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Satz vom Nullprodukt einfach erklärt
Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens ein Faktor null ist. Deshalb darfst du bei einer Gleichung wie $A(x) \cdot B(x)=0$ jeden Faktor einzeln gleich null setzen.
Auf dieser Seite lernst du, wann die Regel gilt, wie du eine Summe zuerst faktorisierst und wie du damit Nullstellen bestimmst.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Wann gilt der Satz vom Nullprodukt?
Satz vom Nullprodukt
Für reelle Zahlen gilt:
$a \cdot b=0$ genau dann, wenn $a=0$ oder $b=0$ ist. Bei mehreren Faktoren muss mindestens einer der Faktoren null sein.
Das Wort oder schließt ein, dass auch mehrere Faktoren gleichzeitig null sein können.
Warum funktioniert die Regel? Sind alle Faktoren ungleich null, ist auch ihr Produkt ungleich null. Ein Produkt kann daher nur null werden, wenn mindestens ein Faktor null ist.
Bei $x(x-2)=0$ sind die Faktoren $x$ und $(x-2)$.
Also gilt:
$x=0$ oder $x-2=0$.
Die zweite Teilgleichung liefert $x=2$. Damit ist die Lösungsmenge $L=\{0;2\}$.
Die Nullproduktregel gilt für ein Produkt gleich null. Bei einer Summe gleich null darfst du die Summanden nicht einzeln null setzen.
So gehst du Schritt für Schritt vor
Liegt noch kein Produkt gleich null vor, bereitest du die Gleichung zuerst vor:
- Bringe alle Terme auf eine Seite, sodass auf der anderen Seite null steht.
- Faktorisiere den Term, zum Beispiel durch Ausklammern.
- Setze jeden Faktor einzeln gleich null.
- Löse die entstehenden Teilgleichungen.
- Sammle alle Lösungen in der Lösungsmenge.
Faktorisieren bedeutet, eine Summe oder Differenz als Produkt zu schreiben. Beim Ausklammern suchst du einen Faktor, der in jedem Summanden vorkommt.
Gegeben ist $x^2-2x=0$.
In beiden Summanden steckt der Faktor $x$:
$x^2-2x=x(x-2)$.
Damit wird die Gleichung zu $x(x-2)=0$. Nun gilt:
- $x=0$
- $x-2=0$, also $x=2$
Die Lösungsmenge lautet $L=\{0;2\}$.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Bei $x^2-5x=0$ klammerst du zuerst aus und erhältst . Danach setzt du die einzeln gleich null.
Ein vollständiges Beispiel mit Umformen
Löse die Gleichung $x^2=1$.
Zuerst muss auf einer Seite null stehen:
$x^2-1=0$.
Die Differenz lässt sich faktorisieren:
$x^2-1=(x-1)(x+1)$.
Nun liegt ein Nullprodukt vor:
$(x-1)(x+1)=0$.
Setze beide Faktoren einzeln gleich null:
- $x-1=0$ führt zu $x=1$.
- $x+1=0$ führt zu $x=-1$.
Also ist $L=\{-1;1\}$.
Die Probe bestätigt beide Lösungen: Sowohl $1^2$ als auch $(-1)^2$ ist gleich $1$.
Wie entstehen mehrfache Nullstellen?
Bei einer Funktion findest du Nullstellen, indem du zuerst $f(x)=0$ setzt. Ist die Funktion bereits faktorisiert, kannst du die Faktoren direkt untersuchen.
Mehrfache Nullstelle
Kommt derselbe Faktor mehrfach vor, besitzt die zugehörige Nullstelle eine entsprechende Multiplizität. Der Faktor $(x+1)^2$ bedeutet zum Beispiel, dass die Nullstelle $x=-1$ zweimal vorkommt.
Gegeben ist $f(x)=(x+1)^2(x-4)$.
Für die Nullstellen setzt du $f(x)=0$:
$(x+1)^2(x-4)=0$.
Daraus folgen:
- $(x+1)^2=0$, also $x=-1$
- $x-4=0$, also $x=4$
Die Nullstelle $-1$ hat die Multiplizität $2$. Die Nullstelle $4$ kommt einmal vor.
Die Nullproduktregel zerlegt eine Gleichung nur in Teilgleichungen. Ist ein Faktor selbst quadratisch oder von höherem Grad, brauchst du für ihn möglicherweise ein weiteres Lösungsverfahren.
Typische Fehler vermeiden
Eine Summe ist kein Nullprodukt
Aus $x+(x-2)=0$ darfst du nicht folgern, dass $x=0$ oder $x-2=0$ gilt. Die linke Seite ist eine Summe. Du musst sie normal zusammenfassen und lösen.
Beim Ausklammern keinen Summanden verlieren
Prüfe deine Faktorisierung durch Ausmultiplizieren. Aus $x(x-2)$ wird wieder $x^2-2x$. So erkennst du fehlende Summanden und falsche Vorzeichen.
Nicht voreilig durch eine Variable teilen
Bei $x(x-2)=0$ würde eine Division durch $x$ die Lösung $x=0$ ausschließen. Die Nullproduktregel bewahrt beide möglichen Fälle.
Jeden Faktor bearbeiten
Bei $(x+1)x(x-1)=0$ musst du alle drei Faktoren null setzen. Die Lösungen sind $-1$, $0$ und $1$.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Satz vom Nullprodukt
- Voraussetzung: Produkt gleich null
- Aussage: mindestens ein Faktor ist null
- Vorbereitung: auf null bringen und faktorisieren
- Anwendung: Faktoren einzeln null setzen
- Ergebnis: alle Lösungen sammeln
- Kontrolle: ausmultiplizieren und einsetzen
- Besonderheit: Potenzen zeigen Multiplizitäten
Abschluss-Check
Du bist sicher, wenn du zuerst die Form prüfst: Produkt gleich null, faktorisieren, jeden Faktor lösen und alle Lösungen kontrollieren.