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Exponentialgleichungen lösen: Methoden und Beispiele
Bei einer Exponentialgleichung steht die gesuchte Variable mindestens einmal im Exponenten. Du löst sie je nach Form durch Exponentenvergleich, Logarithmieren, Substitution oder näherungsweise mithilfe eines Graphen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Exponentialgleichungen erkennen und einordnen
Eine Gleichung ist eine Exponentialgleichung, wenn die gesuchte Variable in einem Exponenten vorkommt.
Exponentialgleichung
Eine Exponentialgleichung enthält die gesuchte Variable mindestens einmal im Exponenten. Steht die Variable ausschließlich in Exponenten, spricht man von einer reinen Exponentialgleichung.
Beispiele:
- $2^x=16$ ist eine reine Exponentialgleichung.
- $2^x+x^2=2$ ist eine Exponentialgleichung, aber keine reine: $x$ steht auch außerhalb eines Exponenten.
- $x^4=16$ ist keine Exponentialgleichung, denn $x$ ist hier die Basis.
- $x^2+x+3=0$ ist eine quadratische Gleichung.
Für die üblichen Exponentialfunktionen in der Schule gilt: Die Basis ist positiv und nicht $1$. So ist die Potenz für alle reellen Exponenten definiert und eindeutig umkehrbar.
Welches Verfahren passt?
Gehe in dieser Reihenfolge vor:
- Vereinfache die Gleichung und isoliere möglichst den Exponentialterm.
- Prüfe, ob sich gleiche Basen herstellen lassen.
- Wenn das nicht gelingt, prüfe, ob du logarithmieren kannst.
- Treten zusammengehörige Potenzen derselben Basis auf, kann eine Substitution helfen.
- Lässt sich die Gleichung nicht algebraisch lösen, kannst du Schnittpunkte grafisch oder numerisch bestimmen.
- Setze das Ergebnis zur Probe in die Ausgangsgleichung ein.
Versuche nicht sofort zu logarithmieren. Vereinfachen, gleiche Basen erkennen und Potenzgesetze anwenden macht viele Gleichungen deutlich leichter.
Gleiche Basen herstellen und Exponenten vergleichen
Für eine positive Basis $a\ne1$ gilt:
$$a^u=a^v\quad\Longleftrightarrow\quad u=v$$
Die Exponentialfunktion nimmt also bei verschiedenen Exponenten nicht denselben Wert an.
Löse $3^{x+1}=27$.
Zuerst schreibst du $27$ als Potenz zur Basis $3$:
$$27=3^3$$
Damit wird die Gleichung zu
$$3^{x+1}=3^3.$$
Nun vergleichst du die Exponenten:
$$x+1=3$$
$$x=2$$
Probe:
$$3^{2+1}=3^3=27$$
Die Lösung lautet $x=2$.
Auch unterschiedliche Basen lassen sich manchmal auf eine gemeinsame Basis zurückführen:
$$64^x=16$$
Mit $64=2^6$ und $16=2^4$ folgt
$$(2^6)^x=2^4$$
$$2^{6x}=2^4$$
$$6x=4$$
$$x=\frac23$$
Mit dem Logarithmus den Exponenten freilegen
Wenn du keine gemeinsame Basis herstellen kannst, hilft häufig der Logarithmus. Er kehrt das Potenzieren um:
$$b^x=y\quad\Longleftrightarrow\quad x=\log_b(y)$$
Dabei müssen $b>0$, $b\ne1$ und $y>0$ gelten. Du kannst mit dem natürlichen Logarithmus $\ln$ oder dem Zehnerlogarithmus $\lg$ rechnen.
Das entscheidende Logarithmengesetz lautet:
$$\ln(a^r)=r\ln(a)$$
Es holt den Exponenten vor den Logarithmus.
Löse $4^{x-2}=29$.
Beide Seiten sind positiv. Du darfst deshalb logarithmieren:
$$\ln(4^{x-2})=\ln(29)$$
Mit der Potenzregel folgt
$$(x-2)\ln(4)=\ln(29).$$
Teile durch $\ln(4)$:
$$x-2=\frac{\ln(29)}{\ln(4)}$$
Addiere $2$:
$$x=2+\frac{\ln(29)}{\ln(4)}\approx4{,}43$$
Für die Probe setzt du den ungerundeten Wert ein. Mit $x\approx4{,}43$ erhältst du wegen der Rundung nur einen Näherungswert für $29$.
Du darfst den Logarithmus einer Summe nicht auf die Summanden verteilen. Im Allgemeinen gilt also nicht $\ln(u+v)=\ln(u)+\ln(v)$. Isoliere deshalb möglichst zuerst eine einzelne Potenz.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Beim Lösen von $a^x=b$ wird zuerst der isoliert. Danach kann man beide positiven Seiten . Mit der Potenzregel wird aus $\ln(a^x)$ der Ausdruck .
