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Wurzelgesetze: Regeln, Beispiele und Übungen
Wurzeln darfst du je nach Rechenart unterschiedlich verbinden: Bei Addition und Subtraktion müssen die Wurzeln gleichartig sein. Bei Multiplikation und Division kannst du Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten zusammenfassen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Eine Wurzel richtig lesen
Das Wurzelziehen oder Radizieren ist die Umkehrung des Potenzierens. Weil $5^2=25$ gilt, ist $\sqrt{25}=5$.
Bestandteile einer Wurzel
Im Ausdruck $\sqrt[n]{x}$ ist $\sqrt{\phantom{x}}$ das Wurzelzeichen, $n$ der Wurzelexponent und $x$ der Radikand. Bei einer Quadratwurzel ist $n=2$; die 2 wird gewöhnlich nicht geschrieben. So bedeutet $\sqrt{49}$ dasselbe wie $\sqrt[2]{49}$.
Der Wurzelwert von $\sqrt{49}$ ist 7, denn $7\cdot7=49$.
Gleichartige Wurzeln addieren und subtrahieren
Bei Addition und Subtraktion kannst du Wurzeln nur unmittelbar zusammenfassen, wenn Wurzelexponent und Radikand übereinstimmen. Dann verrechnest du ausschließlich die Koeffizienten vor der Wurzel.
Koeffizient
Der Koeffizient ist der Zahlenfaktor vor einer Wurzel. Bei $\sqrt{7}$ ist der nicht geschriebene Koeffizient 1.
Für gleiche Wurzeln gilt:
$$u\sqrt{a}+v\sqrt{a}=(u+v)\sqrt{a}$$
$$u\sqrt{a}-v\sqrt{a}=(u-v)\sqrt{a}$$
Vereinfache $5\sqrt[3]{7}+\sqrt[3]{7}$.
Beide Terme enthalten dieselbe dritte Wurzel. Der zweite Koeffizient ist 1:
$$5\sqrt[3]{7}+1\sqrt[3]{7}=(5+1)\sqrt[3]{7}=6\sqrt[3]{7}$$
Die Wurzel bleibt unverändert; nur die Koeffizienten werden addiert.
Vereinfache $7\sqrt[4]{3}-5\sqrt[4]{3}$.
$$7\sqrt[4]{3}-5\sqrt[4]{3}=(7-5)\sqrt[4]{3}=2\sqrt[4]{3}$$
Gleiche Wurzelteile verhalten sich beim Addieren und Subtrahieren wie gleiche Einheiten: $5\sqrt{a}+2\sqrt{a}=7\sqrt{a}$, ähnlich wie 5 cm + 2 cm = 7 cm.
Quadratwurzeln multiplizieren und dividieren
Für positive reelle Zahlen $a$ und $b$ gelten die Produkt- und Quotientenregel:
$$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}$$
$$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$$
Bei der Division muss $b>0$ gelten, damit nicht durch null geteilt wird.
Berechne $\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}$.
Zuerst verbindest du die Radikanden unter einer Wurzel:
$$\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}=\sqrt{2\cdot8}=\sqrt{16}=4$$
Die Probe bestätigt das Ergebnis: $4^2=16$.
Berechne $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}$.
$$\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{50}{2}}=\sqrt{25}=5$$
Der Nenner ist erlaubt, weil $\sqrt{2}$ nicht null ist.
Die Regeln funktionieren auch in der umgekehrten Richtung. So kannst du etwa $\sqrt{36\cdot16}$ in $\sqrt{36}\cdot\sqrt{16}$ zerlegen und erhältst $6\cdot4=24$.
Addition ist nicht Multiplikation
Die Produktregel darfst du nicht auf Summen oder Differenzen übertragen.
Die Umformung $\sqrt{9}+\sqrt{25}=\sqrt{9+25}$ ist falsch.
Richtig ist:
$$\sqrt{9}+\sqrt{25}=3+5=8$$
Die falsche Seite ergäbe $\sqrt{34}$ und damit nicht 8. Das Gegenbeispiel zeigt, warum es kein entsprechendes Additionsgesetz gibt.
Bei Multiplikation und Division darfst du passende Wurzeln verbinden. Bei Addition und Subtraktion verrechnest du nur die Koeffizienten bereits gleichartiger Wurzeln.
Vertiefung: Potenzen und verschachtelte Wurzeln
Eine Wurzel kannst du als Potenz mit rationalem Exponenten schreiben. Für positive $x$ gilt:
$$\sqrt[n]{x^m}=x^{m/n}$$
Der Exponent des Radikanden wird zum Zähler, der Wurzelexponent zum Nenner. Fehlt der sichtbare Exponent am Radikanden, ist er 1: $\sqrt[n]{x}=x^{1/n}$.
Eine potenzierte Wurzel lässt sich so umformen:
$$\left(\sqrt[n]{x}\right)^m=\sqrt[n]{x^m}$$
Bei verschachtelten Wurzeln werden die Wurzelexponenten multipliziert:
$$\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}}=\sqrt[mn]{x}$$
Schreibe $\sqrt[4]{16^3}$ als Potenz und berechne den Wert.
$$\sqrt[4]{16^3}=16^{3/4}$$
Da $\sqrt[4]{16}=2$ ist, folgt:
$$16^{3/4}=2^3=8$$
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Wurzelgesetze
- Wurzel lesen
- Wurzelzeichen, Wurzelexponent und Radikand unterscheiden
- Quadratwurzel als Umkehrung des Quadrierens verstehen
- Terme verbinden
- Gleichartige Wurzeln über Koeffizienten addieren oder subtrahieren
- Radikanden bei Multiplikation oder Division verbinden
- Potenzschreibweise
- Wurzelexponent in den Nenner schreiben
- Verschachtelte Wurzelexponenten multiplizieren
- Fehler vermeiden
- Produktregel nicht auf Summen übertragen
- Bei Division den Nenner prüfen
- Wurzel lesen
Abschluss-Check
Wenn du unsicher bist, frage zuerst: Welche Rechenart liegt vor? Diese Entscheidung bestimmt, welches Wurzelgesetz du anwenden darfst.