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Vorzeichenregeln: Multiplizieren und Dividieren
Bei Multiplikation und Division gilt: Gleiche Vorzeichen ergeben Plus, unterschiedliche Vorzeichen ergeben Minus. Enthält ein Produkt mehrere negative Faktoren, entscheidet ihre Anzahl über das Vorzeichen. Der Nullfall wird gesondert behandelt.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Vorzeichen und Rechenzeichen unterscheiden
Das Zeichen vor einer Zahl ist ihr Vorzeichen. In $-5$ zeigt das Minuszeichen, dass die Zahl negativ ist. Ein Pluszeichen zeigt eine positive Zahl an, wird aber meistens weggelassen: $+5=5$.
Ein Zeichen zwischen zwei Zahlen kann dagegen eine Rechenoperation bezeichnen. In $8-5$ bedeutet das Minus: Subtrahiere $5$.
Vorzeichen
Ein Vorzeichen zeigt, ob eine Zahl positiv oder negativ ist. Die Zahl $0$ ist weder positiv noch negativ und hat deshalb kein Vorzeichen.
Klammern machen die Rollen der Zeichen deutlich: In $4-(-3)$ ist das erste Minus ein Subtraktionszeichen. Das zweite Minus gehört als Vorzeichen zur Zahl $-3$.
Die Regel „gleich ergibt Plus, verschieden ergibt Minus“ gilt hier für Multiplikation und Division. Bei einer Addition oder Subtraktion darfst du sie nicht einfach auf das Ergebnis übertragen.
Zwei Zahlen multiplizieren
Bei einer Multiplikation bestimmst du zunächst das Vorzeichen und rechnest danach mit den Zahlen ohne Vorzeichen.
| Vorzeichen der Faktoren | Vorzeichen des Produkts |
|---|---|
| Plus · Plus | Plus |
| Minus · Minus | Plus |
| Plus · Minus | Minus |
| Minus · Plus | Minus |
Gleiche Vorzeichen: Plus. Unterschiedliche Vorzeichen: Minus.
Berechne $(-8)\cdot(-3)$.
- Beide Faktoren haben dasselbe Vorzeichen. Das Ergebnis ist daher positiv.
- Ohne Vorzeichen rechnest du $8\cdot3=24$.
- Zusammengesetzt ergibt sich $(-8)\cdot(-3)=24$.
Bei $5\cdot(-4)$ sind die Vorzeichen unterschiedlich. Deshalb ist das Produkt negativ:
$$5\cdot(-4)=-20$$
Mehrere Faktoren prüfen
Bei einem Produkt mit mehreren Faktoren kannst du die negativen Faktoren zählen:
- Eine gerade Anzahl negativer Faktoren ergibt ein positives Produkt.
- Eine ungerade Anzahl negativer Faktoren ergibt ein negatives Produkt.
Berechne $(-2)\cdot3\cdot(-4)$.
- Es gibt zwei negative Faktoren: $-2$ und $-4$.
- Zwei ist gerade. Das Produkt ist also positiv.
- Ohne Vorzeichen rechnest du $2\cdot3\cdot4=24$.
- Damit gilt $(-2)\cdot3\cdot(-4)=24$.
Division und Nullfall beachten
Für die Division gelten dieselben Vorzeichenregeln wie für die Multiplikation:
- gleiche Vorzeichen: positiver Quotient;
- unterschiedliche Vorzeichen: negativer Quotient.
Berechne $(-24):(-6)$.
- Die Vorzeichen sind gleich. Der Quotient ist positiv.
- Ohne Vorzeichen rechnest du $24:6=4$.
- Also gilt $(-24):(-6)=4$.
Bei $24:(-6)$ sind die Vorzeichen unterschiedlich. Deshalb gilt $24:(-6)=-4$.
Durch $0$ darfst du nicht dividieren. Ein Ausdruck wie $8:0$ ist nicht definiert. Bei einer Multiplikation mit $0$ gilt dagegen immer $a\cdot0=0$ und $0\cdot a=0$.
Die Zählregel für negative Faktoren darf den Nullfall nicht verdecken: Enthält ein Produkt den Faktor $0$, ist das Ergebnis $0$ — unabhängig von den übrigen Vorzeichen.
Warum Minus mal Minus Plus ergibt
Die Regel lässt sich mit dem Distributivgesetz begründen. Es erlaubt, einen Faktor auf eine Summe zu verteilen:
$$a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$$
Setze $a=-2$, $b=3$ und $c=-3$ ein:
$$(-2)\cdot(3+(-3))=(-2)\cdot3+(-2)\cdot(-3)$$
In der linken Klammer steht $3+(-3)=0$. Daher ist die linke Seite $(-2)\cdot0=0$:
$$0=-6+(-2)\cdot(-3)$$
Damit die rechte Seite ebenfalls $0$ ergibt, muss das zweite Produkt $+6$ sein:
$$(-2)\cdot(-3)=6$$
Minus mal Minus ist nicht nur eine Merkregel. Das positive Ergebnis sorgt dafür, dass das Distributivgesetz auch bei negativen Zahlen gilt.
Die passende Strategie wählen
Gehe bei Produkten und Quotienten in dieser Reihenfolge vor:
- Prüfe zuerst, ob ein Faktor $0$ ist oder ob eine verbotene Division durch $0$ vorkommt.
- Bestimme das Vorzeichen: bei zwei Zahlen durch Vergleichen, bei mehreren Faktoren durch Zählen der negativen Faktoren.
- Rechne mit den Zahlen ohne Vorzeichen.
- Setze Vorzeichen und Zahlenwert zusammen.
- Prüfe, ob das Vorzeichen zu deiner Regel passt.
Berechne $(-3)\cdot3\cdot(-3)\cdot(-2)$.
Es gibt drei negative Faktoren. Drei ist ungerade, also wird das Ergebnis negativ. Ohne Vorzeichen erhältst du $3\cdot3\cdot3\cdot2=54$. Damit lautet das Ergebnis:
$$(-3)\cdot3\cdot(-3)\cdot(-2)=-54$$
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Vorzeichenregeln
- Vorzeichen und Rechenzeichen unterscheiden
- Gleiche Vorzeichen ergeben Plus
- Unterschiedliche Vorzeichen ergeben Minus
- Negative Faktoren zählen
- Multiplikation mit Null ergibt Null
- Division durch Null ist nicht definiert
- Distributivgesetz begründet Minus mal Minus
Abschluss-Check
Du beherrschst die Vorzeichenregeln, wenn du nicht nur den Zahlenwert berechnest, sondern zuerst begründet entscheidest, welches Vorzeichen das Ergebnis haben muss.