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Nullstellen berechnen: Methoden sicher wählen
Eine Nullstelle ist ein Wert $x_0$, für den $f(x_0)=0$ gilt. Im Graphen liegt dort ein Punkt auf der $x$-Achse: Der Graph schneidet oder berührt die Achse. Zum Berechnen setzt du deshalb immer zuerst $f(x)=0$, löst die entstehende Gleichung und prüfst deine Ergebnisse in der ursprünglichen Funktion.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was bedeutet eine Nullstelle?
Der Funktionswert ist an einer Nullstelle genau null. Die Zahl $x_0$ heißt Nullstelle. Der zugehörige Punkt $N(x_0\mid 0)$ heißt Nullpunkt. Verwechsle also Wert und Punkt nicht:
- Nullstelle: $x_0=3$
- Nullpunkt: $N(3\mid 0)$
Nullstelle
Eine Zahl $x_0$ ist eine Nullstelle der Funktion $f$, wenn $f(x_0)=0$ gilt. Graphisch gehört dazu ein Schnitt- oder Berührpunkt des Graphen mit der $x$-Achse.
Der Grundablauf
- Prüfe zuerst den Definitionsbereich. Bei einem Bruch darf der Nenner zum Beispiel nicht null werden.
- Setze den Funktionsterm gleich null: $f(x)=0$.
- Vereinfache die Gleichung und erkenne ihre Form.
- Wähle ein passendes Lösungsverfahren.
- Setze jede gefundene Lösung in die ursprüngliche Funktion ein.
Für $f(x)=2x-3$ gilt:
$$2x-3=0$$
Addiere $3$ auf beiden Seiten und teile dann durch $2$:
$$2x=3$$
$$x=\frac32=1{,}5$$
Probe: $f(1{,}5)=2\cdot1{,}5-3=0$. Also ist $x_0=1{,}5$ die Nullstelle und $N(1{,}5\mid0)$ der Nullpunkt.
Wie wählst du die passende Methode?
Die Form der Gleichung entscheidet über die Methode. Bereite eine unübersichtliche Gleichung zuerst vor: Bringe alle Terme auf eine Seite, löse Klammern auf und fasse Gleichartiges zusammen.
| Form nach dem Nullsetzen | Passende Methode |
|---|---|
| $mx+t=0$ mit $m\neq0$ | nach $x$ umstellen |
| Produkt aus Faktoren | Satz vom Nullprodukt |
| $ax^2+bx+c=0$ mit $a\neq0$ | faktorisieren oder quadratische Lösungsformel |
| Exponentialterm | Exponentialterm isolieren, dann logarithmieren |
| höheres Polynom | bekannte Nullstelle nutzen und Grad durch Division senken |
Lineare und konstante Funktionen
Für eine echte lineare Funktion $f(x)=mx+t$ mit $m\neq0$ gilt:
$$x_0=-\frac{t}{m}$$
Eine solche Funktion hat genau eine Nullstelle. Bei einer konstanten Funktion $f(x)=c$ gelten dagegen Sonderfälle:
- Für $c\neq0$ gibt es keine Nullstelle.
- Für $c=0$ ist jede reelle Zahl eine Nullstelle.
Ausklammern und Nullprodukt
Enthält jeder Summand einen gemeinsamen Faktor, klammere ihn aus. Danach nutzt du den Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens ein Faktor null ist.
Bestimme die Nullstellen von $f(x)=x^2-3x$.
Zuerst ausklammern:
$$0=x^2-3x=x(x-3)$$
Nun jeden Faktor einzeln null setzen:
$$x=0 \quad\text{oder}\quad x-3=0$$
Daraus folgen $x_1=0$ und $x_2=3$. Beide Werte ergeben beim Einsetzen den Funktionswert null.
Wende den Satz vom Nullprodukt nur auf ein Produkt an. Aus $A+B=0$ darfst du nicht folgern, dass $A=0$ oder $B=0$ gilt.
Wie löst du quadratische Gleichungen?
Nach dem Nullsetzen hat eine quadratische Gleichung die Form
$$ax^2+bx+c=0 \qquad (a\neq0).$$
Sie kann zwei, eine doppelte oder keine reelle Nullstelle besitzen. Prüfe zuerst, ob du faktorisieren oder ausklammern kannst. Sonst hilft eine Lösungsformel.
Mitternachtsformel
Die Mitternachtsformel, auch abc-Formel genannt, verarbeitet $a$, $b$ und $c$ direkt:
$$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
Für $f(x)=2x^2-4x-6$ sind $a=2$, $b=-4$ und $c=-6$.
$$x_{1,2}=\frac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot2\cdot(-6)}}{2\cdot2}$$
$$x_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt{64}}4=\frac{4\pm8}{4}$$
Damit gilt $x_1=3$ und $x_2=-1$. Die Probe bestätigt: $f(3)=0$ und $f(-1)=0$.
p-q-Formel nach dem Normieren
Die p-q-Formel gilt für
$$x^2+px+q=0.$$
$$x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$$
Steht vor $x^2$ nicht $1$, musst du die gesamte Gleichung zuerst durch $a$ teilen. Es ist also nicht verboten, die p-q-Formel bei $a\neq1$ zu verwenden; die Normierung ist nur ein notwendiger Zwischenschritt.
Wie viele reelle Nullstellen gibt es?
