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Krümmungsverhalten mit der zweiten Ableitung
Ob ein Graph links- oder rechtsgekrümmt ist, erkennst du daran, wie sich seine Steigung verändert. Bei zweimal differenzierbaren Funktionen kannst du dafür das Vorzeichen der zweiten Ableitung $f''$ untersuchen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Krümmung an der Steigung erkennen
Stell dir vor, du gehst auf dem Graphen von links nach rechts. Dabei beobachtest du nicht nur, ob der Graph steigt oder fällt, sondern wie sich seine Steigung verändert.
Linkskrümmung
Ein Graph ist linksgekrümmt oder konvex, wenn seine Steigung nach rechts zunimmt. Seine Tangenten werden also immer steiler beziehungsweise weniger stark fallend. Der Graph erinnert an eine nach oben offene Schüssel.
Rechtskrümmung
Ein Graph ist rechtsgekrümmt oder konkav, wenn seine Steigung nach rechts abnimmt. Seine Tangenten werden also immer weniger steil beziehungsweise stärker fallend. Der Graph erinnert an einen nach unten gerichteten Buckel.
Die erste Ableitung $f'$ beschreibt die Steigung. Deshalb gilt auf einem passenden Intervall:
- $f'$ nimmt zu: Der Graph ist linksgekrümmt.
- $f'$ nimmt ab: Der Graph ist rechtsgekrümmt.
Krümmung beschreibt die Veränderung der Steigung, nicht die Steigung selbst. Auch ein fallender Graph kann linksgekrümmt sein, wenn seine Steigung zunimmt, zum Beispiel von $-5$ über $-3$ zu $-1$.
Mit der zweiten Ableitung entscheiden
Die zweite Ableitung $f''$ gibt an, wie sich $f'$ verändert. Ihr Vorzeichen liefert daher die Krümmungsrichtung:
$$f''(x)>0 \Rightarrow \text{linksgekrümmt beziehungsweise konvex}$$
$$f''(x)<0 \Rightarrow \text{rechtsgekrümmt beziehungsweise konkav}$$
Positiv führt nach links, negativ führt nach rechts. Entscheidend ist das Vorzeichen von $f''$ im untersuchten Intervall.
Für $f(x)=3x^2$ gilt
$$f'(x)=6x$$
und
$$f''(x)=6>0.$$
Die zweite Ableitung ist für jedes $x$ positiv. Der Graph ist deshalb überall linksgekrümmt.
Für $g(x)=-x^2$ erhältst du $g''(x)=-2<0$. Der Graph ist daher überall rechtsgekrümmt.
Krümmungsintervalle Schritt für Schritt bestimmen
Enthält $f''$ noch die Variable $x$, kann sich ihr Vorzeichen ändern. Dann untersuchst du die Krümmung in Intervallen.
- Bilde $f'$ und danach $f''$.
- Löse $f''(x)=0$. Die Lösungen sind mögliche Grenzen der Krümmungsintervalle.
- Teile die Zahlengerade an diesen Stellen in Intervalle.
- Prüfe in jedem Intervall das Vorzeichen von $f''$, zum Beispiel mit einem Testwert.
- Ordne positives $f''$ der Links- und negatives $f''$ der Rechtskrümmung zu.
Untersuche $f(x)=x^3+3x^2$.
Zuerst leitest du zweimal ab:
$$f'(x)=3x^2+6x$$
$$f''(x)=6x+6$$
Die mögliche Intervallgrenze folgt aus
$$6x+6=0 \Rightarrow x=-1.$$
Für $x<-1$ ist $6x+6<0$. Dort ist der Graph rechtsgekrümmt.
Für $x>-1$ ist $6x+6>0$. Dort ist der Graph linksgekrümmt.
Damit lautet das Ergebnis:
- rechtsgekrümmt auf $(-\infty;-1)$,
- linksgekrümmt auf $(-1;\infty)$.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Ist $f''$ in einem Intervall , ist der Graph dort linksgekrümmt. Ist $f''$ , ist er rechtsgekrümmt. Nullstellen von $f''$ sind zunächst nur .
Wendestellen sicher prüfen
Eine Wendestelle ist eine Stelle, an der der Graph seine Krümmungsrichtung wechselt. Eine Gleichung wie $f''(x_0)=0$ liefert nur einen Kandidaten.
