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Ganzrationale Funktionen erkennen und untersuchen
Eine ganzrationale Funktion besteht aus endlich vielen Potenztermen mit reellen Koeffizienten und nichtnegativen ganzzahligen Exponenten. Du kannst an ihrem Term unter anderem Grad, Definitionsbereich, Symmetrie, Randverhalten und mögliche Nullstellen ablesen oder berechnen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du eine ganzrationale Funktion?
Ganzrationale Funktionen heißen auch Polynomfunktionen. Ihre allgemeine Form lautet:
$$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0$$
Dabei sind die Koeffizienten $a_0,\dots,a_n$ reelle Zahlen. Die Exponenten von $x$ sind nichtnegative ganze Zahlen wie $0,1,2,3,\dots$. Für eine Funktion vom Grad $n$ muss $a_n\ne 0$ gelten.
Ganzrationale Funktion
Eine ganzrationale Funktion ist eine endliche Summe von Potenztermen $a_kx^k$ mit reellen Koeffizienten $a_k$ und nichtnegativen ganzzahligen Exponenten $k$.
Beispiele sind $2x^4-\frac12x+1$, $\sqrt2x^2-\pi x^7$ und die konstante Funktion $f(x)=-2{,}3$. Auch irrationale Zahlen wie $\sqrt2$ oder $\pi$ dürfen Koeffizienten sein.
Keine ganzrationalen Funktionen sind beispielsweise:
- $\frac1x+x$, weil $x$ im Nenner steht;
- $\sqrt{x-1}$, weil eine Wurzel mit der Variablen vorkommt;
- $e^{2x}$, weil $x$ im Exponenten steht;
- $\sin(x)$, weil es eine trigonometrische Funktion ist.
Der Definitionsbereich jeder ganzrationalen Funktion ist $\mathbb R$: Du darfst jede reelle Zahl für $x$ einsetzen.
Wie liest du Grad und wichtige Koeffizienten ab?
Der Grad ist der höchste Exponent mit einem Koeffizienten ungleich null. Der Koeffizient dieses Potenzterms heißt Leitkoeffizient.
Gegeben ist
$$f(x)=-2x^3-\frac12x+4.$$
Der fehlende $x^2$-Term kann als $0x^2$ gelesen werden. Deshalb gilt:
- Grad: $3$
- Leitkoeffizient: $-2$
- $a_2=0$
- $a_1=-\frac12$
- absolutes Glied: $a_0=4$
Das absolute Glied liefert zugleich den Schnittpunkt mit der y-Achse:
$$f(0)=4,\qquad S_y=(0\mid4).$$
Die ersten Grade kennst du bereits aus anderen Funktionstypen:
- Grad 0: konstante Funktion, zum Beispiel $f(x)=2$
- Grad 1: lineare Funktion, zum Beispiel $f(x)=3x+1$
- Grad 2: quadratische Funktion, zum Beispiel $f(x)=4x^2-x+3$
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Für $g(x)=5x^4-x^3+x$ ist der Grad , der Leitkoeffizient ist und der y-Achsenabschnitt lautet .
Wie untersuchst du Symmetrie und Randverhalten?
Für die Symmetrie setzt du $-x$ in den Funktionsterm ein:
- Gilt $f(-x)=f(x)$, ist der Graph zur y-Achse symmetrisch. In der vereinfachten Polynomform kommen dann nur gerade Exponenten vor.
- Gilt $f(-x)=-f(x)$, ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. Dann kommen nur ungerade Exponenten vor und das absolute Glied ist null.
- Kommen Potenzterme mit geraden und ungeraden Exponenten vor, liegt im Allgemeinen keine dieser beiden Symmetrien vor.
Für $f(x)=8x^3-8x$ gilt
$$f(-x)=8(-x)^3-8(-x)=-8x^3+8x=-f(x).$$
Der Graph ist daher punktsymmetrisch zum Ursprung.
Für große Beträge von $x$ bestimmt der führende Term $a_nx^n$ das Randverhalten:
- gerader Grad, positiver Leitkoeffizient: beide Enden zeigen nach oben;
- gerader Grad, negativer Leitkoeffizient: beide Enden zeigen nach unten;
- ungerader Grad, positiver Leitkoeffizient: links nach unten, rechts nach oben;
- ungerader Grad, negativer Leitkoeffizient: links nach oben, rechts nach unten.
Der Grad entscheidet, ob die beiden Enden in dieselbe oder in entgegengesetzte Richtungen zeigen. Das Vorzeichen des Leitkoeffizienten bestimmt die genaue Richtung.
