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Mitternachtsformel: abc-Formel sicher anwenden
Mit der Mitternachtsformel, auch abc-Formel genannt, löst du jede quadratische Gleichung der Form $ax^2+bx+c=0$ mit $a\ne0$. Die Diskriminante zeigt dir vorher, ob es zwei, eine oder keine reelle Lösung gibt.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Die passende Gleichungsform erkennen
Du kannst die Formel anwenden, sobald die Gleichung in dieser Form vorliegt:
$$ax^2+bx+c=0 \quad\text{mit}\quad a\ne0$$
Koeffizienten
Die Zahlen $a$, $b$ und $c$ heißen Koeffizienten. Dabei steht $a$ vor $x^2$, $b$ vor $x$ und $c$ ohne $x$. Das Vorzeichen gehört immer zur Zahl.
Beispiel: In $2x^2-7x+3=0$ gilt $a=2$, $b=-7$ und $c=3$.
Achte auch auf unsichtbare Koeffizienten:
- $x^2$ bedeutet $1x^2$, also $a=1$.
- $-x$ bedeutet $-1x$, also $b=-1$.
- Fehlt ein $x$-Term, ist $b=0$.
- Fehlt der konstante Term, ist $c=0$.
Lies nicht nur die Zahlen ab. Nimm ihre Vorzeichen mit.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
In der Gleichung $-x^2+4=0$ lauten die Koeffizienten $a=$, $b=$ und $c=$. Die Bedingung $a0$ ist erfüllt.
Die Formel Schritt für Schritt anwenden
Für $ax^2+bx+c=0$ lautet die Mitternachtsformel:
$$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
Das Zeichen $\pm$ bedeutet: Du rechnest einmal mit Plus und einmal mit Minus.
Gehe in dieser Reihenfolge vor:
- Bringe alle Terme auf eine Seite, sodass auf der anderen Seite $0$ steht.
- Fasse gleichartige Terme zusammen.
- Lies $a$, $b$ und $c$ einschließlich der Vorzeichen ab.
- Berechne zuerst den Ausdruck unter der Wurzel.
- Setze in die Formel ein.
- Berechne den Plus- und den Minusfall.
- Prüfe die Lösungen durch Einsetzen oder eine Plausibilitätskontrolle.
Löse $x^2+5x+6=0$.
Die Gleichung besitzt bereits die richtige Form. Es gilt:
$$a=1,\qquad b=5,\qquad c=6$$
Einsetzen liefert:
$$x_{1,2}=\frac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot1\cdot6}}{2\cdot1}$$
Zuerst wird der Wurzelausdruck berechnet:
$$5^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1$$
Damit gilt:
$$x_{1,2}=\frac{-5\pm1}{2}$$
Nun folgen die beiden Vorzeichenfälle:
$$x_1=\frac{-5+1}{2}=-2$$
$$x_2=\frac{-5-1}{2}=-3$$
Die Lösungsmenge ist $L=\{-3;-2\}$. Zur Probe ergibt sowohl $(-2)^2+5\cdot(-2)+6$ als auch $(-3)^2+5\cdot(-3)+6$ den Wert $0$.
Die Diskriminante sagt die Lösungsanzahl voraus
Der Ausdruck unter der Wurzel heißt Diskriminante:
$$D=b^2-4ac$$
Da im reellen Zahlenraum keine Wurzel aus einer negativen Zahl gebildet werden kann, entscheidet das Vorzeichen von $D$ über die Anzahl der reellen Lösungen.
| Diskriminante | Reelle Lösungen | Bedeutung am Parabelgraphen |
|---|---|---|
| $D>0$ | zwei | Die Parabel schneidet die $x$-Achse zweimal. |
| $D=0$ | eine doppelte | Die Parabel berührt die $x$-Achse. |
| $D<0$ | keine | Die Parabel schneidet die $x$-Achse nicht. |
Für $4x^2-20x+25=0$ gilt
$$D=(-20)^2-4\cdot4\cdot25=400-400=0.$$
Deshalb liefern Plus und Minus denselben Wert:
$$x=\frac{-(-20)}{2\cdot4}=\frac{20}{8}=\frac52.$$
Es gibt genau eine reelle Lösung, die als doppelte Lösung bezeichnet wird.
