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Logarithmusgesetze: Regeln und Übungen
Mit den Logarithmusgesetzen kannst du Produkte, Quotienten, Potenzen und Wurzeln in Logarithmen zerlegen oder wieder zusammenfassen. Entscheidend ist, dass du zuerst die Struktur im Argument erkennst und die Bedingungen für reelle Logarithmen beachtest.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was bedeutet ein Logarithmus?
Ein Logarithmus beantwortet die Frage: Mit welchem Exponenten muss ich die Basis potenzieren, damit das Argument entsteht?
Logarithmus
Für $a^x=b$ gilt
$$x=\log_a(b).$$
Dabei ist $a$ die Basis, $b$ das Argument und $x$ der Wert des Logarithmus.
Beispiel:
$$2^5=32 \quad\Longleftrightarrow\quad \log_2(32)=5.$$
Für einen reellen Logarithmus gelten drei Bedingungen:
- Die Basis ist positiv: $a>0$.
- Die Basis ist nicht $1$: $a\neq 1$.
- Das Argument ist positiv: $b>0$.
Zwei wichtige Sonderfälle folgen direkt aus den Potenzen $a^0=1$ und $a^1=a$:
$$\log_a(1)=0, \qquad \log_a(a)=1.$$
Welches Gesetz passt zur Struktur?
Schau zuerst auf die Rechenoperation im Argument des Logarithmus. Sie bestimmt das Gesetz.
| Struktur im Argument | Logarithmusgesetz | Ergebnis |
|---|---|---|
| Produkt $PQ$ | Produktregel | $\log_a(P)+\log_a(Q)$ |
| Quotient $P/Q$ | Quotientenregel | $\log_a(P)-\log_a(Q)$ |
| Potenz $P^r$ | Potenzregel | $r\log_a(P)$ |
| Wurzel $\sqrt[n]{P}$ | Wurzelregel | $\frac{1}{n}\log_a(P)$ |
Dabei bleibt die Basis $a$ unverändert. Alle vorkommenden Argumente müssen positiv sein.
Mal wird zu Plus, geteilt wird zu Minus, und der Exponent darf nach vorn. Eine Summe im Argument darfst du dagegen nicht aufteilen.
Produktregel
$$\log_a(PQ)=\log_a(P)+\log_a(Q)$$
Berechne $\log_2(4\cdot8)$.
Das Argument enthält ein Produkt. Deshalb gilt:
$$\log_2(4\cdot8)=\log_2(4)+\log_2(8)=2+3=5.$$
Die Probe bestätigt das Ergebnis: $4\cdot8=32$ und $2^5=32$.
Quotientenregel
$$\log_a\left(\frac{P}{Q}\right)=\log_a(P)-\log_a(Q)$$
Berechne $\log_5\left(\frac{125}{25}\right)$.
Der Zähler steht zuerst, der Nenner wird abgezogen:
$$\log_5(125)-\log_5(25)=3-2=1.$$
Das passt, denn $125/25=5$ und $\log_5(5)=1$.
Potenzregel
$$\log_a(P^r)=r\log_a(P)$$
Berechne $\log_3(9^2)$.
Der Exponent $2$ wird zum Faktor:
$$\log_3(9^2)=2\log_3(9)=2\cdot2=4.$$
Die Probe: $9^2=81$ und $3^4=81$.
Wie hängen Wurzeln und Potenzen zusammen?
Eine Wurzel ist eine Potenz mit gebrochenem Exponenten:
$$\sqrt[n]{P}=P^{1/n}.$$
Setzt du dies in die Potenzregel ein, erhältst du die Wurzelregel:
$$\log_a\left(\sqrt[n]{P}\right)=\log_a(P^{1/n})=\frac{1}{n}\log_a(P).$$
Berechne $\log_5\left(\sqrt[5]{125}\right)$.
Schreibe die Wurzel zuerst als Potenz und ziehe dann den Exponenten nach vorn:
$$\log_5(125^{1/5})=\frac{1}{5}\log_5(125)=\frac{1}{5}\cdot3=\frac{3}{5}.$$
Wie kombinierst du mehrere Gesetze?
