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Diskriminante berechnen und Lösungen erkennen
Die Diskriminante ist der Ausdruck $D=b^2-4ac$ einer quadratischen Gleichung $ax^2+bx+c=0$. Ihr Vorzeichen zeigt dir schon vor dem vollständigen Lösen, ob die Gleichung zwei, eine oder keine reelle Lösung besitzt.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Die Koeffizienten richtig einsetzen
Bringe die Gleichung zuerst in die Form
$$ax^2+bx+c=0,\qquad a\neq 0.$$
Dann liest du die Koeffizienten ab:
- $a$ steht vor $x^2$.
- $b$ steht vor $x$.
- $c$ ist die Zahl ohne $x$.
Diskriminante
Die Diskriminante einer quadratischen Gleichung ist
$$D=b^2-4ac.$$
Sie heißt Diskriminante, weil ihr Wert verschiedene Lösungsfälle unterscheidet.
Gegeben ist
$$x^2-3x+2=0.$$
Hier gilt $a=1$, $b=-3$ und $c=2$. Setze die Koeffizienten mit ihren Vorzeichen ein:
$$D=(-3)^2-4\cdot1\cdot2=9-8=1.$$
Besonders wichtig ist die Klammer um $-3$: Das Quadrat ergibt $(-3)^2=9$.
Das Vorzeichen von D deuten
Für reelle Koeffizienten gibt es bei quadratischen Gleichungen drei Fälle:
| Wert von $D$ | Reelle Lösungen | Bedeutung |
|---|---|---|
| $D>0$ | zwei | Die beiden Ergebnisse der Lösungsformel sind verschieden. |
| $D=0$ | eine | Die beiden Ergebnisse fallen zusammen. |
| $D<0$ | keine | Eine negative Zahl besitzt keine reelle Quadratwurzel. |
Positiv: zwei reelle Lösungen. Null: eine doppelte reelle Nullstelle. Negativ: keine reelle Lösung.
Bei $D=0$ spricht man von einer doppelten Nullstelle oder einer Nullstelle mit Vielfachheit 2. Sie wird als ein Wert in die Lösungsmenge geschrieben.
Bei $D<0$ bedeutet „keine Lösung“ genauer: keine Lösung in den reellen Zahlen. Über den komplexen Zahlen gibt es dennoch zwei nichtreelle, zueinander konjugierte Lösungen.
Erst vorhersagen, dann vollständig lösen
Die Lösungsformel lautet
$$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}.$$
Berechne zuerst $D$. So weißt du bereits, wie viele reelle Ergebnisse du erwarten musst.
Löse $x^2-3x+2=0$.
1. Koeffizienten bestimmen: $a=1$, $b=-3$, $c=2$.
2. Diskriminante berechnen:
$$D=(-3)^2-4\cdot1\cdot2=1.$$
Da $D>0$ ist, erwartest du zwei verschiedene reelle Lösungen.
3. Lösungsformel anwenden:
$$x_{1,2}=\frac{-(-3)\pm\sqrt1}{2\cdot1}=\frac{3\pm1}{2}.$$
Damit erhältst du
$$x_1=2\qquad\text{und}\qquad x_2=1.$$
Die Lösungsmenge ist $L=\{1;2\}$. Die zwei gefundenen Werte passen zur Vorhersage $D>0$.
Für $x^2+4x+4=0$ gilt
$$D=4^2-4\cdot1\cdot4=0.$$
Die Lösungsformel ergibt nur $x=-2$. Deshalb ist $L=\{-2\}$; $-2$ ist eine doppelte Nullstelle.
Vorzeichenfehler und Grenzen vermeiden
Diese Fehler treten besonders häufig auf:
- Die Gleichung ist noch nicht auf null gebracht. Erst in der Form $ax^2+bx+c=0$ kannst du $a$, $b$ und $c$ zuverlässig ablesen.
- Ein negatives $b$ wird ohne Klammern quadriert. Schreibe zum Beispiel $(-3)^2$ statt $-3^2$.
- Das Minus in $b^2-4ac$ geht verloren. Berechne zuerst $b^2$ und $4ac$, dann bilde die Differenz.
- $D<0$ wird als „überhaupt keine Lösung“ gedeutet. Richtig ist: keine reelle Lösung.
- Bei $D=0$ werden zwei gleiche Zahlen als zwei verschiedene Lösungen gezählt. Die Lösungsmenge enthält den Wert nur einmal.
Die einfache Zuordnung $D>0$, $D=0$ und $D<0$ zur Anzahl reeller Lösungen gilt in dieser Form für quadratische Gleichungen. Bei Polynomen höheren Grades zeigt $D=0$ weiterhin eine mehrfache Nullstelle an. Eine positive Diskriminante garantiert ab Grad 4 aber nicht, dass alle Nullstellen reell sind.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Diskriminante einer quadratischen Gleichung
- Vorbereiten: Gleichung auf null bringen und Koeffizienten mit Vorzeichen ablesen
- Berechnen: $D=b^2-4ac$ und negative Werte in Klammern einsetzen
- Deuten: positiv bedeutet zwei, null eine doppelte und negativ keine reelle Lösung
- Überprüfen: Lösungsformel anwenden und Ergebniszahl mit der Vorhersage vergleichen
Abschluss-Check
Du kannst die Diskriminante nun als schnelle Entscheidungshilfe nutzen: Gleichung ordnen, Koeffizienten mit Vorzeichen einsetzen, $D$ berechnen und das Vorzeichen deuten.