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Potenzregel: Potenzfunktionen sicher ableiten
Mit der Potenzregel leitest du Potenzfunktionen ab: Du schreibst den Exponenten als Faktor vor die Potenz und verringerst ihn danach um 1. So erhältst du eine Funktion, mit der du die Steigung an jeder zulässigen Stelle berechnen kannst.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was sagt eine Ableitung aus?
Die Ableitung $f'(x)$ gibt die Steigung des Graphen von $f$ an der Stelle $x$ an. Ist $f'(x)$ positiv, steigt der Graph dort. Ist $f'(x)$ negativ, fällt er dort.
Bei einer Geraden ist die Steigung überall gleich. Für $f(x)=2x$ gilt deshalb $f'(x)=2$. Dagegen kann sich die Steigung einer Potenzfunktion von Stelle zu Stelle ändern.
Für $f(x)=x^2$ lautet die Ableitung $f'(x)=2x$.
An der Stelle $x=3$ ist die Steigung daher
$$f'(3)=2·3=6.$$
Der Graph von $f$ hat bei $x=3$ also die Steigung 6.
Wie funktioniert die Potenzregel?
Potenzregel
Für eine Potenzfunktion $f(x)=x^n$ gilt
$$f'(x)=n x^{n-1}.$$
Mit einem konstanten Vorfaktor $a$ gilt entsprechend
$$f(x)=a x^n \quad\Longrightarrow\quad f'(x)=a n x^{n-1}.$$
Gehe in zwei Schritten vor:
- Multipliziere den bisherigen Vorfaktor mit dem Exponenten.
- Verringere den Exponenten um 1.
Leite $f(x)=5x^3$ ab.
- Der Exponent 3 wird zum Faktor: $3·5=15$.
- Der neue Exponent ist $3-1=2$.
Damit gilt
$$f'(x)=15x^2.$$
Exponent nach vorn, dann im Exponenten 1 abziehen. Ein vorhandener konstanter Vorfaktor bleibt beteiligt und wird mit dem Exponenten multipliziert.
Was geschieht bei linearen Termen und Konstanten?
Ein linearer Term lässt sich als Potenz mit Exponent 1 schreiben. Weil $x^0=1$ gilt, folgt
$$ax=ax^1 \quad\Longrightarrow\quad (ax)'=a·1·x^0=a.$$
Eine Konstante verändert sich nicht, wenn sich $x$ verändert. Ihre Ableitung ist deshalb 0.
Für $f(x)=2x+3$ werden die beiden Terme einzeln betrachtet:
- Aus $2x=2x^1$ wird $2$.
- Aus der Konstanten 3 wird 0.
Also gilt $f'(x)=2$. Der Summand 3 verschiebt den Graphen nach oben, verändert aber seine Steigung nicht.
Wie behandelst du negative und gebrochene Exponenten?
Die Rechenschritte der Potenzregel bleiben gleich. Du musst jedoch den zulässigen Bereich der Funktion beachten.
Negative Exponenten
Bei einem negativen Exponenten wird $n-1$ noch kleiner. Außerdem ist $x=0$ ausgeschlossen.
Für $f(x)=3x^{-1}$ gilt
$$f'(x)=3·(-1)x^{-1-1}=-3x^{-2}.$$
Gleichwertig kannst du schreiben: $f'(x)=-3/x^2$. Funktion und Ableitung gelten hier nur für $x\ne0$.
Gebrochene Exponenten und Wurzeln
Eine Quadratwurzel kannst du als Bruchpotenz schreiben: $\sqrt{x}=x^{1/2}$. Für die sichere Anwendung der erweiterten Potenzregel betrachten wir gebrochene und reelle Exponenten bei $x>0$.
Leite $f(x)=2x^{1/2}$ ab:
$$f'(x)=2·(1/2)x^{1/2-1}=x^{-1/2}=1/\sqrt{x}.$$
Der Exponent wird also von $1/2$ zu $-1/2$.
Für natürliche Exponenten gilt die Potenzregel für alle reellen $x$. Bei negativen ganzen Exponenten muss $x\ne0$ gelten. Für gebrochene oder allgemeine reelle Exponenten verwenden wir die Regel hier für $x>0$.
Wie berechnest du eine Steigung?
Leite zuerst die Funktion ab. Setze erst danach die gewünschte Stelle in die Ableitungsfunktion ein.
Gegeben ist $f(x)=3x^4$. Gesucht ist die Steigung bei $x=2$.
- Ableiten: $f'(x)=12x^3$.
- Stelle einsetzen: $f'(2)=12·2^3=96$.
- Ergebnis deuten: Der Graph hat bei $x=2$ die Steigung 96.
Der zugehörige Punkt ist $P(2;48)$, denn $f(2)=3·2^4=48$. Funktionswert 48 und Steigung 96 sind verschiedene Größen.
Vertiefung: Stelle zu einer Steigung finden
Bei $f(x)=\sqrt{x}$ mit $x>0$ soll die Steigung 3 betragen.
Zuerst leitest du ab:
$$f'(x)=(1/2)x^{-1/2}=1/(2\sqrt{x}).$$
Dann setzt du die Ableitung gleich 3:
$$1/(2\sqrt{x})=3.$$
Daraus folgen $\sqrt{x}=1/6$ und schließlich
$$x=1/36.$$
Die Kontrolle mit $f'(1/36)=3$ bestätigt das Ergebnis.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Potenzregel
- Grundform $x^n$
- Ableitung $n x^{n-1}$
- Faktor $a$
- Neuer Faktor $a·n$
- Sonderfälle
- Linearer Term wird konstant
- Konstante wird 0
- Erweiterte Exponenten
- Negative Exponenten: $x\ne0$
- Gebrochene Exponenten: hier $x>0$
- Anwendung
- Ableiten
- Stelle in $f'$ einsetzen
- Steigung deuten
- Grundform $x^n$