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Manche Zahlen passen nicht als Bruch in unser gewohntes Zahlensystem. Sie tauchen trotzdem überall auf: bei Diagonalen, Kreisen und Wurzeln. Hier lernst du, was irrationale Zahlen sind und wie du mit ihnen sicher umgehst.
- Ich kann rationale und irrationale Zahlen unterscheiden.
- Ich kann erklären, warum Dezimalzahlen manchmal nicht abbrechen.
- Ich kann Beispiele wie $\sqrt2$ und $\pi$ einordnen.
- Ich kann mit Näherungswerten sinnvoll rechnen.
Rational oder irrational?
Rationale Zahlen kannst du als Bruch aus ganzen Zahlen schreiben. Irrationale Zahlen kannst du nicht so schreiben. Ihre Dezimaldarstellung bricht nicht ab und wird nicht periodisch.
Irrationale Zahl
Eine irrationale Zahl ist eine reelle Zahl, die sich nicht als Bruch \(\frac ab\) mit ganzen Zahlen \(a\) und \(b\ne0\) schreiben lässt. Ihre Dezimaldarstellung ist unendlich und nicht periodisch.
\(0{,}75=\frac34\) ist rational. \(0{,}\overline{3}=\frac13\) ist auch rational, weil die Dezimalzahl periodisch ist. \(\sqrt2\approx1{,}41421356...\) ist irrational.
Unendlich viele Dezimalstellen allein reichen nicht. Erst „unendlich und nicht periodisch“ ist der Hinweis auf irrational.
Wurzeln als typische Beispiele
Viele Quadratwurzeln sind irrational. Wenn die Zahl unter der Wurzel keine Quadratzahl ist, ist die Wurzel in der Schule meist ein irrationales Beispiel.
Quadratzahl
Eine Quadratzahl entsteht, wenn eine ganze Zahl mit sich selbst multipliziert wird, zum Beispiel \(9=3^2\) oder \(25=5^2\).
Entscheide, ob die Zahl rational ist.
- \(\sqrt{25}=5\), also rational.
- \(\sqrt{9}=3\), also rational.
- \(\sqrt{10}\) liegt zwischen \(3\) und \(4\), ist aber keine ganze Zahl und keine endliche oder periodische Dezimalzahl. Sie ist irrational.
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Näherungswerte nutzen
Irrationale Zahlen kannst du nicht vollständig als Dezimalzahl aufschreiben. Für Rechnungen nutzt du deshalb Näherungswerte.
Berechne näherungsweise den Umfang eines Kreises mit Radius \(r=5\ \text{cm}\).
- Formel: \(U=2\pi r\).
- Nutze \(\pi\approx3{,}14\).
- \(U\approx2\cdot3{,}14\cdot5=31{,}4\ \text{cm}\).
- Das Ergebnis ist gerundet.
Das Zeichen \(\approx\) bedeutet „ungefähr gleich“. Es ist wichtig, wenn du mit gerundeten irrationalen Zahlen rechnest.
Prüfungsmodus
Typische Aufgaben fragen nicht nur nach Beispielen, sondern nach Begründungen. Schreibe also dazu, ob eine Zahl als Bruch darstellbar ist oder ob eine Wurzel eine Quadratzahl ergibt.
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
Irrationale Zahlen lassen sich nicht als Bruch schreiben. Ihre Dezimaldarstellung ist unendlich und nicht periodisch. Beispiele sind \(\sqrt2\), \(\sqrt7\) und \(\pi\). Beim Rechnen nutzt du Näherungswerte und markierst Rundungen mit \(\approx\).