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Rationale Zahlen verstehen und sicher berechnen
Eine rationale Zahl lässt sich als Bruch aus zwei ganzen Zahlen schreiben. Dazu gehören positive und negative Brüche, endliche oder periodische Dezimalzahlen und alle ganzen Zahlen. Beim Rechnen bestimmst du zuerst die Rechenart, dann das Vorzeichen und schließlich den Betrag.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was gehört zu den rationalen Zahlen?
Rationale Zahl
Eine Zahl ist rational, wenn sie in der Form $\frac{a}{b}$ geschrieben werden kann. Dabei sind $a$ und $b$ ganze Zahlen und es gilt $b \ne 0$. Die Menge der rationalen Zahlen heißt $\mathbb{Q}$.
Im Bruch $\frac{a}{b}$ heißt $a$ Zähler und $b$ Nenner. Der Nenner darf niemals null sein, weil eine Division durch null nicht definiert ist.
Auch jede ganze Zahl ist rational. Zum Beispiel gilt:
$$-4 = \frac{-4}{1}$$
Rationale Zahlen begegnen dir etwa bei Temperaturen, Kontoständen, Längen und Anteilen. Beispiele sind $-3\,°\mathrm{C}$, $1{,}5\,\mathrm{m}$ und ein Viertel Kuchen.
Natürlich, ganz oder gebrochen: Eine Zahl gehört zu $\mathbb{Q}$, sobald sie als Bruch zweier ganzer Zahlen mit einem Nenner ungleich null darstellbar ist.
Wie hängen Brüche und Dezimalzahlen zusammen?
Dieselbe rationale Zahl kann verschieden aussehen:
$$\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = 0{,}5$$
Beim Erweitern multiplizierst du Zähler und Nenner mit derselben Zahl ungleich null. Beim Kürzen dividierst du beide durch denselben gemeinsamen Teiler. Der Wert des Bruchs bleibt dabei gleich.
Eine rationale Zahl besitzt eine endliche oder eine periodische Dezimaldarstellung:
- $\frac{1}{2}=0{,}5$ endet.
- $\frac{1}{3}=0{,}333\ldots=0{,}\overline{3}$ wiederholt die Ziffer 3.
Eine Dezimalzahl wie $0{,}75$ kannst du als Bruch schreiben und kürzen:
$$0{,}75=\frac{75}{100}=\frac{3}{4}$$
Der unechte Bruch $\frac{8}{3}$ lässt sich als gemischte Zahl schreiben. Die 3 passt zweimal vollständig in die 8; der Rest ist 2. Daher gilt:
$$\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}$$
Beide Schreibweisen bezeichnen denselben Wert.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Die Zahl $-2$ ist , denn sie lässt sich als Bruch $\frac{-2}{1}$ schreiben. Bei $\frac{5}{8}$ ist 5 der und 8 der . Die Dezimaldarstellung von $\frac{1}{3}$ ist .
Wie addierst und subtrahierst du mit Vorzeichen?
Beim Addieren helfen Betrag und Vorzeichen. Der Betrag ist der Abstand einer Zahl von null und deshalb nie negativ.
- Gleiche Vorzeichen: Addiere die Beträge und behalte das gemeinsame Vorzeichen.
- Verschiedene Vorzeichen: Subtrahiere den kleineren Betrag vom größeren. Das Ergebnis erhält das Vorzeichen der Zahl mit dem größeren Betrag.
Berechne $-\frac{3}{4}+\frac{5}{6}$.
Zuerst machst du die Brüche gleichnamig:
$$-\frac{3}{4}=-\frac{9}{12}, \qquad \frac{5}{6}=\frac{10}{12}$$
Die Vorzeichen sind verschieden. Der positive Betrag ist größer:
$$-\frac{9}{12}+\frac{10}{12}=\frac{1}{12}$$
Das Ergebnis ist positiv und liegt nahe bei null. Das passt zu den beiden fast gleich großen Beträgen.
Eine Subtraktion wandelst du in die Addition der Gegenzahl um:
$$a-b=a+(-b)$$
Zum Beispiel:
$$-2-(-5)=-2+5=3$$
Ein Minus vor einer Klammer bedeutet: Addiere die Gegenzahl. Deshalb wird aus $-(-5)$ ein $+5$.
Warum ergibt minus mal minus plus?
Für Multiplikation und Division gilt dieselbe Vorzeichenregel:
- gleiche Vorzeichen ergeben ein positives Ergebnis;
- verschiedene Vorzeichen ergeben ein negatives Ergebnis.
Die Beträge multiplizierst oder dividierst du wie bei positiven Zahlen.
Warum ist $(-3)\cdot(-2)=6$? Betrachte die fortgesetzte Reihe:
$$3\cdot(-2)=-6$$ $$2\cdot(-2)=-4$$ $$1\cdot(-2)=-2$$ $$0\cdot(-2)=0$$ $$(-1)\cdot(-2)=2$$ $$(-2)\cdot(-2)=4$$ $$(-3)\cdot(-2)=6$$
Der erste Faktor wird in jeder Zeile um 1 kleiner. Deshalb wird das Produkt jedes Mal um 2 größer. Dieses gleichmäßige Muster führt bei $(-3)\cdot(-2)$ zu $6$.
Bei der Division darf der Divisor nicht null sein. Für Brüche multiplizierst du beim Dividieren mit dem Kehrwert:
$$-\frac{2}{3}:\frac{4}{5}=-\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{4}=-\frac{10}{12}=-\frac{5}{6}$$
Das Ergebnis ist negativ, weil die Vorzeichen verschieden sind.
Wie löst du gemischte Aufgaben sicher?
Halte diese Reihenfolge ein:
- Berechne Klammern.
- Führe Multiplikationen und Divisionen aus.
- Führe Additionen und Subtraktionen von links nach rechts aus.
- Kürze Brüche und prüfe Vorzeichen sowie Größenordnung.
Berechne $-0{,}5+\frac{3}{4}\cdot(-2)$.
Zuerst kommt die Multiplikation:
$$\frac{3}{4}\cdot(-2)=-\frac{6}{4}=-\frac{3}{2}$$
Schreibe nun $-0{,}5$ als Bruch und addiere:
$$-0{,}5=-\frac{1}{2}$$
$$-\frac{1}{2}+\left(-\frac{3}{2}\right)=-\frac{4}{2}=-2$$
Beide Summanden sind negativ. Ein negatives Ergebnis mit einem Betrag größer als beide einzelnen Beträge ist daher plausibel.
Probiere es selbst
Berechne:
$$\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{2}{3}+\frac{5}{6}\right)$$
Achte zuerst auf die Klammer und mache die Brüche darin gleichnamig.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Rationale Zahlen
- Definition: Bruch aus ganzen Zahlen, Nenner nicht null
- Darstellungen: Bruch, ganze Zahl, endliche oder periodische Dezimalzahl
- Addition: Vorzeichen und Beträge vergleichen
- Subtraktion: Gegenzahl addieren
- Multiplikation und Division: Vorzeichenregel anwenden
- Gemischte Aufgaben: Klammern, Punktrechnung, Strichrechnung
- Kontrolle: kürzen, Vorzeichen und Größenordnung prüfen
Abschluss-Check
Wenn du unsicher bist, trenne die Rechnung in drei Entscheidungen: Welche Rechenart kommt zuerst? Welches Vorzeichen hat das Ergebnis? Wie groß ist sein Betrag?