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Parkettierung: Muster lückenlos legen
Eine Parkettierung bedeckt eine Fläche vollständig: Die Steine lassen keine Lücke und liegen nicht übereinander. Du kannst Parkettierungen an Fußböden, Fliesenwänden oder Pflasterwegen entdecken. Auf dieser Seite lernst du, ein Muster zu prüfen, fortzusetzen und mit Winkeln zu begründen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du eine Parkettierung?
Stell dir vor, du legst Fliesen auf einen Boden. Eine gültige Parkettierung erfüllt gleichzeitig zwei Bedingungen:
- lückenlos: Jeder Punkt der Fläche ist bedeckt.
- überlappungsfrei: Kein Flächenstück wird doppelt bedeckt.
Gemeinsame Kanten und Eckpunkte sind erlaubt. Entscheidend ist, dass sich nur die Ränder berühren und die Innenflächen nicht übereinanderliegen.
Parkettierung
Eine Parkettierung ist eine lückenlose und überlappungsfreie Bedeckung der Ebene durch Flächenstücke. Diese Flächenstücke heißen Kacheln oder Parkettsteine.
Sind alle Kacheln deckungsgleich, also gleich groß und gleich geformt, heißt die Parkettierung monohedral. Die Kacheln dürfen dabei gedreht oder gespiegelt sein.
Ein Boden aus gleich großen Quadraten ist eine Parkettierung: Die Quadrate schließen an ihren ganzen Seiten an. Es bleiben keine Lücken, und kein Quadrat überdeckt ein anderes.
Ein schönes Muster ist nicht automatisch eine Parkettierung. Prüfe immer: Gibt es eine Lücke? Gibt es eine Überlappung?
Wie setzt du ein wiederkehrendes Muster fort?
Viele Parkettierungen wiederholen sich. Suche dafür die kleinste Gruppe von Steinen, die durch Verschieben immer wieder erscheint. Diese Gruppe heißt Wiederholeinheit.
Bei der Farbfolge Rot–Rot–Blau | Rot–Rot–Blau | … ist Rot–Rot–Blau die Wiederholeinheit. Beim Fortsetzen kopierst du nicht nur die nächste Farbe, sondern die ganze Regel.
Eine Parkettierung heißt periodisch, wenn du das gesamte Muster in mindestens zwei nicht parallelen Richtungen verschieben kannst und es danach wieder genau auf sich liegt. Ein Quadratgitter ist periodisch: Es wiederholt sich nach rechts und links sowie nach oben und unten.
In einer Reihe wechseln sich ein blaues Quadrat und zwei gelbe Quadrate ab:
Blau – Gelb – Gelb | Blau – Gelb – Gelb | …
Nach dem letzten gelben Quadrat folgt wieder ein blaues. Die Wiederholeinheit lautet: ein blaues, dann zwei gelbe Quadrate.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Eine Parkettierung bedeckt eine Fläche . Ihre Kacheln dürfen sich an den berühren. Eine kleinste wiederkehrende Gruppe von Steinen heißt .
Warum parkettieren Dreiecke und Vierecke?
Jedes Dreieck kann die Ebene parkettieren, nicht nur ein gleichseitiges. Spiegle ein beliebiges Dreieck an der Mitte einer Seite. Das Dreieck und sein Spiegelbild bilden zusammen ein Parallelogramm. Parallelogramme lassen sich zu Streifen und diese Streifen lückenlos zur Ebene zusammensetzen.
Nimm ein schiefes Dreieck. Ergänze an einer Seite eine um $180^\circ$ gedrehte Kopie. Die beiden Dreiecke bilden ein Parallelogramm. Verschobene Kopien dieses Parallelogramms schließen aneinander an. Deshalb entstehen weder Lücken noch Überlappungen.
Auch jedes Viereck kann die Ebene parkettieren, sogar ein konkaves Viereck mit einer nach innen gerichteten Ecke. Ordnet man passend gedrehte Kopien an, treffen an einem Knoten alle vier Innenwinkel des Vierecks zusammen. Die Innenwinkelsumme jedes Vierecks beträgt $360^\circ$. Deshalb füllen diese vier Winkel den Vollwinkel um den Knoten genau aus.
