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Wurzeln ableiten: Potenzregel und Kettenregel
Eine Wurzel leitest du am sichersten ab, indem du sie als Potenz mit rationalem Exponenten schreibst. Dann verwendest du die Potenzregel; steht unter der Wurzel ein ganzer Funktionsterm, kommt die Kettenregel hinzu.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Wurzeln als Potenzen ableiten
Der entscheidende Schritt ist das Umschreiben. Für einen Ausdruck $u$ gilt im reellen Definitionsbereich:
$$\sqrt[n]{u}=u^{\frac{1}{n}}$$
Für $x>0$ kannst du daher auch schreiben:
$$\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}}$$
Die Bedingung ist wichtig: Zum Beispiel gilt $\sqrt{x^2}=|x|$ und nicht für alle reellen Zahlen einfach $x$.
Der Bruch im Exponenten heißt rationaler Exponent. Bei einer Quadratwurzel ist $n=2$:
$$\sqrt{x}=x^{\frac12}$$
Danach gilt die Potenzregel: Du multiplizierst mit dem Exponenten und verringerst den Exponenten um $1$.
Leite $f(x)=\sqrt{x}$ ab.
Zuerst schreibst du die Wurzel als Potenz:
$$f(x)=x^{\frac12}$$
Nun wendest du die Potenzregel an:
$$f'(x)=\frac12x^{\frac12-1}=\frac12x^{-\frac12}$$
Ein negativer Exponent bedeutet Kehrwert. Deshalb:
$$f'(x)=\frac12\cdot\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$
Die Ableitungsformel gilt für $x>0$.
Erst Wurzel in Potenz umschreiben, dann den Exponenten nach der Potenzregel bearbeiten.
Zusammengesetzte Wurzeln mit der Kettenregel
Bei $f(x)=\sqrt{g(x)}$ ist $g(x)$ die innere Funktion. Die Wurzel ist die äußere Funktion. Du leitest außen ab und multiplizierst mit der inneren Ableitung $g'(x)$:
$$f'(x)=\frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}$$
Diese Formel verwendest du an Stellen, an denen $g(x)>0$ ist.
Für $f(x)=\sqrt{2x}$ ist $g(x)=2x$ und $g'(x)=2$.
$$f'(x)=\frac{2}{2\sqrt{2x}}=\frac{1}{\sqrt{2x}}$$
Der Faktor $2$ aus der inneren Ableitung kürzt sich hier. Er darf aber nicht einfach weggelassen werden.
Für $f(x)=\sqrt{x^4+1}$ ist der gesamte Ausdruck $x^4+1$ die innere Funktion. Seine Ableitung lautet $4x^3$.
$$f'(x)=\frac{4x^3}{2\sqrt{x^4+1}}=\frac{2x^3}{\sqrt{x^4+1}}$$
Höhere Wurzeln und ihr Geltungsbereich
Für $n\in\{2,3,4,\ldots\}$ schreibst du
$$\sqrt[n]{x}=x^{\frac1n}$$
und erhältst
$$f'(x)=\frac1n x^{-\frac{n-1}{n}}=\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}$$
Bei geradem $n$ ist die Wurzel im Reellen nur für $x\ge 0$ definiert; die angegebene Ableitungsformel gilt für $x>0$. Bei ungeradem $n$ sind auch negative Werte von $x$ erlaubt; die Formel gilt für $x\ne 0$. An $x=0$ ist sie wegen des Nenners nicht anwendbar. Für $\sqrt{x}$ existiert dort keine endliche Ableitung.
Leite $f(x)=\sqrt[3]{x^2}$ ab.
$$f(x)=x^{\frac23}$$
$$f'(x)=\frac23x^{-\frac13}=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$$
Das Ergebnis gilt für $x\ne 0$. Die $2$ im Zähler des Exponenten bleibt beim Ableiten als Faktor erhalten.
Für eine höhere Wurzel mit innerer Funktion verbindest du wieder Potenz- und Kettenregel:
$$\left(g(x)^{\frac1n}\right)'=\frac1n g(x)^{\frac1n-1}\cdot g'(x)$$
Bei geradem $n$ verwendest du diese Formel für $g(x)>0$. Nullstellen des Wurzelinhalts musst du gesondert untersuchen.
Typische Fehler sicher vermeiden
Drei Prüfungen verhindern die meisten Fehler:
- Klammer prüfen: Der vollständige Wurzelinhalt wird zur Basis der Potenz.
- Exponent prüfen: Bei der Potenzregel wird wirklich $1$ abgezogen.
- Innere Ableitung prüfen: Bei $\sqrt{g(x)}$ muss $g'(x)$ als Faktor erscheinen.
Ein negativer Exponent macht den Funktionswert nicht automatisch negativ. Er bedeutet einen Kehrwert: $a^{-r}=\frac{1}{a^r}$, sofern der Ausdruck definiert und $a\ne 0$ ist.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Wurzeln ableiten
- Wurzel als Potenz schreiben
- $\sqrt[n]{u}=u^{\frac1n}$
- Ableitungsregel wählen
- Potenzregel bei einfacher Wurzel
- Kettenregel bei innerer Funktion
- Ergebnis prüfen
- Exponent korrekt vermindert
- innere Ableitung vorhanden
- Definitionsbereich beachtet
- Wurzel als Potenz schreiben