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Wurzeln verstehen und sicher berechnen
Mit einer Quadratwurzel suchst du die Seitenlänge eines Quadrats, dessen Fläche du kennst. Zum Beispiel gilt $\sqrt{9}=3$, weil $3^2=9$. Auf dieser Seite lernst du, Quadratwurzeln zu deuten, zu schätzen, zu vereinfachen und schrittweise anzunähern.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was bedeutet eine Quadratwurzel?
Stell dir ein Quadrat mit der Fläche $25\,\text{cm}^2$ vor. Welche Seitenlänge hat es? Gesucht ist die nichtnegative Zahl, deren Quadrat $25$ ergibt: $5\,\text{cm}$.
Quadratwurzel
Für $a\ge 0$ ist $\sqrt{a}$ die eindeutig bestimmte nichtnegative Zahl $x$ mit $x^2=a$. Die Zahl $a$ unter dem Wurzelzeichen heißt Radikand. Wurzelziehen heißt auch Radizieren.
Das Wurzelziehen macht das Quadrieren unter diesen Bedingungen rückgängig:
$$\left(\sqrt{a}\right)^2=a$$
Die kleine $2$ wird bei der Quadratwurzel nicht geschrieben: $\sqrt{a}=\sqrt[2]{a}$. Entsprechend heißt $\sqrt[3]{a}$ Kubikwurzel.
Es gilt $\sqrt{49}=7$, denn $7^2=49$. Dagegen hat die Gleichung $x^2=49$ zwei Lösungen: $x=7$ und $x=-7$. Das Wurzelzeichen selbst steht nur für den nichtnegativen Hauptwert $7$.
Verwechsle nicht $\sqrt{a}$ mit den Lösungen von $x^2=a$. Für $a>0$ gilt: $\sqrt{a}$ ist eine nichtnegative Zahl, die Gleichung hat dagegen die Lösungen $x=\pm\sqrt{a}$.
Bei reellen Zahlen ist die Quadratwurzel aus einem negativen Radikanden nicht definiert. Außerdem gilt für jede reelle Zahl $x$:
$$\sqrt{x^2}=|x|$$
Der Betrag ist nötig, weil eine Quadratwurzel nie negativ ist. So ist $\sqrt{(-4)^2}=\sqrt{16}=4$, nicht $-4$.
Wie kannst du Wurzeln schätzen?
Quadratzahlen helfen dir, eine Wurzel einzuordnen. Kennst du etwa $3^2=9$ und $4^2=16$, dann folgt sofort:
$$3<\sqrt{10}<4$$
Denn $10$ liegt zwischen $9$ und $16$. Eine genauere Näherung erhältst du durch Probieren: $3{,}1^2=9{,}61$ ist zu klein, $3{,}2^2=10{,}24$ ist zu groß. Also liegt $\sqrt{10}$ zwischen $3{,}1$ und $3{,}2$.
Schätze $\sqrt{50}$.
- Finde benachbarte Quadratzahlen: $7^2=49$ und $8^2=64$.
- Daher gilt $7<\sqrt{50}<8$.
- Weil $50$ nur wenig größer als $49$ ist, liegt $\sqrt{50}$ nahe bei $7$.
Die Einordnung ist bereits eine begründete Schätzung, auch ohne Dezimalwert.
Nicht jede Wurzel aus einer ganzen Zahl ist wieder ganzzahlig. Ist eine nichtnegative ganze Zahl keine passende Quadratzahl, dann ist ihre Quadratwurzel irrational. Irrational bedeutet: Die Zahl lässt sich nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen schreiben. Beispiele sind $\sqrt{2}$ und $\sqrt{10}$.
Warum ist $\sqrt{2}$ irrational? Angenommen, $\sqrt{2}=a/b$ wäre ein vollständig gekürzter Bruch. Dann wäre $a^2=2b^2$. Also ist $a^2$ gerade und damit auch $a$. Schreibe $a=2k$. Dann folgt $4k^2=2b^2$ und somit $b^2=2k^2$: Auch $b$ wäre gerade. Dann hätten $a$ und $b$ doch den gemeinsamen Faktor $2$. Das widerspricht der Annahme, der Bruch sei vollständig gekürzt.
Wie vereinfachst du Wurzelterme?
Beim teilweisen Wurzelziehen zerlegst du den Radikanden so, dass ein Faktor eine Quadratzahl ist. Diesen Faktor kannst du vor die Wurzel ziehen.
