ ab. Setze mehrgliedrige Terme in Klammern.
- Teile durch $(v(x))^2$ und vereinfache erst danach.
Merksatz NAZ minus ZAN
Nenner mal Ableitung des Zählers minus Zähler mal Ableitung des Nenners, alles durch den Nenner zum Quadrat. Die Buchstaben helfen beim Erinnern; in der Formel steht gleichwertig $u'v-uv'$.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Für $f=\frac{u}{v}$ steht im Zähler der Ableitung zuerst . Danach folgt ein . Der zweite Term lautet . Im Nenner steht .
Ein vollständiges Beispiel
Leite die Funktion
$$f(x)=\frac{x^2+3x}{x-2}$$
ab. Wegen $x-2\neq 0$ gehört $x=2$ nicht zum Definitionsbereich.
Zuerst ordnest du zu und leitest einzeln ab:
$$u(x)=x^2+3x,\qquad u'(x)=2x+3,$$
$$v(x)=x-2,\qquad v'(x)=1.$$
Nun setzt du mit Klammern ein:
$$f'(x)=\frac{(2x+3)(x-2)-(x^2+3x)\cdot 1}{(x-2)^2}.$$
Erst jetzt multiplizierst du den Zähler aus und fasst zusammen:
$$f'(x)=\frac{2x^2-x-6-x^2-3x}{(x-2)^2}=\frac{x^2-4x-6}{(x-2)^2}.$$
Damit ist $f'(x)=\frac{x^2-4x-6}{(x-2)^2}$ für $x\neq 2$.
Erst umformen oder direkt ableiten?
Manche Brüche sehen komplizierter aus, als sie sind. Bei
$$h(x)=\frac{1+x^2}{x^2}$$
kannst du jeden Summanden durch $x^2$ teilen:
$$h(x)=\frac1{x^2}+1=x^{-2}+1.$$
Damit folgt ohne Quotientenregel
$$h'(x)=-2x^{-3}=-\frac2{x^3}\qquad\text{für }x\neq 0.$$
Auch bei einem konstanten Nenner ist Umformen kürzer:
$$p(x)=\frac{x^2+2x-1}{3}=\frac13(x^2+2x-1).$$
Beim Umformen bleibt die ursprüngliche Definitionsbedingung wichtig. Wenn ein Faktor gekürzt wird, darf eine ursprünglich ausgeschlossene Nennernullstelle nicht nachträglich zugelassen werden.
Drei Kontrollen gegen typische Fehler
- Reihenfolge: Schreibe zuerst $u'v$, dann minus $uv'$.
- Klammern: Umklammere mehrgliedrige Zähler und Nenner beim Einsetzen.
- Nenner: Quadriere $v(x)$, nicht $v'(x)$.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Quotientenregel
- Vorher prüfen: umformen oder direkt ableiten
- Zuordnen: $u$, $v$, $u'$, $v'$
- Einsetzen: $u'v-uv'$
- Nenner: $v^2$
- Kontrollieren: $v\neq0$, Klammern, Minuszeichen