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Wenn eine Funktion als Bruch aus zwei Funktionen besteht, reicht die einfache Potenzregel nicht. Die Quotientenregel zeigt dir, wie du solche Funktionsbrüche korrekt ableitest.
- Ich kann erkennen, wann die Quotientenregel passt.
- Ich kann Zählerfunktion und Nennerfunktion benennen.
- Ich kann die Formel sicher anwenden.
- Ich kann typische Vorzeichenfehler vermeiden.
Wann brauchst du die Regel?
Du brauchst die Quotientenregel, wenn eine Funktion die Form \(f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}\) hat und sowohl Zähler als auch Nenner von x abhängen können.
Quotientenregel
Für \(f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}\) gilt \(f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}\), solange \(v(x)\ne0\).
Bei \(f(x)=\frac{x^2+1}{x-3}\) ist \(u(x)=x^2+1\) und \(v(x)=x-3\). Also \(u'(x)=2x\) und \(v'(x)=1\).
Oben steht „Ableitung vom Zähler mal Nenner minus Zähler mal Ableitung vom Nenner“.
Schrittweise ableiten
Schreibe zuerst u, v, u' und v' auf. Dadurch sinkt die Gefahr, die Reihenfolge zu vertauschen.
Leite \(f(x)=\frac{x^2}{x+1}\) ab.
- \(u=x^2\), also \(u'=2x\).
- \(v=x+1\), also \(v'=1\).
- \(f'(x)=\frac{2x(x+1)-x^2\cdot1}{(x+1)^2}\).
- Zähler vereinfachen: \(2x^2+2x-x^2=x^2+2x\).
- Also \(f'(x)=\frac{x^2+2x}{(x+1)^2}\).
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Prüfungsmodus
Die Quotientenregel ist nicht dasselbe wie „Zähler ableiten durch Nenner ableiten“. Diese falsche Abkürzung liefert fast immer falsche Ergebnisse.
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
Die Quotientenregel leitest du mit \(f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^2}\) ab. Benenne zuerst Zähler und Nenner, leite beide einzeln ab und setze dann ein. Achte besonders auf das Minus im Zähler und das Quadrat im Nenner.