Bei einem verschachtelten Ausdruck arbeitest du von der äußeren Struktur nach innen. Bei einem Bruch trennst du zuerst Zähler und Nenner. Danach zerlegst du Produkte und ziehst zuletzt Exponenten nach vorn.
Vorausgesetzt, $a>0$, $a\neq1$ und $b,c,x,y>0$, forme um:
$$\log_a\left(\frac{abx^2}{cy^3}\right).$$
1. Quotientenregel:
$$\log_a(abx^2)-\log_a(cy^3)$$
2. Produktregel:
$$\log_a(a)+\log_a(b)+\log_a(x^2)-\left(\log_a(c)+\log_a(y^3)\right)$$
Die Klammer ist wichtig: Beide Logarithmen aus dem Nenner werden abgezogen.
3. Potenzregel und Sonderfall $\log_a(a)=1$:
$$1+\log_a(b)+2\log_a(x)-\log_a(c)-3\log_a(y).$$
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Beim Zerlegen von $\log_a\left(\frac{x^2y}{z^3}\right)$ wird der Quotient zu einer . Das Produkt $x^2y$ wird zu einer . Der Exponent $2$ erscheint als vor $\log_a(x)$. Wegen des Nenners steht vor $3\log_a(z)$ ein .
Wie funktioniert der Basiswechsel?
Manche Taschenrechner bieten nur $\log$ zur Basis $10$ und $\ln$ zur Basis $e$ an. Mit dem Basiswechsel kannst du trotzdem Logarithmen zu anderen Basen berechnen:
$$\log_a(x)=\frac{\log_b(x)}{\log_b(a)}.$$
Zähler und Nenner müssen dabei dieselbe neue Basis $b$ besitzen.
Für $\log_2(7)$ kannst du den natürlichen Logarithmus verwenden:
$$\log_2(7)=\frac{\ln(7)}{\ln(2)}\approx\frac{1{,}9459}{0{,}6931}\approx2{,}806.$$
Das Ergebnis ist plausibel: Weil $2^2=4$ und $2^3=8$ gilt, muss der gesuchte Exponent zwischen $2$ und $3$ liegen.
Der Basiswechsel ist keine Anwendung der Quotientenregel. Bei $\frac{\ln(7)}{\ln(2)}$ werden zwei Logarithmuswerte dividiert. Dagegen bedeutet $\ln(7/2)=\ln(7)-\ln(2)$, dass ein Quotient im Argument zerlegt wird.
Welche Fehler solltest du vermeiden?
Eine Summe ist kein Produkt
Die Produktregel erlaubt
$$\log_a(xy)=\log_a(x)+\log_a(y).$$
Daraus folgt nicht
$$\log_a(x+y)=\log_a(x)+\log_a(y).$$
Für eine Summe im Argument gibt es kein entsprechendes Logarithmusgesetz.
Die Basen müssen zusammenpassen
Du darfst $\log_a(x)+\log_a(y)$ zu $\log_a(xy)$ zusammenfassen. Bei unterschiedlichen Basen ist diese Umformung nicht erlaubt.
Beim Nenner gilt das Minus für alle Faktoren
Aus
$$\log_a\left(\frac{x}{yz}\right)$$
wird
$$\log_a(x)-\log_a(y)-\log_a(z).$$
Wer die Zwischenklammer weglässt, verliert leicht ein Minuszeichen.
Die Bedingungen gelten auch nach dem Umformen
Ein formal umgeformter Ausdruck ist nur dort gültig, wo alle beteiligten Logarithmen definiert sind. Bei reellen Logarithmen müssen ihre Argumente positiv sein.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Logarithmusgesetze
- Voraussetzungen: Basis positiv und ungleich 1, Argument positiv
- Produkt: Multiplikation wird Addition
- Quotient: Division wird Subtraktion
- Potenz: Exponent wird Vorfaktor
- Wurzel: Wurzelexponent wird Kehrwertfaktor
- Basiswechsel: gleiche neue Basis in Zähler und Nenner
- Kontrolle: Definitionsbereich und Plausibilität prüfen
Abschluss-Check
Wenn du jeden Term zuerst nach Produkt, Quotient, Potenz oder Wurzel untersuchst, findest du das passende Gesetz meist sofort. Prüfe anschließend immer die Bedingungen und das Ergebnis.