Die Aussage keine Lösung bei $D<0$ bezieht sich hier auf die reellen Zahlen. Im komplexen Zahlenraum können auch dann Lösungen angegeben werden.
Eine Gleichung zuerst umformen
Nicht jede Gleichung steht sofort in der Form $ax^2+bx+c=0$. Bringe dann alle Terme auf eine Seite und fasse sie zusammen. Erst danach darfst du die Koeffizienten ablesen.
Löse
$$5x+3x^2-7=2x^2+3x.$$
Ziehe auf beiden Seiten $2x^2+3x$ ab:
$$5x+3x^2-7-2x^2-3x=0.$$
Fasse zusammen:
$$x^2+2x-7=0.$$
Nun gilt $a=1$, $b=2$ und $c=-7$. Die Diskriminante ist
$$D=2^2-4\cdot1\cdot(-7)=4+28=32.$$
Einsetzen ergibt:
$$x_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{32}}{2}.$$
Mit $\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot2}=4\sqrt2$ folgt:
$$x_{1,2}=-1\pm2\sqrt2.$$
Die Lösungsmenge ist $L=\{-1-2\sqrt2;-1+2\sqrt2\}$.
Typische Fehler gezielt vermeiden
Das Vorzeichen von b geht verloren
Bei $b=-3$ steht in der Formel am Anfang $-(-3)=3$. Klammern machen den Vorzeichenwechsel sichtbar.
Das Plus-minus-Zeichen wird nur einmal benutzt
Ist $D>0$, musst du zwei Fälle berechnen. Wer nur den Plusfall auswertet, verliert eine Lösung.
Die Koeffizienten werden zu früh abgelesen
In $5x+3x^2-7=2x^2+3x$ kannst du $a$, $b$ und $c$ erst nach dem Umformen und Zusammenfassen sicher bestimmen.
Keine Angabe zum Zahlenraum
Bei $D<0$ lautet das Ergebnis nicht allgemein keine Lösung, sondern keine reelle Lösung.
Sicherheitsroutine: Normalform – Vorzeichen – Diskriminante – zwei Fälle – Probe.
Vertiefung: Warum funktioniert die Formel?
Die Mitternachtsformel entsteht durch eine quadratische Ergänzung. Ausgangspunkt ist
$$ax^2+bx+c=0.$$
Multipliziere die Gleichung mit $4a$:
$$4a^2x^2+4abx+4ac=0.$$
Bringe $4ac$ auf die rechte Seite und ergänze auf beiden Seiten $b^2$:
$$4a^2x^2+4abx+b^2=b^2-4ac.$$
Die linke Seite ist ein binomisches Quadrat:
$$(2ax+b)^2=b^2-4ac.$$
Beim Wurzelziehen müssen beide Vorzeichen berücksichtigt werden:
$$2ax+b=\pm\sqrt{b^2-4ac}.$$
Ziehe $b$ ab und teile durch $2a$. Das ist erlaubt, weil $a\ne0$ gilt:
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$
Damit erhältst du genau die Mitternachtsformel. Gleichzeitig wird sichtbar, warum die Diskriminante über die reellen Lösungen entscheidet.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Mitternachtsformel
- Voraussetzung
- $ax^2+bx+c=0$ mit $a\ne0$
- Koeffizienten
- $a$, $b$ und $c$ mit Vorzeichen ablesen
- Diskriminante
- $D>0$: zwei reelle Lösungen
- $D=0$: eine doppelte reelle Lösung
- $D<0$: keine reelle Lösung
- Berechnung
- Plus- und Minusfall auswerten
- Lösungen prüfen
- Graphische Bedeutung
- Lösungen sind Nullstellen der Parabel
- Voraussetzung
Abschluss-Check
Wenn du alle drei Aufgaben begründen kannst, beherrschst du nicht nur das Einsetzen: Du erkennst die richtige Form, deutest die Diskriminante und kontrollierst dein Ergebnis.