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Intervallschachtelung: Wurzeln genau annähern
Eine Intervallschachtelung hält eine gesuchte Zahl zwischen einer unteren und einer oberen Grenze fest. Du verkleinerst dieses Intervall Schritt für Schritt. Bleibt die Zahl immer eingeschlossen und gehen die Intervalllängen gegen null, legen die Intervalle genau eine reelle Zahl fest.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Vom Intervall zur Schachtelung
Ein abgeschlossenes Intervall $[a;b]$ enthält alle Zahlen von $a$ bis $b$ einschließlich der beiden Grenzen. Dabei ist $a$ die untere und $b$ die obere Grenze.
Abgeschlossenes Intervall
Für $a\le b$ gilt:
$$[a;b]=\{x\mid a\le x\le b\}$$
Die Intervalllänge ist $b-a$.
Mehrere Intervalle sind geschachtelt, wenn jedes folgende vollständig im vorherigen liegt:
$$[a_{n+1};b_{n+1}]\subseteq[a_n;b_n]$$
Dadurch können die unteren Grenzen nur steigen oder gleich bleiben. Die oberen Grenzen können nur fallen oder gleich bleiben.
Die Folge
$$[1;2],\quad [1{,}4;1{,}5],\quad [1{,}41;1{,}42]$$
ist geschachtelt: Jedes Intervall liegt im vorherigen. Ihre Längen sind $1$, $0{,}1$ und $0{,}01$.
Wann entsteht genau eine Zahl?
Verschachtelte Intervalle allein reichen nicht. Ihre Längen müssen zusätzlich gegen $0$ gehen. Das bedeutet: Sie werden schließlich kleiner als jede vorgegebene positive Zahl.
Intervallschachtelung
Eine Folge abgeschlossener Intervalle $[a_n;b_n]$ heißt Intervallschachtelung, wenn zwei Bedingungen gelten:
- Jedes folgende Intervall liegt im vorherigen.
- Die Längen $b_n-a_n$ bilden eine Nullfolge, gehen also gegen $0$.
Die Zahl, die in allen Intervallen liegt, heißt Kern. Für sie gilt in jedem Schritt:
$$a_n\le c\le b_n$$
Eine Intervallschachtelung bestimmt genau einen reellen Kern. Zwei verschiedene Kerne könnten nicht für immer gemeinsam in Intervallen liegen, deren Länge gegen $0$ geht: Ihr fester Abstand wäre irgendwann größer als das ganze Intervall.
Geschachtelt sagt, wo das nächste Intervall liegt. Länge gegen null sagt, dass am Ende nicht mehrere verschiedene Zahlen übrig bleiben können. Erst beide Bedingungen machen die Intervallschachtelung aus.
Quadratwurzeln einschachteln
Um $\sqrt{s}$ für eine positive Zahl $s$ zu finden, suchst du zuerst zwei nichtnegative Zahlen $a$ und $b$ mit
$$a^2\le s\le b^2.$$
Dann liegt $\sqrt{s}$ im Intervall $[a;b]$. Du testest einen Zwischenwert $m$:
- Ist $m^2\lt s$, wird $m$ zur neuen unteren Grenze.
- Ist $m^2\gt s$, wird $m$ zur neuen oberen Grenze.
- Ist $m^2=s$, hast du die Wurzel genau gefunden.
Gesucht ist $\sqrt{2}$.
- Wegen $1^2\lt 2\lt 2^2$ gilt $\sqrt2\in[1;2]$.
- Teste $1{,}5$: $1{,}5^2=2{,}25\gt 2$. Also gilt $\sqrt2\in[1;1{,}5]$.
- Teste $1{,}4$: $1{,}4^2=1{,}96\lt 2$. Also gilt $\sqrt2\in[1{,}4;1{,}5]$.
- Teste Hundertstel: $1{,}41^2=1{,}9881\lt 2$ und $1{,}42^2=2{,}0164\gt 2$.
Damit gilt:
$$\sqrt2\in[1{,}41;1{,}42].$$
Du kannst systematisch Dezimalstellen prüfen oder das aktuelle Intervall immer wieder halbieren. Bei beiden Strategien bleibt dieselbe Entscheidung wichtig: Das Quadrat des Testwerts zeigt, welche Grenze ersetzt wird.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Für $\sqrt{5}$ liefern die Quadratzahlen $2^2=4$ und $3^2=9$ zuerst das Intervall . Weil $2{,}2^2=4{,}84$ kleiner als $5$ ist, wird $2{,}2$ zur Grenze. Weil $2{,}3^2=5{,}29$ größer als $5$ ist, wird $2{,}3$ zur Grenze.
Genauigkeit und Näherungswert beurteilen
Ein enges Intervall gibt nicht nur einen Näherungswert an, sondern auch eine kontrollierbare Genauigkeit. Ist $c$ im Intervall $[a;b]$, dann kann der Kern vom unteren oder oberen Rand höchstens um die Intervalllänge $b-a$ entfernt sein.
Als Näherungswert kannst du den Mittelpunkt verwenden:
$$m=\frac{a+b}{2}.$$
Weil der Mittelpunkt von beiden Grenzen gleich weit entfernt ist, beträgt sein größtmöglicher Abstand zum Kern die halbe Intervalllänge.
Für $\sqrt5$ ergeben die Quadratvergleiche
$$2{,}23^2=4{,}9729\lt 5$$
und
$$2{,}24^2=5{,}0176\gt 5.$$
Also gilt $\sqrt5\in[2{,}23;2{,}24]$. Das Intervall hat die Länge $0{,}01$. Sein Mittelpunkt ist
$$\frac{2{,}23+2{,}24}{2}=2{,}235.$$
Der Kern ist daher höchstens $0{,}005$ vom Mittelpunkt entfernt.
Ein sinnvolles Abbruchkriterium nennt die gewünschte Genauigkeit. Soll die Intervalllänge höchstens $0{,}001$ sein, wiederholst du das Verfahren, bis $b-a\le0{,}001$ gilt. „Ich habe oft genug gerechnet“ ist dagegen kein überprüfbares Kriterium.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Intervallschachtelung
- Aufbau
- abgeschlossene Intervalle
- jedes folgende liegt im vorherigen
- Intervalllängen gehen gegen null
- Grenzen
- untere Grenzen steigen oder bleiben gleich
- obere Grenzen fallen oder bleiben gleich
- Kern
- liegt in jedem Intervall
- ist eindeutig festgelegt
- Wurzeln annähern
- Startintervall durch Quadratzahlen
- Testwert quadrieren
- passende Grenze ersetzen
- Genauigkeit
- Intervalllänge prüfen
- Mittelpunkt als Näherungswert
- Abbruchkriterium festlegen
- Aufbau
Abschluss-Check
Du hast das Ziel erreicht, wenn du beim Eingrenzen nicht nur Zahlen ausprobierst, sondern jede neue Grenze mit einem Quadratvergleich begründest und die gewünschte Genauigkeit an der Intervalllänge abliest.