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Logarithmus einfach erklärt: Regeln und Gleichungen
Ein Logarithmus beantwortet die Frage: „Welcher Exponent ist nötig?“ Aus $2^x=8$ folgt zum Beispiel $x=3$, also $\log_2(8)=3$.
Auf dieser Seite lernst du, Potenz- und Logarithmusschreibweise ineinander umzuwandeln, zulässige Logarithmen zu erkennen und einfache Exponentialgleichungen zu lösen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Welche Frage beantwortet der Logarithmus?
Bei einer Potenz können verschiedene Größen gesucht sein:
- Ist der Potenzwert gesucht, potenzierst du.
- Ist bei bekanntem Exponenten die Basis gesucht, kann eine Wurzel helfen.
- Ist bei bekannter Basis der Exponent gesucht, verwendest du den Logarithmus.
Logarithmus
Für eine zulässige Basis $a$ und ein positives Argument $b$ gilt:
$$a^x=b \quad\Longleftrightarrow\quad x=\log_a(b)$$
$a$ heißt Basis, $b$ heißt Argument oder Numerus, und $x$ ist der Logarithmuswert.
Gesucht ist der Exponent in $2^x=8$.
- Die Basis ist $2$.
- Der Potenzwert ist $8$.
- Daher lautet die Logarithmusfrage: $x=\log_2(8)$.
- Weil $2^3=8$ gilt, ist $x=3$.
Also gilt $\log_2(8)=3$.
Beim Umschreiben bleibt die Basis gleich. Der Potenzwert wird zum Argument, und der gesuchte Exponent wird zum Logarithmuswert.
Wann ist ein Logarithmus definiert?
Für reelle Logarithmen gelten drei Bedingungen:
$$a>0, \qquad a\ne1, \qquad b>0$$
Dabei ist $a$ die Basis und $b$ das Argument.
Warum sind diese Bedingungen nötig?
- Eine positive Basis liefert keine Potenzwerte kleiner oder gleich null. Deshalb muss das Argument positiv sein.
- Für die Basis $1$ gilt stets $1^x=1$. Der Exponent wäre bei Argument $1$ nicht eindeutig bestimmbar; andere positive Argumente würden gar nicht erreicht.
- Negative Basen liefern im reellen Bereich keine für alle Exponenten geeignete, eindeutige Umkehrung.
$\log_3(9)$ ist definiert: Die Basis $3$ ist positiv und nicht $1$, das Argument $9$ ist positiv.
$\log_{10}(0)$ ist nicht definiert, denn keine Potenz von $10$ ergibt $0$.
$\log_1(7)$ ist ebenfalls nicht definiert, weil die Basis nicht $1$ sein darf.
Ein Logarithmuswert darf trotzdem negativ sein. Es gilt zum Beispiel:
$$5^{-3}=0{,}008 \quad\Longleftrightarrow\quad \log_5(0{,}008)=-3$$
Das Argument $0{,}008$ ist positiv und daher zulässig.
Wie berechnest du einfache Logarithmen im Kopf?
Übersetze die Logarithmusfrage zurück in eine Potenzfrage:
$$\log_a(b)=? \quad\Longleftrightarrow\quad a^{?}=b$$
Bestimme $\log_3(81)$.
Gesucht ist die Hochzahl in $3^{?}=81$. Die Potenzen lauten:
$$3^1=3,\quad 3^2=9,\quad 3^3=27,\quad 3^4=81$$
Damit ist $\log_3(81)=4$.
Nützliche Sonderwerte sind:
$$\log_a(1)=0,\qquad \log_a(a)=1,\qquad \log_a(a^n)=n$$
Sie folgen direkt aus $a^0=1$, $a^1=a$ und der Definition des Logarithmus.
Häufig verwendete Basen haben eigene Bezeichnungen:
- $\lg(x)=\log_{10}(x)$ ist der dekadische Logarithmus.
- $\ln(x)=\log_e(x)$ ist der natürliche Logarithmus mit $e\approx2{,}718$.
- $\log_2(x)$ heißt binärer oder dualer Logarithmus.
