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Logarithmen wirken zuerst wie eine neue Sprache. Die Logarithmusgesetze sind die Grammatik: Mit ihnen kannst du Produkte, Quotienten und Potenzen umformen.
- Ich kann die drei wichtigsten Logarithmusgesetze nennen.
- Ich kann Logarithmen zusammenfassen.
- Ich kann Exponenten vor den Logarithmus ziehen.
- Ich kann typische Definitionsbedingungen beachten.
Grundidee
Ein Logarithmus beantwortet die Frage: Mit welchem Exponenten bekomme ich diese Zahl? Die Gesetze kommen direkt aus den Potenzgesetzen.
Logarithmusgesetze
Für \(a>0\), \(a\ne1\), \(x>0\) und \(y>0\) gelten: \(\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y\), \(\log_a(\frac{x}{y})=\log_a x-\log_a y\) und \(\log_a(x^r)=r\log_a x\).
Multiplikation im Argument wird zur Addition außen. Division wird zur Subtraktion. Eine Potenz im Argument darf als Faktor vor den Logarithmus.
\(\log_2(8\cdot4)=\log_2 8+\log_2 4=3+2=5\).
Das passt, weil \(8\cdot4=32\) und \(\log_2 32=5\).
Logarithmusgesetze gelten nur für positive Argumente und eine erlaubte Basis.
Vorgehen
Beim Zusammenfassen gehst du rückwärts: Summe wird Produkt, Differenz wird Quotient, Faktor wird Exponent.
\(2\log_3 x+\log_3 5=\log_3(x^2)+\log_3 5=\log_3(5x^2)\).
Dabei muss \(x>0\) gelten.
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Prüfungsmodus
Setze Logarithmusgesetze nicht mechanisch ein. Prüfe zuerst: Haben alle Logarithmen dieselbe Basis? Sind die Argumente positiv?
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Alles auf einen Blick
Die wichtigsten Wörter und Entscheidungen solltest du schnell wiedererkennen können.
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Abschluss-Check
Nutze diese Fragen erst, wenn du die Beispiele darüber verstanden hast. Sie mischen Rechnen, Begründen und Entscheiden.
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Zusammenfassung
Logarithmusgesetze übersetzen Produkte, Quotienten und Potenzen. Sie sind stark, aber nur bei gleicher Basis und positiven Argumenten sicher anwendbar.