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Zahlenmengen: N, Z, Q, R und C verstehen
Zahlenmengen ordnen Zahlen nach gemeinsamen Eigenschaften. Dabei wird der Zahlenbereich schrittweise erweitert: von den natürlichen Zahlen zum Zählen bis zu den komplexen Zahlen. Eine Zahl kann gleichzeitig zu mehreren Mengen gehören.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Vom Zählen zu den ganzen Zahlen
Die natürlichen Zahlen sind die Zahlen, mit denen du zählst:
$$\mathbb N=\{1,2,3,4,\ldots\}$$
Ob die $0$ zu den natürlichen Zahlen gezählt wird, hängt von der verwendeten Konvention ab. Auf dieser Seite unterscheiden wir eindeutig:
$$\mathbb N_0=\{0,1,2,3,4,\ldots\}$$
Prüfe bei Aufgaben immer, ob mit $\mathbb N$ die natürlichen Zahlen mit oder ohne $0$ gemeint sind. Hier enthält $\mathbb N$ die $0$ nicht; $\mathbb N_0$ enthält sie.
Die ganzen Zahlen umfassen zusätzlich die negativen Gegenzahlen:
$$\mathbb Z=\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}$$
Die Auslassungspunkte bedeuten, dass die Aufzählung unbegrenzt weitergeht. Unendlich ist dabei keine Zahl, die als Element am Ende der Menge steht.
$7$ ist natürlich und damit auch ganz. Dagegen ist $-4$ ganz, aber nicht natürlich. Die Zahl $0$ gehört zu $\mathbb N_0$ und zu $\mathbb Z$, nach der hier verwendeten Konvention jedoch nicht zu $\mathbb N$.
So sind die Mengen ineinander enthalten
Das Zeichen $\subset$ bedeutet: Jedes Element der linken Menge liegt auch in der rechten Menge. Die wichtigsten Zahlenmengen bilden diese Kette:
$$\mathbb N\subset\mathbb N_0\subset\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset\mathbb R\subset\mathbb C$$
Die Kette ist eine Leserichtung von klein nach groß. Jede Erweiterung enthält alle Zahlen der vorherigen Menge und zusätzliche Zahlen.
Weil $7\in\mathbb N$ gilt, liegt $7$ zugleich in $\mathbb N_0$, $\mathbb Z$, $\mathbb Q$, $\mathbb R$ und $\mathbb C$. Die kleinste passende Menge ist trotzdem $\mathbb N$.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Jede natürliche Zahl ist auch eine Zahl. Jede ganze Zahl ist auch . Jede rationale Zahl gehört außerdem zu den Zahlen.
Rationale und irrationale Zahlen unterscheiden
Rationale Zahl
Eine Zahl ist rational, wenn sie als Bruch $\frac{p}{q}$ mit ganzen Zahlen $p$ und $q$ geschrieben werden kann. Dabei muss $q\ne0$ gelten.
$$\mathbb Q=\left\{\frac pq\mid p,q\in\mathbb Z,\ q\ne0\right\}$$
Zu $\mathbb Q$ gehören Brüche, ganze Zahlen sowie endliche und periodische Dezimalzahlen.
$0{,}25$ ist rational, denn $0{,}25=\frac14$. Auch $5$ ist rational, weil $5=\frac51$ gilt. Der Bruch $\frac{12}{6}$ hat den Wert $2$ und ist daher sogar eine natürliche Zahl.
Irrationale Zahl
Eine irrationale Zahl lässt sich nicht als Bruch aus zwei ganzen Zahlen darstellen. Ihre Dezimaldarstellung endet nicht und wiederholt sich nicht periodisch. Beispiele sind $\sqrt2$ und $\pi$.
Rationale und irrationale Zahlen bilden gemeinsam die reellen Zahlen:
$$\mathbb R=\{\text{rationale Zahlen}\}\cup\{\text{irrationale Zahlen}\}$$
Nicht jede Zahl mit Nachkommastellen ist irrational. Eine endliche Dezimalzahl wie $0{,}25$ und eine periodische Dezimalzahl sind rational.
Reelle und komplexe Zahlen erweitern den Zahlenraum
Die reellen Zahlen umfassen alle rationalen und irrationalen Zahlen. Sie lassen sich auf der Zahlengeraden darstellen.
Für bestimmte Rechnungen reichen reelle Zahlen nicht aus. So ist die Quadratwurzel einer negativen Zahl innerhalb von $\mathbb R$ nicht definiert. Dafür werden die komplexen Zahlen verwendet.
Komplexe Zahl
Eine komplexe Zahl hat die Form $z=a+bi$. Dabei sind $a$ und $b$ reelle Zahlen, und für die imaginäre Einheit $i$ gilt $i^2=-1$.
Bei $z=a+bi$ heißt $a$ Realteil und $b$ Imaginärteil. Ist $b=0$, entspricht die komplexe Zahl einer reellen Zahl. Deshalb ist jede reelle Zahl zugleich komplex.
Bei $z=-5+2i$ ist $-5$ der Realteil und $2$ der Imaginärteil. Die Zahl $7$ kann als $7+0i$ geschrieben werden und liegt daher ebenfalls in $\mathbb C$.
Zahlen Schritt für Schritt zuordnen
Wenn du die kleinste passende Zahlenmenge suchst, prüfst du von links nach rechts:
- Ist die Zahl eine positive ganze Zahl? Dann liegt sie in $\mathbb N$.
- Ist sie $0$? Dann liegt sie nach unserer Konvention zuerst in $\mathbb N_0$.
- Ist sie eine negative ganze Zahl? Dann ist $\mathbb Z$ die kleinste passende Menge.
- Lässt sie sich als Bruch ganzer Zahlen mit einem Nenner ungleich $0$ schreiben? Dann gehört sie mindestens zu $\mathbb Q$.
- Ist sie reell, aber nicht rational? Dann ist sie irrational und liegt in $\mathbb R$.
- Enthält sie einen von $0$ verschiedenen Imaginärteil? Dann ist $\mathbb C$ die kleinste passende Menge der Kette.
Ordne $\frac{12}{6}$ ein.
- Vereinfache den Bruch: $\frac{12}{6}=2$.
- $2$ ist eine positive ganze Zahl.
- Die kleinste passende Menge ist daher $\mathbb N$.
- Wegen der Verschachtelung gehört $2$ zusätzlich zu allen größeren Mengen der Kette.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Zahlenmengen
- $\mathbb N$: positive ganze Zahlen
- $\mathbb N_0$: zusätzlich die Null
- $\mathbb Z$: zusätzlich negative ganze Zahlen
- $\mathbb Q$: als Bruch ganzer Zahlen darstellbar
- $\mathbb R$: rationale und irrationale Zahlen
- $\mathbb C$: Zahlen der Form $a+bi$
Die Mengen werden von links nach rechts erweitert. Zum Einordnen suchst du zuerst die kleinste passende Menge und ergänzt dann alle größeren Mengen, in denen sie enthalten ist.
Abschluss-Check
Kannst du bei einer neuen Zahl zuerst die kleinste passende Menge bestimmen und anschließend alle größeren Mengen nennen, hast du die Grundidee der Zahlenmengen verstanden.