Die Gleichung vor dem Logarithmieren umformen
Oft ist nicht der Logarithmus der schwierige Teil, sondern die Vorbereitung. Nutze gewöhnliche Äquivalenzumformungen und Potenzgesetze, bevor du logarithmierst.
Wichtige Potenzgesetze sind:
$$a^{x+y}=a^x\cdot a^y$$
$$(a^x)^r=a^{rx}$$
$$\frac{a^x}{b^x}=\left(\frac ab\right)^x$$
Löse $2\cdot2^x=16$.
Isoliere zuerst die Potenz, indem du durch $2$ teilst:
$$2^x=8$$
Da $8=2^3$ gilt, ist kein Logarithmus mehr nötig:
$$2^x=2^3$$
$$x=3$$
Probe in der ursprünglichen Gleichung:
$$2\cdot2^3=2\cdot8=16$$
Bei Potenzen mit demselben Exponenten kann ein Quotient entstehen:
$$8\cdot8^x=16^x$$
Teile durch $8^x$:
$$8=\frac{16^x}{8^x}=\left(\frac{16}{8}\right)^x=2^x$$
Daraus folgt $x=3$.
Führe nach jeder Umformung einen kurzen Kontrollblick durch: Wurde auf beiden Seiten dieselbe zulässige Operation ausgeführt? Ist die neue Gleichung wirklich gleichwertig zur alten?
Zusammengehörige Potenzen substituieren
Enthält eine Gleichung mehrere Potenzen derselben Basis, kann eine Substitution die Exponentialgleichung in eine bekannte algebraische Gleichung verwandeln.
Substitution
Bei einer Substitution ersetzt du einen wiederkehrenden Ausdruck vorübergehend durch eine neue Variable. Nach dem Lösen setzt du den ursprünglichen Ausdruck wieder ein.
Löse
$$5^{2x}-5^{x+1}+4=0.$$
Nutze die Potenzgesetze:
$$5^{2x}=(5^x)^2$$
$$5^{x+1}=5\cdot5^x$$
Setze $u=5^x$. Weil $5^x$ immer positiv ist, gilt zusätzlich $u>0$. Die Gleichung wird zu
$$u^2-5u+4=0.$$
Faktorisiere:
$$(u-1)(u-4)=0$$
Damit gilt
$$u_1=1\quad\text{oder}\quad u_2=4.$$
Nun substituierst du zurück.
Für $5^x=1$ gilt:
$$x=0$$
Für $5^x=4$ gilt:
$$x=\frac{\ln(4)}{\ln(5)}\approx0{,}8614$$
Beide zugehörigen $u$-Werte sind positiv. Die Gleichung hat daher die Lösungen
$$x_1=0,\qquad x_2=\frac{\ln(4)}{\ln(5)}.$$
Ergibt die algebraische Ersatzgleichung einen Wert $u\le0$, darfst du ihn bei $u=a^x$ mit $a>0$ nicht zurücksubstituieren: Eine positive Basis hoch einer reellen Zahl ist stets positiv.
Grafische Lösungen und Näherungswerte beurteilen
Nicht jede Exponentialgleichung lässt sich mit den bisherigen Verfahren exakt auflösen. Ein Beispiel ist
$$4^x+x^2=5.$$
Du kannst sie als Schnittpunktproblem schreiben:
$$4^x=-x^2+5.$$
Die Lösungen sind die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte von
$$f(x)=4^x\quad\text{und}\quad g(x)=-x^2+5.$$
Ein Schnittpunkt liegt exakt bei $x=1$, denn
$$4^1+1^2=5.$$
Ein Graph kann weitere Lösungen sichtbar machen, liefert beim Ablesen aber zunächst nur Näherungswerte. Ein grob abgelesener Wert muss daher durch Einsetzen geprüft und bei Bedarf numerisch verfeinert werden.
Eine kleine Abweichung bei der Probe kann durch Rundung entstehen. Eine deutlichere Abweichung ist kein Beweis für eine Lösung, sondern ein Zeichen dafür, dass der Näherungswert verbessert werden muss.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Exponentialgleichungen lösen
- Erkennen: Variable steht im Exponenten
- Vorbereiten: vereinfachen und Exponentialterm isolieren
- Gleiche Basen: Exponenten vergleichen
- Verschiedene Basen: logarithmieren
- Zusammengehörige Potenzen: substituieren
- Keine algebraische Lösung: grafisch oder numerisch nähern
- Abschluss: in der Ausgangsgleichung prüfen
Abschluss-Check
Du bist sicher, wenn du bei einer neuen Gleichung zuerst ihre Struktur untersuchst, das einfachste passende Verfahren begründest und dein Ergebnis anschließend in der Ausgangsgleichung kontrollierst.