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Manchmal musst du eine quadratische Gleichung gar nicht vollständig lösen, um viel über sie zu wissen. Ein einzelner Ausdruck verrät dir schon, wie viele Lösungen möglich sind.
Hier lernst du, was die Diskriminante ist, wie du sie berechnest und wie du sie bei quadratischen Gleichungen und Parabeln deutest.
- Ich kann die Diskriminante in der Mitternachtsformel benennen.
- Ich kann $D=b^2-4ac$ berechnen.
- Ich kann aus $D$ die Anzahl reeller Lösungen ablesen.
- Ich kann den Zusammenhang zu Nullstellen einer Parabel erklären.
- Ich kann typische Vorzeichenfehler vermeiden.
Was ist die Diskriminante?
Die Diskriminante ist der Term unter der Wurzel in der Mitternachtsformel. Sie entscheidet, ob die Wurzel möglich ist.
Diskriminante
Die Diskriminante einer quadratischen Gleichung \(ax^2+bx+c=0\) ist \(D=b^2-4ac\).
Für \(x^2-5x+6=0\) gilt:
\(a=1\), \(b=-5\), \(c=6\).
\(D=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1\).
Die Diskriminante ist \(1\).
Die Diskriminante steht unter der Wurzel. Deshalb ist ihr Vorzeichen so wichtig.
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Anzahl der Lösungen
Bei reellen Zahlen darf unter einer Quadratwurzel keine negative Zahl stehen. Deshalb unterscheidest du drei Fälle.
\(D>0\): zwei verschiedene reelle Lösungen.
\(x^2-5x+6=0\)
\(D=1>0\)
Die Gleichung hat zwei Lösungen.
\(D=0\): eine reelle Lösung.
\(x^2-4x+4=0\)
\(D=16-16=0\)
Die Gleichung hat genau eine doppelte Lösung.
\(D<0\): keine reelle Lösung.
\(x^2+2x+5=0\)
\(D=4-20=-16\)
Die Gleichung hat keine reelle Lösung.
Positiv: zwei. Null: eine. Negativ: keine reelle Lösung.
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Rechnen mit Vorzeichen
Der häufigste Fehler ist das falsche Quadrieren von \(b\) oder das Übersehen eines negativen \(c\).
Berechne \(D\) für \(2x^2-3x-2=0\).
\(a=2\), \(b=-3\), \(c=-2\).
\(D=(-3)^2-4\cdot2\cdot(-2)\)
\(D=9+16\)
\(D=25\)
Es gibt zwei reelle Lösungen.
Berechne \(D\) für \(3x^2+6x+3=0\).
\(a=3\), \(b=6\), \(c=3\).
\(D=6^2-4\cdot3\cdot3=36-36=0\).
Es gibt eine reelle Lösung.
Setze negative Werte in Klammern ein. Aus \((-3)^2\) wird \(9\), nicht \(-9\).
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Zusammenhang mit Parabeln
Eine quadratische Gleichung \(ax^2+bx+c=0\) fragt nach den Nullstellen der Parabel \(y=ax^2+bx+c\).
Nullstelle
Eine Nullstelle ist eine x-Stelle, an der der Funktionswert \(0\) ist. Der Graph schneidet oder berührt dort die x-Achse.
Wenn \(D>0\) ist, schneidet die Parabel die x-Achse in zwei Punkten.
Das bedeutet: zwei Nullstellen und zwei Lösungen.
Wenn \(D=0\) ist, berührt die Parabel die x-Achse genau im Scheitelpunkt.
Das bedeutet: eine doppelte Nullstelle.
Wenn \(D<0\) ist, trifft die Parabel die x-Achse nicht.
Das bedeutet: keine reelle Nullstelle.
Die Diskriminante verbindet Rechnung und Graph: Sie sagt, wie die Parabel zur x-Achse liegt.
Prüfungsmodus: Erst entscheiden, dann lösen
In manchen Aufgaben reicht die Anzahl der Lösungen. Dann musst du die Gleichung nicht vollständig lösen.
Aufgabe: Bestimme nur die Anzahl der reellen Lösungen von \(4x^2+4x+5=0\).
\(D=4^2-4\cdot4\cdot5=16-80=-64\).
\(D<0\), also gibt es keine reelle Lösung.
Du musst keine Mitternachtsformel mehr bis zum Ende rechnen.
Aufgabe: Hat \(x^2-8x+16=0\) zwei verschiedene Lösungen?
\(D=64-64=0\).
Nein. Es gibt nur eine doppelte Lösung.
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Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Die Diskriminante \(D=b^2-4ac\) gehört zur quadratischen Gleichung \(ax^2+bx+c=0\). Ihr Vorzeichen zeigt, wie viele reelle Lösungen es gibt.
\(D>0\) bedeutet zwei Lösungen, \(D=0\) bedeutet eine doppelte Lösung, und \(D<0\) bedeutet keine reelle Lösung.