Bei der Mitternachtsformel heißt $D=b^2-4ac$ Diskriminante. Bei der p-q-Formel übernimmt der Radikand $R=(p/2)^2-q$ dieselbe Entscheidung:
- $D>0$ beziehungsweise $R>0$: zwei reelle Nullstellen
- $D=0$ beziehungsweise $R=0$: eine doppelte Nullstelle
- $D<0$ beziehungsweise $R<0$: keine reelle Nullstelle
Für $x^2-4x+5=0$ sind $p=-4$ und $q=5$.
$$R=\left(\frac{-4}{2}\right)^2-5=4-5=-1$$
Da $R<0$ ist, besitzt die Funktion im Bereich der reellen Zahlen keine Nullstelle. Die Aussage hängt also davon ab, dass hier nur reelle Zahlen betrachtet werden.
Was ändert sich bei anderen Funktionstypen?
Das Grundprinzip $f(x)=0$ bleibt gleich. Je nach Funktion musst du aber zusätzliche Bedingungen beachten oder eine andere Gleichungsmethode verwenden.
Gebrochenrationale Funktionen
Notiere zuerst alle Werte, für die ein Nenner null würde. Diese Werte gehören nicht zum Definitionsbereich und dürfen keine Lösung sein.
Für $f(x)=\frac1{x-1}+1$ gilt zunächst $x\neq1$.
$$0=\frac1{x-1}+1$$
$$-1=\frac1{x-1}$$
Weil $x-1\neq0$ gilt, darfst du mit $x-1$ multiplizieren:
$$-(x-1)=1$$
$$-x+1=1$$
$$x=0$$
Der Wert $0$ ist erlaubt und die Probe ergibt $f(0)=0$.
Exponentialfunktionen
Die Grundfunktion $e^x$ hat keine Nullstelle, denn ihre Werte sind immer positiv. Verschobene Exponentialfunktionen können aber Nullstellen haben.
Für $f(x)=e^{x-1}-2$ isolierst du zuerst den Exponentialterm:
$$e^{x-1}=2$$
Dann logarithmierst du beide Seiten mit dem natürlichen Logarithmus $\ln$:
$$x-1=\ln(2)$$
$$x=1+\ln(2)$$
Die Probe nutzt $e^{\ln(2)}=2$ und ergibt somit $f(1+\ln(2))=0$.
Polynome dritten und höheren Grades
Bei einem Polynom dritten Grades kannst du höchstens drei reelle Nullstellen finden. Ist eine Nullstelle $x_1$ bekannt, gehört der Faktor $(x-x_1)$ zum Polynom. Durch Polynomdivision senkst du den Grad und löst anschließend den Quotienten.
Gegeben ist $f(x)=x^3-2x^2-x+2$. Einsetzen zeigt $f(1)=0$. Also ist $(x-1)$ ein Faktor.
$$\left(x^3-2x^2-x+2\right):(x-1)=x^2-x-2$$
Der Quotient faktorisiert zu $(x-2)(x+1)$. Daher lauten alle Nullstellen
$$x_1=1,\qquad x_2=2,\qquad x_3=-1.$$
Die Probe in der ursprünglichen Funktion bestätigt alle drei Werte. Das bloße Probieren einfacher Zahlen garantiert allerdings nicht, dass du eine Nullstelle findest.
Kannst du eine unübersichtliche Gleichung vorbereiten?
Nicht jede Aufgabe zeigt ihre Form sofort. Bringe zuerst alles auf eine Seite und vereinfache. Erst danach entscheidest du über die Methode.
Löse $2(x-3)(x+1)=5$.
Zuerst alles auf eine Seite bringen:
$$2(x-3)(x+1)-5=0$$
Klammern ausmultiplizieren und zusammenfassen:
$$2(x^2-2x-3)-5=0$$
$$2x^2-4x-11=0$$
Nun ist die Gleichung quadratisch. Mit der Mitternachtsformel folgt
$$x_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt{16+88}}4$$
$$x_{1,2}=1\pm\frac{\sqrt{26}}2$$
Beide Werte müssen in die ursprüngliche Gleichung $2(x-3)(x+1)=5$ eingesetzt werden. So prüfst du zugleich, ob beim Ausmultiplizieren ein Vorzeichenfehler passiert ist.
Typische Fehler vermeiden
- Du setzt nicht $x=0$, sondern den Funktionswert: $f(x)=0$.
- Du teilst nicht durch einen Ausdruck mit $x$, ohne den Fall zu prüfen, dass dieser Ausdruck null sein könnte.
- Du übernimmst bei Formeln die Vorzeichen von $a$, $b$ und $c$ genau.
- Du vergisst bei $\pm$ nicht die zweite Lösung.
- Du prüfst Definitionsbereich und Originalfunktion, nicht nur eine umgeformte Zwischenzeile.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Um Nullstellen zu berechnen, setzt du den gleich null. Ein Produkt ist null, wenn mindestens ein null ist. Vor der p-q-Formel muss der Koeffizient vor $x^2$ gleich sein. Ein negativer Radikand bedeutet im Bereich der reellen Zahlen .
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Nullstellen berechnen
- Bedeutung: $f(x_0)=0$ und Nullpunkt $N(x_0\mid0)$
- Vorbereiten: Definitionsbereich prüfen, null setzen, vereinfachen
- Linear: nach $x$ umstellen
- Produkt: Faktoren einzeln null setzen
- Quadratisch: faktorisieren, abc-Formel oder normierte p-q-Formel
- Andere Typen: Bruchbedingung, Logarithmus oder Grad senken
- Abschluss: Lösungen in der Originalfunktion prüfen
Abschluss-Check
Du bist fertig, wenn du nicht nur Lösungen berechnet hast, sondern auch begründen kannst, warum die gewählte Methode zur Gleichungsform passt und warum jede Lösung zulässig ist.