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Quadratische Gleichungen lösen: Wege und Beispiele
Quadratische Gleichungen bringst du zuerst in die Nullform $ax^2+bx+c=0$ mit $a\neq0$. Dann wählst du nach der Form den kürzesten sicheren Lösungsweg: Wurzelziehen, Ausklammern oder eine Lösungsformel.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Welches Verfahren passt zur Gleichung?
Eine Gleichung ist quadratisch, wenn sie sich in die Form $ax^2+bx+c=0$ mit $a\neq0$ bringen lässt. Die höchste Potenz der Variablen ist dann $2$.
Nullform
In der Nullform steht auf einer Seite $ax^2+bx+c$ und auf der anderen Seite $0$. Dabei heißen $a$, $b$ und $c$ Koeffizienten. Das Glied $c$ ist die Konstante.
Prüfe nach dem Herstellen der Nullform, welche Glieder vorhanden sind:
- Fehlt das lineare Glied $bx$, isolierst du $x^2$ und ziehst die Wurzel.
- Fehlt die Konstante $c$, klammerst du $x$ aus und nutzt den Satz vom Nullprodukt.
- Sind alle drei Glieder vorhanden, nutzt du die abc-Formel oder normierst zuerst für die pq-Formel beziehungsweise die quadratische Ergänzung.
Für $x^2-25=0$ fehlt das lineare Glied: Wurzelziehen passt. Bei $x^2-5x=0$ fehlt die Konstante: Ausklammern passt. In $x^2+4x-3=0$ sind alle Glieder vorhanden: Eine Lösungsformel oder die quadratische Ergänzung passt.
Erst Nullform herstellen, dann die Struktur ansehen, erst danach rechnen.
Wie funktioniert das Wurzelziehen?
Bei einer Gleichung der Form $ax^2+c=0$ isolierst du zuerst $x^2$. Danach entscheidest du anhand der rechten Seite, wie viele reelle Lösungen möglich sind.
Löse $2x^2-32=0$.
- Addiere $32$: $2x^2=32$.
- Teile durch $2$: $x^2=16$.
- Ziehe die Wurzel mit beiden Vorzeichen: $x=\pm4$.
Die Lösungsmenge ist $\mathbb L=\{-4;4\}$. Die Probe bestätigt beide Werte, denn $2\cdot4^2-32=0$ und $2\cdot(-4)^2-32=0$.
Für $x^2=r$ gilt im Bereich der reellen Zahlen:
- $r>0$: zwei Lösungen, $x=\pm\sqrt r$;
- $r=0$: genau eine Lösung, $x=0$;
- $r<0$: keine reelle Lösung, weil das Quadrat einer reellen Zahl nie negativ ist.
Das Zeichen $\pm$ ist unverzichtbar. Aus $x^2=16$ folgt nicht nur $x=4$, sondern auch $x=-4$.
Wie hilft der Satz vom Nullprodukt?
Fehlt die Konstante, steckt in jedem Glied mindestens ein Faktor $x$. Nach dem Ausklammern erhältst du ein Produkt.
Satz vom Nullprodukt
Ein Produkt ist null, wenn mindestens einer seiner Faktoren null ist. Aus $u\cdot v=0$ folgt also $u=0$ oder $v=0$.
Löse $2x^2+8x=0$.
- Klammere den gemeinsamen Faktor aus: $2x(x+4)=0$.
- Setze jeden Faktor gleich null: $2x=0$ oder $x+4=0$.
- Löse beide linearen Gleichungen: $x_1=0$ und $x_2=-4$.
Damit ist $\mathbb L=\{-4;0\}$. Einsetzen bestätigt beide Lösungen.
Teile eine Gleichung wie $x(x-5)=0$ nicht vorschnell durch $x$. Sonst verlierst du die mögliche Lösung $x=0$.
Wie löst du vollständige quadratische Gleichungen?
Sind $ax^2$, $bx$ und $c$ vorhanden, kannst du die abc-Formel direkt verwenden:
$$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
Für die pq-Formel muss zuerst der Koeffizient vor $x^2$ gleich $1$ sein. Nach dem Normieren lautet die Gleichung $x^2+px+q=0$ und die Formel:
$$x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$$
Löse $2x^2+3x-2=0$ mit der abc-Formel. Es gilt $a=2$, $b=3$ und $c=-2$.
$$x_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot2\cdot(-2)}}{2\cdot2}$$
Unter der Wurzel steht $9+16=25$. Daher gilt
$$x_{1,2}=\frac{-3\pm5}{4}$$
und damit $x_1=\frac12$ sowie $x_2=-2$. Die Lösungsmenge ist $\mathbb L=\{-2;\frac12\}$.
Löse $2x^2+16x+14=0$ mit der pq-Formel.
- Normiere durch Division durch $2$: $x^2+8x+7=0$.
- Lies mit Vorzeichen ab: $p=8$ und $q=7$.
- Setze ein: $x_{1,2}=-4\pm\sqrt{16-7}=-4\pm3$.
- Daher sind $x_1=-1$ und $x_2=-7$.
Die Lösungsmenge ist $\mathbb L=\{-7;-1\}$.
Die quadratische Ergänzung formt dieselbe Normalform in ein vollständiges Quadrat um. Bei $x^2+8x+7=0$ addierst du das Quadrat der Hälfte von $8$, also $16$, auf beiden Seiten:
$$x^2+8x+16=9$$
Daraus werden $(x+4)^2=9$ und anschließend $x+4=\pm3$. Wieder erhältst du $x=-1$ und $x=-7$.
Bei der pq-Formel musst du vorher normieren. Bei jeder Formel übernimmst du die Vorzeichen der Koeffizienten genau.
Wie viele reelle Lösungen gibt es?
Bei der abc-Formel heißt der Ausdruck unter der Wurzel Diskriminante:
$$\Delta=b^2-4ac$$
- Für $\Delta>0$ gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen.
- Für $\Delta=0$ gibt es genau eine reelle Lösung.
- Für $\Delta<0$ gibt es keine reelle Lösung.
In der pq-Formel übernimmt der Ausdruck $\left(\frac p2\right)^2-q$ dieselbe Entscheidung.
Für $4x^2+32x+64=0$ gilt $a=4$, $b=32$ und $c=64$. Damit ist $\Delta=32^2-4\cdot4\cdot64=1024-1024=0$. Es gibt genau eine reelle Lösung: $x=-4$.
Die Lösungen von $ax^2+bx+c=0$ sind zugleich die Nullstellen der Parabel $y=ax^2+bx+c$:
- Zwei Schnittpunkte mit der $x$-Achse bedeuten zwei Lösungen.
- Eine Berührung der $x$-Achse bedeutet eine Lösung.
- Kein Schnittpunkt bedeutet keine reelle Lösung.
Bleibt eine positive Zahl unter der Wurzel, die sich nicht exakt vereinfachen lässt, darfst du den Wurzelterm als exaktes Ergebnis stehen lassen. Eine Dezimalzahl ist nur eine Näherung.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Quadratische Gleichungen lösen
- Form erkennen und Nullform herstellen
- Ohne lineares Glied: Wurzelziehen
- Ohne Konstante: Ausklammern und Nullprodukt
- Vollständige Form: abc-Formel oder normierte Verfahren
- Lösungsanzahl: Diskriminante prüfen
- Graph: Nullstellen als Achsenkontakte deuten
- Ergebnis durch Einsetzen prüfen