Die Schreibweise log ohne angegebene Basis wird nicht überall gleich verwendet. Prüfe deshalb die Festlegung in deiner Aufgabe oder am Taschenrechner.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Weil $10^3=1000$ gilt, ist $\lg(1000)=$. Für jede zulässige Basis $a$ gilt $\log_a(1)=$. Aus $2^5=32$ folgt $\log_2(32)=$.
Wie funktionieren die Logarithmengesetze?
Für dieselbe zulässige Basis $a$ und positive Argumente $u$ und $v$ gelten drei zentrale Regeln.
Produktregel
$$\log_a(uv)=\log_a(u)+\log_a(v)$$
Ein Produkt im Argument wird zu einer Summe von Logarithmen.
Quotientenregel
$$\log_a\left(\frac{u}{v}\right)=\log_a(u)-\log_a(v)$$
Ein Quotient im Argument wird zu einer Differenz.
Potenzregel
$$\log_a(u^r)=r\log_a(u)$$
Der Exponent vor dem Argument wird zum Faktor vor dem Logarithmus.
Berechne $\log_2\left(\frac{32}{4}\right)$ mit der Quotientenregel.
$$\log_2\left(\frac{32}{4}\right)=\log_2(32)-\log_2(4)$$
Weil $2^5=32$ und $2^2=4$ gilt, folgt:
$$\log_2(32)-\log_2(4)=5-2=3$$
Die Probe bestätigt das Ergebnis: $\frac{32}{4}=8$ und $2^3=8$.
Logarithmen verteilen sich nicht über eine Summe. Im Allgemeinen gilt also nicht $\log_a(u+v)=\log_a(u)+\log_a(v)$.
Wie löst du Exponentialgleichungen?
Bei einer Exponentialgleichung steht die Unbekannte im Exponenten. Bringe die Gleichung zuerst möglichst in die Form
$$a^x=b$$
Dann gilt unmittelbar:
$$x=\log_a(b)$$
Löse $2^x=32$.
Da $32=2^5$ ist, kannst du den Exponenten direkt erkennen:
$$2^x=2^5 \quad\Longrightarrow\quad x=5$$
Gleichwertig ist $x=\log_2(32)=5$.
Lässt sich das Ergebnis nicht als bekannte Potenz erkennen, hilft der Basiswechsel. Für eine beliebige gemeinsam verwendete Hilfsbasis gilt:
$$\log_a(b)=\frac{\ln(b)}{\ln(a)}$$
Ebenso kannst du statt $\ln$ den dekadischen Logarithmus verwenden.
Löse $2^x=10$.
- Die Gleichung hat bereits die Form $a^x=b$.
- Logarithmiere: $x=\log_2(10)$.
- Wechsle zu einer Taschenrechnerfunktion:
$$x=\frac{\ln(10)}{\ln(2)}$$
Diese Form ist exakt. Einen Näherungswert kannst du mit dem Taschenrechner bestimmen. Da $2^3=8$ und $2^4=16$ gilt, muss er zwischen $3$ und $4$ liegen.
Auch in Wachstumsmodellen kann der gesuchte Exponent eine Zeit angeben. Bei $K=K_0q^x$ isolierst du zuerst die Potenz:
$$\frac{K}{K_0}=q^x$$
Dann folgt:
$$x=\log_q\left(\frac{K}{K_0}\right)$$
Ein Kapital von $1000\,€$ wächst jährlich mit dem Faktor $1{,}05$. Wann erreicht es $2000\,€$?
$$2000=1000\cdot1{,}05^x$$
Nach Division durch $1000$ gilt:
$$2=1{,}05^x$$
Damit ist
$$x=\log_{1{,}05}(2)=\frac{\ln(2)}{\ln(1{,}05)}\approx14{,}2$$
Nach dem Modell wird das Kapital nach rund $14{,}2$ Jahren verdoppelt. Die Einheit Jahre stammt aus dem jährlichen Wachstumsfaktor.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Logarithmus
- beantwortet die Frage nach dem Exponenten
- verbindet $a^x=b$ mit $x=\log_a(b)$
- verlangt eine positive Basis ungleich $1$
- verlangt ein positives Argument
- zerlegt Produkte, Quotienten und Potenzen nach festen Regeln
- löst Exponentialgleichungen durch Logarithmieren
- nutzt bei Bedarf einen Basiswechsel