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Bei Wachstum und Zerfall steht die gesuchte Zeit oft im Exponenten. Exponentialgleichungen zeigen dir, wann sich etwas verdoppelt, halbiert oder einen bestimmten Wert erreicht.
- Ich kann Exponentialgleichungen erkennen.
- Ich kann gleiche Basen nutzen.
- Ich kann Logarithmen zum Lösen verwenden.
- Ich kann eine Lösung durch Einsetzen prüfen.
Grundidee
In \(2^x=32\) steht das x nicht unten neben einer Zahl, sondern oben im Exponenten. Deshalb brauchst du andere Werkzeuge als bei linearen Gleichungen.
Exponentialgleichung
Eine Exponentialgleichung ist eine Gleichung, in der die Variable im Exponenten vorkommt, zum Beispiel \(3^x=81\).
Wenn beide Seiten als Potenzen mit derselben Basis geschrieben werden können, vergleichst du die Exponenten. Wenn das nicht geht, benutzt du den Logarithmus als Umkehrung des Potenzierens.
\(2^x=32\).
Schreibe \(32\) als Potenz zur Basis 2: \(32=2^5\). Dann gilt \(2^x=2^5\), also \(x=5\).
Gleiche positive Basis, gleiche Potenz: Dann sind auch die Exponenten gleich.
Vorgehen
Für \(a^x=b\) mit \(a>0\) und \(a\ne1\) gilt \(x=\frac{\log(b)}{\log(a)}\). Die Logarithmusbasis darfst du dabei frei wählen, solange du sie oben und unten gleich benutzt.
\(3^x=20\).
\(x=\frac{\log(20)}{\log(3)}\approx2{,}73\).
Probe grob: \(3^2=9\) und \(3^3=27\), also muss die Lösung zwischen 2 und 3 liegen.
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Prüfungsmodus
Entscheide zuerst: gleiche Basis möglich oder Logarithmus nötig? Danach prüfst du, ob der gefundene Wert ungefähr zur Größenordnung passt.
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Alles auf einen Blick
Die wichtigsten Wörter und Entscheidungen solltest du schnell wiedererkennen können.
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Abschluss-Check
Nutze diese Fragen erst, wenn du die Beispiele darüber verstanden hast. Sie mischen Rechnen, Begründen und Entscheiden.
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Zusammenfassung
Exponentialgleichungen löst du entweder durch gleiche Basen oder mit Logarithmen. Eine grobe Probe schützt dich vor unplausiblen Ergebnissen.