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Graphen können wie eine Schüssel oder wie ein Bogen gekrümmt sein. Nach dieser Erklärung kannst du Krümmung und Wendestellen mit der zweiten Ableitung untersuchen.
- Ich kann Krümmung mit $f''$ deuten.
- Ich kann links- und rechtsgekrümmt unterscheiden.
- Ich kann Wendestellen prüfen.
- Ich kann Vorzeichenwechsel verwenden.
Grundidee
Die erste Ableitung beschreibt die Steigung. Die zweite Ableitung beschreibt, wie sich diese Steigung verändert.
Krümmungsverhalten
Das Krümmungsverhalten beschreibt, ob ein Graph linksgekrümmt oder rechtsgekrümmt ist.
Wendestelle
An einer Wendestelle wechselt der Graph sein Krümmungsverhalten. Entscheidend ist ein Vorzeichenwechsel von \(f''\).
\(f''>0\) bedeutet linksgekrümmt, \(f''<0\) bedeutet rechtsgekrümmt.
Schritt für Schritt
Berechne \(f''\), löse \(f''=0\) für Kandidaten und prüfe links und rechts das Vorzeichen.
Für \(f(x)=x^2\) gilt \(f''(x)=2\). Der Graph ist überall linksgekrümmt.
Für \(f(x)=x^3-3x\) gilt \(f''(x)=6x\). Bei \(x=0\) wechselt das Vorzeichen von negativ zu positiv, also liegt eine Wendestelle vor.
Typische Denkfehler
\(f''=0\) allein reicht nicht. Ohne Vorzeichenwechsel gibt es keine Wendestelle.
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Prüfungsmodus
Nutze eine Vorzeichentabelle für \(f''\). Setze Testwerte links und rechts der Kandidaten ein.
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
Das Krümmungsverhalten liest du an der zweiten Ableitung ab. Wendestellen findest du nur sicher, wenn du nach \(f''=0\) den Vorzeichenwechsel prüfst.