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Ein Logarithmus beantwortet eine Potenzfrage: Welche Hochzahl brauche ich? Danach kannst du einfache Logarithmen berechnen und die Verbindung zu Potenzen verstehen.
- Ich kann den Logarithmus als Umkehrung des Potenzierens erklären.
- Ich kann einfache Logarithmen berechnen.
- Ich kann Basis, Numerus und Ergebnis unterscheiden.
- Ich kann grundlegende Logarithmusregeln anwenden.
Die Grundidee
Bei \(2^3=8\) kennst du Basis \(2\) und Hochzahl \(3\). Der Logarithmus fragt umgekehrt: Mit welcher Hochzahl wird aus \(2\) die \(8\)?
Logarithmus
\(\log_b(a)=x\) bedeutet: \(b^x=a\). Dabei heißt \(b\) Basis, \(a\) Numerus und \(x\) Logarithmuswert. Es gilt \(b>0\), \(b\ne1\) und \(a>0\).
Berechne \(\log_2(8)\).
Du suchst die Hochzahl \(x\) mit \(2^x=8\). Da \(2^3=8\) gilt, ist \(\log_2(8)=3\).
Logarithmus und Potenz sind zwei Blickrichtungen auf dieselbe Aussage.
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Rechenregeln verstehen
Logarithmusregeln kommen aus Potenzgesetzen. Sie helfen, Produkte, Quotienten und Potenzen umzuschreiben.
Logarithmusregeln
Für positive \(a\) und \(c\) gilt: \(\log_b(ac)=\log_b(a)+\log_b(c)\). \(\log_b\left(\frac{a}{c}\right)=\log_b(a)-\log_b(c)\). \(\log_b(a^r)=r\cdot\log_b(a)\).
Vereinfache \(\log_2(32) - \log_2(4)\).
Mit der Quotientenregel: \(\log_2(32) - \log_2(4)=\log_2(8)\). Da \(2^3=8\), ist der Wert \(3\).
Direkt geprüft: \(\log_2(32)=5\) und \(\log_2(4)=2\), also \(5-2=3\).
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Häufige Basen
\(\log_{10}\) heißt dekadischer Logarithmus. \(\ln\) ist der natürliche Logarithmus zur Basis \(e\). In der Schule begegnen dir beide, besonders bei Wachstum.
Die Zahl \(e\) ist ungefähr \(2{,}718\). Du musst sie am Anfang nicht „sehen“ können; wichtig ist: \(\ln(a)\) bedeutet \(\log_e(a)\).
Prüfungsmodus
Bei Logarithmusgleichungen ist die Definitionsmenge wichtig. Alles im Logarithmus muss positiv sein.
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
Der Logarithmus sagt dir, welche Hochzahl zu einer Potenz gehört. \(\log_b(a)=x\) ist gleichbedeutend mit \(b^x=a\). Logarithmusregeln beruhen auf Potenzgesetzen und funktionieren nur bei positiven Numeri.