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Irrationale Zahlen erkennen und verstehen
Eine irrationale Zahl ist eine reelle Zahl, die sich nicht als Bruch aus zwei ganzen Zahlen schreiben lässt. Ihre Dezimaldarstellung ist unendlich und nicht periodisch. Auf dieser Seite lernst du, irrationale Zahlen zu erkennen, Wurzeln einzuordnen, $\sqrt2$ anzunähern und ihre Irrationalität zu begründen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du irrationale Zahlen?
Irrationale Zahl
Eine reelle Zahl ist irrational, wenn sie nicht als $\frac{p}{q}$ mit ganzen Zahlen $p$ und $q$ und $q\ne0$ geschrieben werden kann. Die Menge der irrationalen reellen Zahlen ist $\mathbb R\setminus\mathbb Q$.
Rationale Zahlen erkennst du an einer endlichen oder periodischen Dezimaldarstellung. Irrationale Zahlen haben dagegen unendlich viele Nachkommastellen ohne sich wiederholenden endlichen Ziffernblock.
| Zahl | Einordnung | Begründung |
|---|---|---|
| $-7$ | rational | $-7=\frac{-7}{1}$ |
| $0{,}25$ | rational | $0{,}25=\frac14$ |
| $0{,}\overline{3}$ | rational | Die Dezimaldarstellung ist periodisch. |
| $\sqrt2$ | irrational | Sie ist kein Quotient zweier ganzer Zahlen. |
| $\pi$ | irrational | Ihre Dezimaldarstellung ist unendlich und nicht periodisch. |
„Unendlich viele Nachkommastellen“ genügt nicht als Merkmal. Eine periodische Zahl wie $0{,}333\ldots$ ist rational. Irrational ist eine Dezimaldarstellung nur dann, wenn sie unendlich und nicht periodisch ist.
Wann ist eine Quadratwurzel irrational?
Für eine natürliche Zahl $n$ gilt: Ist $n$ eine Quadratzahl, dann ist $\sqrt n$ eine natürliche und damit rationale Zahl. Ist $n$ keine Quadratzahl, dann ist $\sqrt n$ irrational.
$25$ ist eine Quadratzahl, denn $5^2=25$. Daher ist $\sqrt{25}=5$ rational.
$26$ liegt zwischen den Quadratzahlen $25$ und $36$. Deshalb liegt $\sqrt{26}$ zwischen $5$ und $6$. Weil $26$ keine Quadratzahl ist, ist $\sqrt{26}$ irrational.
Die Regel bezieht sich hier auf Wurzeln aus natürlichen Zahlen. Auch manche Brüche oder Dezimalzahlen haben rationale Wurzeln, zum Beispiel $\sqrt{\frac49}=\frac23$ und $\sqrt{0{,}16}=0{,}4$.
Wie näherst du eine irrationale Zahl an?
Ein exakter Ausdruck wie $\sqrt2$ bezeichnet die Zahl vollständig. Eine endliche Dezimalzahl wie $1{,}41$ ist dagegen nur eine Näherung und selbst rational.
Du kannst $\sqrt2$ durch immer engere Intervalle einschließen:
- $1^2=1<2<4=2^2$, also $1<\sqrt2<2$.
- $1{,}4^2=1{,}96<2<2{,}25=1{,}5^2$, also $1{,}4<\sqrt2<1{,}5$.
- $1{,}41^2=1{,}9881<2<2{,}0164=1{,}42^2$, also $1{,}41<\sqrt2<1{,}42$.
- $1{,}414^2=1{,}999396<2<2{,}002225=1{,}415^2$, also $1{,}414<\sqrt2<1{,}415$.
Bei jedem Schritt vergleichst du die Quadrate der Grenzen mit $2$. Je enger das Intervall, desto genauer ist die Näherung.
Runden verändert nicht die ursprüngliche Zahl: $3{,}14$ ist eine rationale Näherung für die irrationale Zahl $\pi$; $3{,}14$ und $\pi$ sind nicht dieselbe Zahl.
Warum ist $\sqrt2$ wirklich irrational?
Ein Widerspruchsbeweis beginnt mit dem Gegenteil der Behauptung. Führt diese Gegenannahme zu einem unmöglichen Ergebnis, muss die ursprüngliche Behauptung stimmen.
Nimm an, $\sqrt2$ sei rational. Dann gäbe es einen vollständig gekürzten Bruch $\frac pq$ mit ganzen Zahlen $p,q$ und $q\ne0$:
$$\sqrt2=\frac pq$$
Quadrieren und Umformen ergibt:
$$2=\frac{p^2}{q^2}$$
$$p^2=2q^2$$
Damit ist $p^2$ gerade. Dann ist auch $p$ gerade: Wäre $p$ ungerade, wäre auch $p^2$ ungerade. Schreibe deshalb $p=2n$.
Setze $p=2n$ in $p^2=2q^2$ ein:
$$4n^2=2q^2$$
$$q^2=2n^2$$
Also ist auch $q$ gerade. Damit sind $p$ und $q$ beide durch $2$ teilbar. Der Bruch $\frac pq$ wäre kürzbar. Das widerspricht der Annahme, dass er vollständig gekürzt ist.
Die Gegenannahme „$\sqrt2$ ist rational“ führt zum Widerspruch. Daher lässt sich $\sqrt2$ nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen und ist irrational.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Irrationale Zahlen
- Definition: nicht als Bruch ganzer Zahlen darstellbar
- Dezimaldarstellung: unendlich und nicht periodisch
- Beispiele: $\sqrt2$, $\sqrt{10}$, $\pi$, $e$
- Wurzeln: natürliche Nichtquadratzahlen liefern irrationale Ergebnisse
- Näherung: rationale Grenzen werden schrittweise enger
- Beweisidee: Gegenannahme führt bei $\sqrt2$ zu einem kürzbaren Bruch
- Einordnung: Teil der reellen Zahlen außerhalb von $\mathbb Q$