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Exponentialgleichungen erkennen und sicher lösen
Bei einer Exponentialgleichung steht die gesuchte Variable mindestens einmal im Exponenten. Du löst sie meist, indem du eine gemeinsame Basis herstellst, logarithmierst oder einen wiederkehrenden Exponentialterm ersetzt. Welche Methode passt, hängt von der Form der Gleichung ab.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du eine Exponentialgleichung?
In $2^x=16$ ist $x$ der Exponent. Deshalb ist dies eine Exponentialgleichung. Die Frage lautet: „2 hoch welche Zahl ergibt 16?“ Die Antwort ist $x=4$.
In $x^4=16$ steht $x$ dagegen in der Basis. Das ist eine Potenzgleichung, keine Exponentialgleichung.
Exponentialgleichung
Eine Exponentialgleichung ist eine Gleichung, in der die gesuchte Variable mindestens einmal im Exponenten vorkommt. Kommt sie nur in Exponenten vor, nennt man die Gleichung rein exponentiell.
$2^x+x^2=2$ ist eine Exponentialgleichung, aber keine reine: $x$ steht im Exponenten von $2^x$ und zusätzlich in $x^2$.
Wie wählst du das passende Verfahren?
Prüfe die Gleichung in dieser Reihenfolge:
- Kannst du dieselbe Basis herstellen? Dann vergleichst du die Exponenten.
- Steht auf jeder Seite ein positiver Exponentialterm? Dann kannst du logarithmieren. Summen musst du vorher passend umformen.
- Kommen etwa $a^{2x}$ und $a^x$ vor? Dann kann die Substitution $u=a^x$ helfen.
- Steht die Variable zusätzlich außerhalb eines Exponenten? Dann kann eine grafische Lösung sinnvoll sein; sie liefert meist nur Näherungswerte.
Logarithmieren wirkt direkt auf Produkte und Potenzen, aber nicht auf einzelne Summanden. Aus $a^x+c=b$ musst du zuerst $a^x=b-c$ machen. Für $a^x+c^x=d$ gibt es keine Regel, die den Logarithmus auf die Summe verteilt.
Wie funktioniert der Exponentenvergleich?
Für $a>0$ und $a\ne1$ nimmt $a^t$ jeden Exponentenwert nur einmal an. Deshalb gilt:
$$a^{f(x)}=a^{g(x)} \iff f(x)=g(x)$$
Löse $64^x=16$.
Zuerst stellst du dieselbe Basis her:
$$64=2^6 \quad\text{und}\quad 16=2^4$$
Damit folgt:
$$(2^6)^x=2^4$$
Mit dem Potenzgesetz $(a^m)^n=a^{mn}$ erhältst du:
$$2^{6x}=2^4$$
Nun vergleichst du die Exponenten:
$$6x=4 \iff x=\frac{2}{3}$$
Probe:
$$64^{2/3}=\sqrt[3]{64^2}=16$$
Also ist $x=\frac{2}{3}$ die Lösung.
Wie löst du durch Logarithmieren?
Der Logarithmus ist die Umkehrung des Potenzierens. Für $b>0$, $b\ne1$ und $c>0$ gilt:
$$b^x=c \iff x=\log_b(c)=\frac{\ln(c)}{\ln(b)}$$
Wichtig ist die Potenzregel:
$$\ln(a^u)=u\ln(a)$$
Sie holt den Exponenten nach vorn. Der logarithmierte Ausdruck muss positiv sein. Bei einer positiven Exponentialbasis ist eine Potenz wie $a^u$ stets positiv.
Löse $4^{x-2}=29$.
Beide Seiten sind positiv. Du logarithmierst:
$$\ln(4^{x-2})=\ln(29)$$
Mit der Potenzregel:
$$(x-2)\ln(4)=\ln(29)$$
Nun löst du die lineare Gleichung:
$$x-2=\frac{\ln(29)}{\ln(4)}$$
$$x=2+\frac{\ln(29)}{\ln(4)}\approx4{,}429$$
Der Dezimalwert ist gerundet. Die exakte Lösung ist der Term mit den Logarithmen.
Du darfst statt $\ln$ auch einen anderen Logarithmus mit positiver Basis ungleich 1 verwenden. Wichtig ist, auf beiden Seiten denselben Logarithmus zu benutzen.
Wie hilft eine Substitution?
Wenn derselbe Exponentialterm mehrfach vorkommt, ersetzt du ihn vorübergehend durch eine neue Variable. Danach löst du eine bekannte algebraische Gleichung und setzt zurück.
Löse $5^{2x}-5^{x+1}+4=0$.
Nutze zuerst die Potenzgesetze:
$$5^{2x}=(5^x)^2 \quad\text{und}\quad 5^{x+1}=5\cdot5^x$$
Setze $u=5^x$. Weil $5^x>0$ ist, gilt auch $u>0$. Die Gleichung wird zu:
$$u^2-5u+4=0$$
Faktorisieren ergibt:
$$(u-1)(u-4)=0$$
Also gilt $u=1$ oder $u=4$.
Rücksubstitution für $u=1$:
$$5^x=1 \iff x=0$$
Rücksubstitution für $u=4$:
$$5^x=4 \iff x=\frac{\ln(4)}{\ln(5)}\approx0{,}861$$
Damit lautet die Lösungsmenge:
$$L=\left\{0;\frac{\ln(4)}{\ln(5)}\right\}$$
Prüfe nach dem Lösen der Ersatzgleichung immer $u>0$. Ein Wert wie $u=-2$ kann nicht zu $u=5^x$ gehören und fällt vor der Rücksubstitution weg.
Was bedeuten Probe und grafische Lösung?
Eine Probe setzt den gefundenen Wert in die Ausgangsgleichung ein. Bei exakten Ergebnissen kannst du die Gleichheit exakt prüfen.
Bei gerundeten Ergebnissen können die beiden Seiten leicht voneinander abweichen. Das widerlegt die Lösung nicht automatisch; die Abweichung muss zur Rundungsgenauigkeit passen.
Wenn sich eine Gleichung nicht gut algebraisch lösen lässt, formst du sie als $F(x)=G(x)$ auf. Die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen sind Lösungen.
Für $4^x+x^2=5$ zeichnest du $F(x)=4^x$ und $G(x)=-x^2+5$. Aus dem Graphen lassen sich ungefähr $x\approx-2{,}2$ und $x=1$ ablesen. Die erste Angabe ist nur eine Näherung. $x=1$ erfüllt die Gleichung exakt, denn $4^1+1^2=5$.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Exponentialgleichungen
- Erkennen: Die Variable steht im Exponenten
- Unterscheiden: reine und nicht reine Form
- Exponentenvergleich: gleiche Basis herstellen
- Logarithmieren: einzelne positive Potenzen lösen
- Substitution: wiederkehrenden Exponentialterm ersetzen
- Grafisches Lösen: Schnittpunkte annähern
- Prüfen: Zulässigkeit, Probe und Rundung beachten