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Heron-Verfahren: Quadratwurzeln näherungsweise berechnen
Mit dem Heron-Verfahren verbesserst du eine Schätzung für eine positive Quadratwurzel Schritt für Schritt. Dazu bildest du immer den Mittelwert aus deiner aktuellen Näherung und dem Quotienten aus Radikand und Näherung.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Warum funktioniert das Verfahren?
Stell dir ein Rechteck mit dem Flächeninhalt $a$ vor. Hat eine Seite die Länge $x$, muss die andere Seite die Länge $a/x$ haben, denn
$$x\cdot\frac{a}{x}=a.$$
Ein Quadrat mit demselben Flächeninhalt hätte zwei gleich lange Seiten. Ihre Länge wäre $\sqrt a$.
Beim Heron-Verfahren ersetzt du $x$ durch den Mittelwert der beiden Rechteckseiten. Dadurch werden die Seitenlängen einander ähnlicher, während der Flächeninhalt beim neu gebildeten Seitenpaar erhalten bleibt.
Heron-Schritt
Für $a>0$ und eine positive Näherung $x_n$ berechnest du die nächste Näherung mit
$$x_{n+1}=\frac12\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right).$$
Der Index gibt den Schritt an: Auf $x_0$ folgen $x_1$, $x_2$ und so weiter.
Die beiden Werte $x_n$ und $a/x_n$ bilden ein flächengleiches Rechteck. Das Heron-Verfahren mittelt diese beiden Seiten, um sich der Seitenlänge des passenden Quadrats zu nähern.
So führst du einen Heron-Schritt aus
Du brauchst einen positiven Radikanden $a$ und einen positiven Startwert $x_0$. Der Radikand ist die Zahl unter dem Wurzelzeichen.
- Schätze zuerst die Größenordnung der Wurzel mithilfe benachbarter Quadratzahlen.
- Wähle einen positiven Startwert $x_0$, möglichst in der Nähe der Wurzel.
- Berechne den Quotienten $a/x_n$.
- Bilde den Mittelwert aus $x_n$ und $a/x_n$.
- Verwende das Ergebnis als neuen Wert $x_{n+1}$.
- Wiederhole die Schritte, bis die gewünschte Genauigkeit erreicht ist.
Für $\sqrt{10}$ gilt beispielsweise
$$3^2<10<4^2,$$
also
$$3<\sqrt{10}<4.$$
Ein Startwert wie $x_0=3$ oder $x_0=4$ liegt deshalb bereits in der passenden Größenordnung.
Der Startwert muss nicht exakt sein. Ein Wert nahe bei $\sqrt a$ spart jedoch Rechenschritte. $x_0=0$ ist unzulässig, weil dann durch null geteilt würde.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
In jedem Heron-Schritt berechnest du zuerst den $a/x_n$. Dann bildest du daraus und aus $x_n$ den . Das Ergebnis wird zur .
Ein vollständiges Beispiel mit der Wurzel aus 2
Gesucht ist eine Näherung für $\sqrt2$. Wegen $1^2<2<2^2$ liegt das Ergebnis zwischen $1$ und $2$. Wir wählen $x_0=2$.
Erster Schritt:
$$x_1=\frac12\left(2+\frac22\right)=\frac12(2+1)=\frac32=1{,}5.$$
Zweiter Schritt:
$$x_2=\frac12\left(\frac32+\frac{2}{3/2}\right).$$
Da $2:(3/2)=4/3$ gilt, folgt
$$x_2=\frac12\left(\frac32+\frac43\right)=\frac12\cdot\frac{17}{6}=\frac{17}{12}\approx1{,}4166667.$$
Dritter Schritt:
$$x_3=\frac12\left(\frac{17}{12}+\frac{2}{17/12}\right)=\frac{577}{408}\approx1{,}4142157.$$
Damit erhalten wir
$$\sqrt2\approx1{,}4142.$$
Die Näherungen rücken schnell aneinander: $2$, $1{,}5$, $1{,}4166667$, $1{,}4142157$.
Runde Zwischenergebnisse nicht zu früh. Mit Brüchen oder zusätzlichen Nachkommastellen verhinderst du, dass sich Rundungsfehler unnötig verstärken.
Wann ist die Näherung genau genug?
„Die Werte ändern sich kaum noch“ ist nur dann hilfreich, wenn du vorher festlegst, welche Genauigkeit du brauchst. Für zwei Nachkommastellen vergleichst du beispielsweise die auf zwei Nachkommastellen gerundeten Werte.
Nach dem ersten Heron-Schritt liegt $x_n$ bei einem positiven Startwert nicht unter $\sqrt a$. Der zugehörige Quotient liegt auf der anderen Seite:
$$\frac{a}{x_n}\leq\sqrt a\leq x_n\qquad(n\geq1).$$
Damit erhältst du eine untere und eine obere Schranke. Runden beide Schranken auf die gleiche gewünschte Dezimalzahl, ist diese gerundete Angabe abgesichert.
Beim Beispiel $\sqrt2$ gehören zu $x_3\approx1{,}4142157$ die Schranken
$$\frac2{x_3}\approx1{,}4142114\quad\text{und}\quad x_3\approx1{,}4142157.$$
Beide ergeben auf vier Nachkommastellen $1{,}4142$.
Lege zuerst die gewünschte Stellenzahl fest. Vergleiche dann $x_n$ und $a/x_n$ oder zwei aufeinanderfolgende Näherungen. Gib das Endergebnis immer mit einem Näherungszeichen an, wenn es gerundet ist.
Typische Fehler sind:
- Du setzt versehentlich einen neuen Radikanden ein. Die Zahl $a$ bleibt in allen Schritten gleich.
- Du vergisst die Division durch $2$ beim Mittelwert.
- Du verwendest $x_0=0$ und würdest dadurch durch null teilen.
- Du rundest jeden Zwischenschritt zu grob.
- Du schreibst ein Gleichheitszeichen, obwohl dein Dezimalwert nur gerundet ist.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Heron-Verfahren
- Ziel: $\sqrt a$ näherungsweise bestimmen
- Voraussetzung: $a>0$ und $x_0>0$
- Schritt: Quotient $a/x_n$ berechnen
- Schritt: Mittelwert mit $x_n$ bilden
- Kontrolle: Schranken oder aufeinanderfolgende Werte vergleichen
- Ergebnis: gerundeten Wert mit $\approx$ angeben
Abschluss-Check
Du beherrschst das Verfahren, wenn du den Radikanden unverändert lässt, jeden Mittelwert korrekt berechnest und die Genauigkeit deines Endwertes begründen kannst.