Wie berechnest du Nullstellen?
Eine Zahl $x_0$ ist eine Nullstelle, wenn $f(x_0)=0$ gilt. Eine Polynomfunktion vom Grad $n$ besitzt höchstens $n$ verschiedene reelle Nullstellen. Bei ungeradem Grad gibt es mindestens eine reelle Nullstelle.
Wähle das Verfahren passend zur Form des Terms:
- Fehlt das absolute Glied, klammere möglichst eine Potenz von $x$ aus.
- Liegt ein Produkt vor, nutze den Satz vom Nullprodukt.
- Enthält eine Gleichung vierten Grades nur $x^4$, $x^2$ und eine Konstante, substituiere $z=x^2$.
- Ist bei einem Polynom höheren Grades bereits eine Nullstelle $x_0$ bekannt, kann eine Polynomdivision durch $(x-x_0)$ den Grad senken.
Bestimme die Nullstellen von $f(x)=8x^3-8x$.
Zuerst setzt du $f(x)=0$ und klammerst $x$ aus:
$$0=8x^3-8x=x(8x^2-8).$$
Nach dem Satz vom Nullprodukt muss mindestens ein Faktor null sein:
$$x=0$$
oder
$$8x^2-8=0.$$
Aus der zweiten Gleichung folgt:
$$8x^2=8,\qquad x^2=1,\qquad x=\pm1.$$
Die Nullstellen sind $-1$, $0$ und $1$. Die Probe bestätigt alle drei Werte.
Substitution bei biquadratischen Gleichungen
Betrachte
$$x^4+2x^2-8=0.$$
Mit $z=x^2$ entsteht
$$z^2+2z-8=0=(z-2)(z+4).$$
Daraus folgen $z=2$ oder $z=-4$. Nun musst du zurück zu $x$:
- $x^2=2$ liefert $x=\pm\sqrt2$.
- $x^2=-4$ besitzt keine reelle Lösung.
Die reellen Nullstellen sind daher $-\sqrt2$ und $\sqrt2$.
Wie stellst du einen Funktionsterm aus Nullstellen auf?
Eine Nullstelle $r$ erzeugt den Faktor $(x-r)$. Bei einer mehrfachen Nullstelle erscheint dieser Faktor entsprechend oft. Ein zusätzlicher Faktor $a$ wird mit einem bekannten Punkt bestimmt.
Gesucht ist eine Funktion dritten Grades mit den Nullstellen $-2$, $1$ und $3$. Außerdem liegt $P(0\mid3)$ auf ihrem Graphen.
Aus den Nullstellen folgt zunächst
$$f(x)=a(x+2)(x-1)(x-3).$$
Setze den Punkt $P(0\mid3)$ ein:
$$3=a(0+2)(0-1)(0-3)=6a.$$
Damit ist $a=\frac12$ und
$$f(x)=\frac12(x+2)(x-1)(x-3).$$
Die Punktprobe ergibt tatsächlich $f(0)=3$.
Bei einer zur y-Achse symmetrischen Funktion treten von null verschiedene Nullstellen paarweise auf: Ist $r$ eine Nullstelle, dann ist auch $-r$ eine Nullstelle.
Was verändert die Nullstellen?
Ausgehend von einer Funktion $f$ kannst du einige Veränderungen direkt beurteilen:
- $g(x)=c\cdot f(x)$ mit $c\ne0$ hat dieselben Nullstellen wie $f$.
- $g(x)=[f(x)]^2$ hat ebenfalls dieselben Nullstellen, denn $[f(x)]^2=0$ gilt genau dann, wenn $f(x)=0$ gilt.
- $g(x)=f(x)+c$ kann andere Nullstellen besitzen, weil der Graph senkrecht verschoben wird.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Ganzrationale Funktionen
- Erkennen: nichtnegative ganzzahlige Exponenten
- Beschreiben: Grad, Leitkoeffizient und y-Achsenabschnitt
- Untersuchen: Symmetrie und Randverhalten
- Nullstellen: Ausklammern, Nullprodukt, Substitution oder Polynomdivision
- Rekonstruieren: Nullstellenfaktoren und Punktprobe
Abschluss-Check
Du bist sicher, wenn du bei einem neuen Term zuerst seine Form prüfst, dann Grad und Leitkoeffizient bestimmst und erst danach ein passendes Verfahren für Symmetrie, Randverhalten oder Nullstellen auswählst.