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Quadratische Gleichungen sehen oft schwer aus, weil \(x^2\) und \(x\) zusammen vorkommen. Die pq-Formel ist ein festes Werkzeug, mit dem du viele dieser Gleichungen systematisch lösen kannst.
- Ich kann eine Gleichung in die pq-Form bringen.
- Ich kann p und q richtig ablesen.
- Ich kann die pq-Formel anwenden.
- Ich kann erkennen, ob es zwei, eine oder keine reelle Lösung gibt.
Die passende Form
Die pq-Formel funktioniert für Gleichungen der Form \(x^2+px+q=0\). Vor \(x^2\) muss also eine 1 stehen. Wenn dort eine andere Zahl steht, teilst du zuerst die ganze Gleichung durch diese Zahl.
pq-Form
Die pq-Form einer quadratischen Gleichung ist \(x^2+px+q=0\). Dabei ist \(p\) der Faktor vor \(x\) und \(q\) die Zahl ohne \(x\).
\(2x^2-8x+6=0\)
- Vor \(x^2\) steht 2, also durch 2 teilen.
- \(x^2-4x+3=0\).
- Jetzt ist \(p=-4\) und \(q=3\).
Erst auf \(x^2+px+q=0\) bringen, dann p und q ablesen.
Die Formel anwenden
Die pq-Formel lautet \(x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{(\frac p2)^2-q}\). Der Ausdruck unter der Wurzel entscheidet, wie viele reelle Lösungen es gibt.
pq-Formel
Für \(x^2+px+q=0\) gilt: \(x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{(\frac p2)^2-q}\).
Löse \(x^2-6x+8=0\).
- \(p=-6\), \(q=8\).
- \(-\frac p2=3\).
- \((\frac p2)^2-q=(-3)^2-8=1\).
- \(x_{1,2}=3\pm\sqrt1\).
- Also \(x_1=4\) und \(x_2=2\).
- Probe: \(2^2-6\cdot2+8=0\) und \(4^2-6\cdot4+8=0\).
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Anzahl der Lösungen
Wenn unter der Wurzel eine positive Zahl steht, gibt es zwei Lösungen. Bei 0 gibt es eine doppelte Lösung. Bei einer negativen Zahl gibt es keine reelle Lösung.
\(x^2+2x+5=0\)
- \(p=2\), \(q=5\).
- \((\frac p2)^2-q=1^2-5=-4\).
- Aus einer negativen Zahl kannst du in den reellen Zahlen keine Wurzel ziehen.
- Es gibt keine reelle Lösung.
In höheren Klassen lernst du komplexe Lösungen. Für die meisten Schulaufgaben zur pq-Formel heißt eine negative Wurzelstelle: keine reelle Lösung.
Prüfungsmodus
Prüfe jeden Zwischenschritt: Gleichung gleich 0? Vor \(x^2\) eine 1? Vorzeichen von p richtig? Gerade bei negativen p-Werten passieren viele Fehler.
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
Die pq-Formel löst quadratische Gleichungen in der Form \(x^2+px+q=0\). Bringe die Gleichung zuerst in diese Form, lies p und q sorgfältig ab und prüfe den Ausdruck unter der Wurzel. Eine Probe schützt vor Vorzeichenfehlern.