Potenzgesetze einfach erklärt: Regeln und Übungen

Die Potenz $3^4$ ist eine Kurzschreibweise für eine wiederholte Multiplikation:

$$3^4=3\cdot3\cdot3\cdot3=81$$

Bei $(-2)^3$ ist die eingeklammerte Zahl $-2$ die Basis. Sie kommt dreimal als Faktor vor:

$$(-2)^3=(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)=-8$$

Bevor du rechnest, prüfst du, was in den Potenzen übereinstimmt: die Basis, der Exponent oder weder noch. Die Regeln gelten nur, wenn alle vorkommenden Potenzen und Quotienten definiert sind. Bei negativen Exponenten darf die Basis nicht null sein.

Gleiche Basis

Beim Multiplizieren gleicher Basen addierst du die Exponenten:

$$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$$

Beispiel:

$$2^5\cdot2^3=2^{5+3}=2^8$$

Beim Dividieren gleicher Basen subtrahierst du die Exponenten:

$$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$$

Dabei muss $a\neq0$ gelten, weil nicht durch null geteilt werden darf.

$$\frac{5^7}{5^3}=5^{7-3}=5^4$$

Gleicher Exponent

Bei gleichem Exponenten kannst du die Basen zusammenfassen:

$$a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n$$

$$\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n\quad\text{mit }b\neq0$$

Beispiele:

$$2^3\cdot4^3=(2\cdot4)^3=8^3$$

$$\frac{12^2}{4^2}=\left(\frac{12}{4}\right)^2=3^2$$

Potenz einer Potenz

Wird eine Potenz erneut potenziert, multiplizierst du die Exponenten:

$$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$$

Für jede Basis $a$ gilt:

$$a^1=a$$

Für eine von null verschiedene Basis gilt außerdem:

$$a^0=1\quad\text{mit }a\neq0$$

Der Ausdruck $0^0$ wird in der Schulmathematik nicht als Potenzwert festgelegt. Du darfst die Nullpotenzregel deshalb nicht auf diesen Sonderfall anwenden.

Ein negativer Exponent bedeutet, dass du den Kehrwert bildest:

$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}\quad\text{mit }a\neq0$$

Beispiel:

$$2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac18$$

Das Minuszeichen braucht Aufmerksamkeit

Klammern bestimmen, ob das Minuszeichen zur Basis gehört:

$$(-4)^2=(-4)\cdot(-4)=16$$

$$-4^2=-(4^2)=-16$$

Bei einer eingeklammerten negativen Basis ist das Ergebnis bei einem geraden ganzzahligen Exponenten positiv und bei einem ungeraden Exponenten negativ.

Addition und Subtraktion

Für die Addition oder Subtraktion von Potenzen gibt es kein entsprechendes allgemeines Potenzgesetz. Zum Beispiel ist

$$2^3+2^5=8+32=40$$

und nicht $2^8$ oder $2^{3+5}$.

Ein rationaler Exponent lässt sich als Bruch schreiben. Für eine positive Basis $a$ gilt:

$$a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}$$

Der Nenner $q$ bestimmt die Wurzel, der Zähler $p$ die Potenz. Dabei gilt $q>0$.

Besonders wichtig ist:

$$a^{\frac12}=\sqrt{a}$$

Bei der Quadratwurzel arbeitest du im Bereich der reellen Zahlen mit $a\geq0$.

Du kannst auch in die andere Richtung umformen:

$$\sqrt[3]{x^2}=x^{2/3}$$

Bei längeren Termen gehst du nicht auf einmal vor. Markiere zuerst gleiche Basen oder gleiche Exponenten und prüfe anschließend das Ergebnis auf negative Exponenten und verbotene Divisionen.

Eine hilfreiche Reihenfolge ist:

1. Bedingungen prüfen, besonders Nenner und negative Exponenten.
2. Gleiche Basis, gleichen Exponenten oder Potenz einer Potenz erkennen.
3. Genau die passende Regel anwenden.
4. Negative Exponenten möglichst als Bruch schreiben.
5. Ergebnis durch Rückblick auf die Regel und die Bedingungen prüfen.

Typische Fehler

• Bei $a^m\cdot a^n$ werden die Exponenten addiert, nicht multipliziert.
• Bei $(a^m)^n$ werden die Exponenten multipliziert, nicht addiert.
• Bei einer Division wird der Exponent des Nenners vollständig subtrahiert.
• Ohne passende Gleichheit von Basis oder Exponent darfst du Potenzen nicht einfach zusammenfassen.
• Ein negativer Exponent macht nicht die Basis negativ, sondern erzeugt einen Kehrwert.

Wenn du einen Potenzterm siehst, stelle dir zuerst eine Frage: Was ist gleich? Aus der Antwort folgt die Regel. Prüfe danach Klammern, Vorzeichen, Nenner und besondere Exponenten.