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Quadratische Gleichungen tauchen auf, wenn etwas mit einer Fläche, einer Wurfkurve oder einem Produkt zusammenhängt. Sie sehen zuerst ungewohnt aus, lassen sich aber mit einem klaren Plan lösen.
Hier lernst du, woran du quadratische Gleichungen erkennst, welche Lösungswege es gibt und wie du am Ende prüfst, ob deine Lösungen stimmen.
- Ich kann eine quadratische Gleichung erkennen.
- Ich kann einfache quadratische Gleichungen durch Wurzelziehen lösen.
- Ich kann Gleichungen durch Faktorisieren lösen.
- Ich kann die pq-Formel passend anwenden.
- Ich kann Lösungen durch Einsetzen prüfen.
Was ist eine quadratische Gleichung?
Eine Gleichung ist quadratisch, wenn die Variable im Quadrat vorkommt. Meistens heißt die Variable \(x\).
Quadratische Gleichung
Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung, in der \(x^2\) vorkommt und keine höhere Potenz wie \(x^3\). Die Normalform ist \(ax^2+bx+c=0\) mit \(a\ne0\).
\(x^2-5x+6=0\) ist quadratisch.
Der höchste Exponent von \(x\) ist \(2\).
\(2x+7=0\) ist dagegen linear, weil kein \(x^2\) vorkommt.
Bringe quadratische Gleichungen zuerst auf die Form "alles auf einer Seite, 0 auf der anderen Seite".
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Einfache Fälle: Wurzelziehen
Wenn nur \(x^2\) vorkommt und kein einzelnes \(x\), kannst du oft direkt die Wurzel ziehen.
Wurzelziehen
Beim Wurzelziehen suchst du die Zahlen, deren Quadrat eine gegebene Zahl ergibt.
Löse \(x^2=49\).
Gesucht sind Zahlen, deren Quadrat \(49\) ist.
\(7^2=49\) und \((-7)^2=49\).
Also gilt:
\(x=7\) oder \(x=-7\).
Löse \(3x^2-12=0\).
Zuerst umformen:
\(3x^2=12\)
\(x^2=4\)
Dann Wurzel ziehen:
\(x=2\) oder \(x=-2\).
Beim Wurzelziehen aus \(x^2=a\) bekommst du meistens zwei Lösungen: \(+\sqrt a\) und \(-\sqrt a\).
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Faktorisieren und Nullprodukt
Manche quadratischen Gleichungen kannst du als Produkt schreiben. Dann hilft der Satz vom Nullprodukt.
Satz vom Nullprodukt
Der Satz vom Nullprodukt sagt: Wenn ein Produkt \(0\) ist, muss mindestens ein Faktor \(0\) sein.
Löse \((x-2)(x-5)=0\).
Nach dem Nullprodukt gilt:
\(x-2=0\) oder \(x-5=0\).
Also:
\(x=2\) oder \(x=5\).
Löse \(x^2-7x+12=0\).
Du suchst zwei Zahlen mit Produkt \(12\) und Summe \(7\).
\(3\) und \(4\) passen.
Also:
\(x^2-7x+12=(x-3)(x-4)\).
Jetzt:
\((x-3)(x-4)=0\)
\(x=3\) oder \(x=4\).
Faktorisieren ist schnell, wenn du passende Zahlen leicht erkennst. Wenn nicht, nimm eine Formel.
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pq-Formel
Die pq-Formel löst Gleichungen in der Form \(x^2+px+q=0\). Dafür muss vor \(x^2\) eine \(1\) stehen.
pq-Formel
Für \(x^2+px+q=0\) gilt:
Löse \(x^2-6x+8=0\).
Hier ist \(p=-6\) und \(q=8\).
Einsetzen:
Also:
\(x_1=4\) und \(x_2=2\).
Wenn vor \(x^2\) nicht \(1\) steht, teile die ganze Gleichung zuerst durch diese Zahl. Aus \(2x^2-8x+6=0\) wird zum Beispiel \(x^2-4x+3=0\).
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Prüfungsmodus: Methode wählen und prüfen
In Klassenarbeiten musst du oft zuerst erkennen, welcher Weg sinnvoll ist.
Aufgabe: \(x^2-16=0\)
Das ist ein einfacher Wurzelfall:
\(x^2=16\)
\(x=4\) oder \(x=-4\).
Aufgabe: \(x^2+5x+6=0\)
Faktorisieren geht schnell:
\(x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\).
Also:
\(x=-2\) oder \(x=-3\).
Probe für \(x=-2\):
\((-2)^2+5\cdot(-2)+6=4-10+6=0\).
Aufgabe: \(2x^2+3x-2=0\)
Hier ist die pq-Formel erst nach dem Teilen möglich:
\(x^2+\frac32x-1=0\).
Bei solchen Brüchen ist die Mitternachtsformel oft bequemer.
Prüfe am Ende durch Einsetzen. Eine Lösung muss die ursprüngliche Gleichung wahr machen.
Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Quadratische Gleichungen haben als höchste Potenz \(x^2\). Bringe sie zuerst in eine übersichtliche Form und wähle dann den passenden Weg: Wurzelziehen, Faktorisieren, pq-Formel oder Mitternachtsformel.
Am Ende setzt du deine Lösungen in die ursprüngliche Gleichung ein. So findest du Vorzeichenfehler und vergessene Umformungen.