Knoten
Ein Knoten ist ein Punkt, an dem Ecken mehrerer Kacheln zusammentreffen.
Dreieck und Viereck müssen nicht regelmäßig sein: Jedes Dreieck und jedes Viereck besitzt mindestens eine mögliche Parkettierung.
Welche regelmäßigen Vielecke parkettieren allein?
Ein regelmäßiges Vieleck hat gleich lange Seiten und gleich große Innenwinkel. Wenn nur eine Sorte regelmäßiger Vielecke Kante an Kante liegt, müssen die Winkel an jedem Knoten genau $360^\circ$ ergeben.
Für den Innenwinkel $\alpha_n$ eines regelmäßigen $n$-Ecks gilt:
$$\alpha_n=180^\circ-\frac{360^\circ}{n}$$
Dabei ist $n$ die Anzahl der Ecken.
Für ein regelmäßiges Sechseck ist $n=6$:
$$\alpha_6=180^\circ-\frac{360^\circ}{6}=120^\circ$$
Drei Sechsecke passen an einen Knoten, denn:
$$3\cdot120^\circ=360^\circ$$
Das Ergebnis passt zum bekannten Wabenmuster.
Auf dieselbe Weise erhältst du genau drei regelmäßige Parkettierungen:
- sechs gleichseitige Dreiecke: $6\cdot60^\circ=360^\circ$,
- vier Quadrate: $4\cdot90^\circ=360^\circ$,
- drei regelmäßige Sechsecke: $3\cdot120^\circ=360^\circ$.
Ein regelmäßiges Fünfeck hat einen Innenwinkel von $108^\circ$. Der Quotient $360^\circ:108^\circ$ ist keine ganze Zahl. Gleich viele regelmäßige Fünfecke können einen Knoten daher nicht ohne Lücke oder Überlappung füllen.
Vertiefung: Eine Winkelprobe ist nicht immer ein Bauplan
Wenn verschiedene regelmäßige Vielecke an einem Knoten zusammentreffen, ist die Summe $360^\circ$ notwendig. Sie allein beweist aber noch nicht, dass sich das Muster in der ganzen Ebene fortsetzen lässt. Auch die Reihenfolge der Vielecke und das Zusammenpassen an allen Nachbarknoten müssen stimmen.
Prüfe am Knoten zuerst die Winkelsumme. $360^\circ$ ist notwendig, aber bei gemischten Vielecken nicht immer ausreichend.
Welche Symmetrien findest du im Muster?
Eine Symmetrie bildet das gesamte Parkett so auf sich selbst ab, dass wieder jede Kachel genau auf einer Kachel liegt.
Du kannst besonders nach diesen Bewegungen suchen:
- Verschiebung: Das Muster wird in eine Richtung versetzt.
- Drehung: Das Muster wird um einen Punkt gedreht.
- Achsenspiegelung: Das Muster wird an einer Geraden gespiegelt.
- Gleitspiegelung: Eine Spiegelung wird mit einer Verschiebung entlang der Spiegelachse verbunden.
Bei einem Quadratgitter verschiebt eine Bewegung um genau eine Quadratseite nach rechts jede Kachel auf die nächste. Eine Drehung um $90^\circ$ um einen Gitterpunkt bildet das gesamte Gitter ebenfalls auf sich ab.
Achte auf das gesamte Muster. Eine einzelne Kachel kann achsensymmetrisch sein, obwohl die Farben oder die Anordnung des Parketts diese Spiegelung nicht besitzt.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Parkettierung
- Bedingungen: lückenlos und überlappungsfrei
- Bausteine: Kacheln treffen sich an Rändern und Knoten
- Muster: Wiederholeinheit und Periodizität
- sichere Formen: jedes Dreieck und jedes Viereck
- regelmäßige Formen: Dreieck, Quadrat und Sechseck
- Prüfung: Winkel am Knoten ergeben $360^\circ$
- Symmetrien: Verschiebung, Drehung, Spiegelung und Gleitspiegelung
Abschluss-Check
Du hast das Ziel erreicht, wenn du bei einem neuen Muster die beiden Grundbedingungen prüfst, seine Wiederholeinheit beschreibst und deine Entscheidung mit Kacheln, Winkeln oder Symmetrien begründest.