Für einen sicheren Nachweis prüfst du das Vorzeichen von $f''$ links und rechts von $x_0$:
- Wechsel von negativ zu positiv: rechtsgekrümmt wird linksgekrümmt.
- Wechsel von positiv zu negativ: linksgekrümmt wird rechtsgekrümmt.
- Kein Vorzeichenwechsel: keine Wendestelle.
Im vorherigen Beispiel wechselt $f''$ bei $x=-1$ von negativ zu positiv. Daher ist $x=-1$ eine Wendestelle. Der zugehörige Funktionswert ist
$$f(-1)=(-1)^3+3(-1)^2=2.$$
Der Wendepunkt lautet also $W(-1\mid 2)$.
Warum reicht $f''(0)=0$ nicht aus? Betrachte $f(x)=x^4$:
$$f''(x)=12x^2.$$
Zwar gilt $f''(0)=0$. Links und rechts von $0$ ist $12x^2$ jedoch positiv. Der Graph bleibt auf beiden Seiten linksgekrümmt. Deshalb ist $x=0$ keine Wendestelle.
Nullstelle finden, Vorzeichenwechsel prüfen: Erst der Wechsel der Krümmungsrichtung weist eine Wendestelle nach.
Eine vollständige Untersuchung selbst durchführen
Untersuche die Funktion
$$h(x)=x^3-6x^2+9x.$$
Bestimme die Krümmungsintervalle, prüfe die Wendestelle und berechne den Wendepunkt.
Lösung
Die Ableitungen lauten
$$h'(x)=3x^2-12x+9$$
und
$$h''(x)=6x-12.$$
Als mögliche Intervallgrenze erhältst du
$$6x-12=0 \Rightarrow x=2.$$
Für $x<2$ ist $h''(x)<0$. Der Graph ist dort rechtsgekrümmt. Für $x>2$ ist $h''(x)>0$ und der Graph linksgekrümmt.
Da das Vorzeichen bei $x=2$ von negativ zu positiv wechselt, liegt eine Wendestelle vor. Der Funktionswert ist
$$h(2)=2^3-6\cdot2^2+9\cdot2=2.$$
Der Wendepunkt lautet $W(2\mid2)$.
Vertiefung: Richtung und Stärke unterscheiden
Das Vorzeichen von $f''$ beantwortet eine qualitative Frage: In welche Richtung ist der Graph gekrümmt? Der Zahlenwert von $f''$ ist im Allgemeinen aber kein direktes Maß dafür, wie stark die Kurve geometrisch gekrümmt ist.
Für einen Funktionsgraphen wird die vorzeichenbehaftete quantitative Krümmung durch
$$\kappa(x)=\frac{f''(x)}{\left(1+f'(x)^2\right)^{3/2}}$$
beschrieben. Neben $f''$ geht also auch die Steigung $f'$ ein.
Bei $f(x)=x^2$ ist $f''(x)=2$ konstant. Trotzdem ist die quantitative Krümmung nicht konstant, weil $f'(x)=2x$ den Nenner verändert. Die konstante zweite Ableitung zeigt hier zuverlässig die Richtung der Krümmung, aber nicht überall dieselbe Krümmungsstärke.
Für die übliche schulische Bestimmung der Links- und Rechtskrümmung genügt die Vorzeichenanalyse von $f''$. Die Formel mit $\kappa$ brauchst du nur, wenn ausdrücklich nach der numerischen Krümmungsstärke gefragt wird.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Krümmungsverhalten
- Veränderung der Steigung
- $f'$ nimmt zu: linksgekrümmt
- $f'$ nimmt ab: rechtsgekrümmt
- Zweite Ableitung
- $f''>0$: linksgekrümmt
- $f''<0$: rechtsgekrümmt
- Krümmungsintervalle
- Nullstellen von $f''$ als Grenzen prüfen
- Vorzeichen in jedem Intervall bestimmen
- Wendestelle
- $f''=0$ liefert einen Kandidaten
- Vorzeichenwechsel weist den Wechsel nach
- Krümmungsstärke
- nicht allein durch den Wert von $f''$ bestimmt
- Veränderung der Steigung
Abschluss-Check
Du beherrschst den Kernweg, wenn du zuerst $f''$ bestimmst, ihre Nullstellen nur als mögliche Intervallgrenzen behandelst und danach in jedem Intervall das Vorzeichen prüfst.