Mit Google fortfahren
pq-Formel: Quadratische Gleichungen lösen
Mit der pq-Formel löst du quadratische Gleichungen in der Normalform $x^2+px+q=0$. Du liest $p$ und $q$ mit ihren Vorzeichen ab, setzt sie in die Formel ein und berechnest den Plus- und den Minuszweig.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Zuerst die Normalform herstellen
Die pq-Formel passt unmittelbar nur zu Gleichungen, vor deren $x^2$ kein anderer Faktor als $1$ steht und deren rechte Seite $0$ ist.
Normalform
Eine quadratische Gleichung steht in Normalform, wenn sie so geschrieben ist:
$$x^2+px+q=0$$
Dabei ist $p$ der Koeffizient vor $x$ und $q$ der konstante Term ohne $x$.
So liest du fehlende Terme:
- In $x^2+4x=0$ gilt $p=4$ und $q=0$.
- In $x^2+3=0$ gilt $p=0$ und $q=3$.
- In $x^2-x+3=0$ gilt $p=-1$ und $q=3$.
- In $x^2+x+3=0$ gilt $p=1$ und $q=3$.
Steht rechts noch eine Zahl, bringst du alle Terme auf eine Seite. Bei $x^2+4x=3$ ziehst du auf beiden Seiten $3$ ab und erhältst $x^2+4x-3=0$.
Steht vor $x^2$ ein anderer Faktor, teilst du jeden Term der Gleichung durch diesen Faktor. Aus $2x^2-8x+6=0$ wird so $x^2-4x+3=0$.
Lies $p$ und $q$ erst ab, wenn links die Normalform und rechts $0$ steht.
Die pq-Formel Schritt für Schritt anwenden
Für $x^2+px+q=0$ lautet die pq-Formel:
$$x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$$
Das Zeichen $\pm$ bedeutet, dass du zwei Zweige berechnest: einmal mit Plus und einmal mit Minus.
Gehe immer in derselben Reihenfolge vor:
- Stelle die Normalform her.
- Lies $p$ und $q$ mit ihren Vorzeichen ab.
- Setze beide Werte in Klammern ein.
- Berechne den Plus- und den Minuszweig getrennt.
- Notiere die Lösungsmenge.
Löse $x^2-2x-8=0$.
Die Gleichung steht bereits in Normalform. Es gilt $p=-2$ und $q=-8$.
$$x_{1,2}=-\frac{-2}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{-2}{2}\right)^2-(-8)}$$
Zuerst vereinfachst du die Vorzeichen und den Wert unter der Wurzel:
$$x_{1,2}=1\pm\sqrt{1+8}=1\pm3$$
Nun trennst du beide Zweige:
$$x_1=1+3=4$$
$$x_2=1-3=-2$$
Damit ist $L=\{-2;4\}$. Zur Kontrolle kannst du beide Zahlen in die Ausgangsgleichung einsetzen; beide ergeben links $0$.
Die Anzahl der reellen Lösungen erkennen
Der Wert unter der Wurzel heißt hier Diskriminante:
$$D=\left(\frac{p}{2}\right)^2-q$$
Sein Vorzeichen zeigt dir schon vor dem letzten Rechenschritt die Anzahl der reellen Lösungen:
- $D>0$: Es gibt zwei verschiedene reelle Lösungen.
- $D=0$: Plus- und Minuszweig ergeben denselben Wert. Es gibt genau eine reelle Lösung.
- $D<0$: Es gibt keine reelle Lösung, weil eine negative Zahl in den reellen Zahlen keine Quadratwurzel besitzt.
Für $x^2-12x+36=0$ gilt $p=-12$ und $q=36$.
$$D=\left(\frac{-12}{2}\right)^2-36=36-36=0$$
Deshalb fallen beide Formelzweige zusammen:
$$x=-\frac{-12}{2}=6$$
Die Lösungsmenge lautet $L=\{6\}$.
Bei $x^2+2x+4=0$ ist dagegen
$$D=\left(\frac{2}{2}\right)^2-4=1-4=-3$$
Die Gleichung besitzt daher keine reelle Lösung: $L=\{\}$.
Eine negative Diskriminante ist nicht automatisch ein Rechenfehler. Sie ist ein mögliches Ergebnis und bedeutet hier: keine Lösung im Bereich der reellen Zahlen.
Normieren und typische Fehler vermeiden
Besonders häufig entstehen Fehler, bevor die eigentliche Formel angewendet wird.
Löse $4x^2+80x-176=0$.
Vor $x^2$ steht der Faktor $4$. Deshalb teilst du die ganze Gleichung durch $4$:
$$x^2+20x-44=0$$
Nun gilt $p=20$ und $q=-44$.
$$x_{1,2}=-\frac{20}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{20}{2}\right)^2-(-44)}$$
$$x_{1,2}=-10\pm\sqrt{100+44}=-10\pm12$$
Damit erhältst du $x_1=2$ und $x_2=-22$. Also ist $L=\{-22;2\}$.
Achte besonders auf diese Fehlerquellen:
- Nur den ersten Term teilen: Beim Normieren muss jeder Term geteilt werden.
- Vorzeichen verlieren: Aus $q=-44$ wird in der Formel $-(-44)=+44$.
- Klammer vergessen: Quadriert wird der gesamte Ausdruck $p/2$.
- Nur einen Zweig rechnen: $\pm$ verlangt normalerweise eine Plus- und eine Minusrechnung.
- „Keine Lösung“ ungenau schreiben: Bei negativer Diskriminante gibt es keine reelle Lösung.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Um $2x^2-8x+6=0$ zu normieren, teilst du jeden Term durch . Dann erhältst du $x^2+=0$. Somit gilt $p=$ und $q=$.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- pq-Formel
- Voraussetzung: Normalform $x^2+px+q=0$
- Rechte Seite ist $0$
- Koeffizient vor $x^2$ ist $1$
- Einsetzen
- $p$ und $q$ mit Vorzeichen
- Plus- und Minuszweig
- Diskriminante
- Positiv: zwei reelle Lösungen
- Null: eine reelle Lösung
- Negativ: keine reelle Lösung
- Kontrolle
- Lösungen in die Ausgangsgleichung einsetzen
- Voraussetzung: Normalform $x^2+px+q=0$
Abschluss-Check
Wenn du Normalform, Vorzeichen und beide Formelzweige sorgfältig prüfst, kannst du die pq-Formel zuverlässig anwenden. Die Diskriminante verrät dir zusätzlich, ob zwei, eine oder keine reelle Lösung zu erwarten ist.