Vereinfache $\sqrt{72}$.
$$\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=\sqrt{36}\cdot\sqrt{2}=6\sqrt{2}$$
Der Wert bleibt gleich; die Form $6\sqrt{2}$ ist nur übersichtlicher.
Gleichartige Wurzeln besitzen denselben Wurzelexponenten und denselben Radikanden. Nur solche Terme kannst du bei Addition und Subtraktion über ihre Koeffizienten zusammenfassen:
$$2\sqrt{3}+5\sqrt{3}=7\sqrt{3}$$
Dagegen ist $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ nicht gleich $\sqrt{5}$. Für Summen gibt es keine entsprechende Zusammenfassungsregel.
Vereinfache $\sqrt{12}+\sqrt{27}$.
$$\sqrt{12}+\sqrt{27}=\sqrt{4\cdot3}+\sqrt{9\cdot3}=2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3}$$
Erst nach dem teilweisen Wurzelziehen werden die gleichartigen Terme sichtbar.
Welche Wurzelgesetze gelten?
Für nichtnegative Radikanden $a$ und $b$ gelten bei Quadratwurzeln die Produktregel und die Potenzregel. Bei einem Quotienten muss der Nenner zusätzlich positiv sein.
$$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$$
$$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\qquad (b>0)$$
$$\left(\sqrt{a}\right)^m=\sqrt{a^m}$$
Für höhere Wurzeln mit demselben Wurzelexponenten $n$ lauten Produkt- und Quotientenregel entsprechend:
$$\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$$
$$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\qquad (b>0)$$
Auf dieser Seite verwenden wir dabei $a\ge0$, $b>0$ und natürliche Wurzelexponenten $n\ge2$. So sind alle vorkommenden Wurzeln und der Quotient reell definiert.
Verschachtelte Wurzeln kannst du durch Multiplikation der Wurzelexponenten zusammenfassen:
$$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}$$
Wurzeln lassen sich außerdem als Potenzen mit gebrochenem Exponenten schreiben:
$$\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}$$
Auf dieser Seite verwenden wir diese Regeln für nichtnegative Radikanden. Bei negativen oder komplexen Zahlen sind zusätzliche Bedingungen nötig.
Berechne $\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}$.
$$\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}=\sqrt{16}=4$$
Die Produktregel ist anwendbar, weil beide Faktoren Quadratwurzeln mit nichtnegativen Radikanden sind.
Vertiefung: Wie nähert das Heron-Verfahren eine Wurzel an?
Wenn eine Quadratwurzel nicht genau aufgeht, kannst du sie mit dem Heron-Verfahren annähern. Für $a>0$ und einen positiven Startwert $x_0$ konvergieren die wiederholten Schritte gegen $\sqrt{a}$. Nach dem ersten Schritt liegen die Werte nicht unter der Wurzel und nähern sich ihr weiter an. Du wiederholst:
$$x_{k+1}=\frac{1}{2}\left(x_k+\frac{a}{x_k}\right)$$
Die beiden Zahlen in der Klammer gleichen sich gegenseitig aus: Ist $x_k$ zu groß, dann ist $a/x_k$ zu klein. Ihr Mittelwert liegt meist näher an der gesuchten Wurzel.
Nähere $\sqrt{10}$ mit $x_0=3$ an.
$$x_1=\frac{1}{2}\left(3+\frac{10}{3}\right)=\frac{19}{6}\approx3{,}1667$$
$$x_2=\frac{1}{2}\left(\frac{19}{6}+\frac{10}{19/6}\right)=\frac{721}{228}\approx3{,}1623$$
Schon $x_2^2\approx10{,}00002$. Der Näherungswert passt also sehr gut.
Ein Abbruchkriterium legt fest, wann du aufhörst. Du kannst zum Beispiel stoppen, sobald sich zwei aufeinanderfolgende Werte um weniger als $0{,}001$ unterscheiden. Das Kriterium beschreibt die gewünschte Genauigkeit; es ist keine Behauptung, dass der Näherungswert exakt ist.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Wurzeln
- Bedeutung: Umkehrung des Potenzierens
- Hauptwert: Quadratwurzel ist nichtnegativ
- Schätzen: zwischen benachbarte Quadratzahlen einordnen
- Zahlenart: nichtquadratische ganze Radikanden liefern irrationale Quadratwurzeln
- Vereinfachen: Quadratzahlen abspalten und gleichartige Terme zusammenfassen
- Rechengesetze: Produkt, Quotient, Potenz und Verschachtelung unter Bedingungen
- Näherung: Heron-Schritte bis zum Abbruchkriterium wiederholen