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Natürlicher Logarithmus: ln verstehen und anwenden
Der natürliche Logarithmus beantwortet eine Exponentenfrage: $\ln y$ ist genau die Zahl $x$, für die $e^x=y$ gilt. Er ist also die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion $e^x$ und ist im reellen Zahlenbereich nur für positive Argumente definiert.
Auf dieser Seite lernst du, $\ln$ sicher zu deuten, Logarithmengesetze anzuwenden, Exponentialgleichungen zu lösen und die Funktion in der Analysis zu nutzen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was bedeutet ln?
Die Zahl $e\approx 2{,}7182818$ ist die Basis des natürlichen Logarithmus. Der Ausdruck $\ln y$ fragt: Mit welchem Exponenten muss ich $e$ potenzieren, damit $y$ entsteht?
Natürlicher Logarithmus
Für $y>0$ gilt:
$$e^x=y\quad\Longleftrightarrow\quad x=\ln y$$
Darum heben sich Exponentialfunktion und natürlicher Logarithmus gegenseitig auf:
$$\ln(e^x)=x$$
$$e^{\ln y}=y\quad(y>0)$$
Gesucht ist der Exponent in $e^x=21$.
- Wende auf beide Seiten $\ln$ an: $\ln(e^x)=\ln 21$.
- Nutze die Umkehrbeziehung $\ln(e^x)=x$.
- Damit ist $x=\ln 21$.
Der exakte Wert ist $\ln 21$; eine Dezimalnäherung kannst du mit der ln-Taste bestimmen.
Ein besonders wichtiger Wert ist $\ln 1=0$, denn $e^0=1$. Ebenso gilt $\ln e=1$, denn $e^1=e$.
Wo ist ln definiert und wie verläuft der Graph?
Bei $f(x)=\ln x$ muss das Argument $x$ positiv sein. Deshalb ist der Definitionsbereich $(0,\infty)$. Der Wertebereich ist ganz $\mathbb R$, denn $\ln x$ kann jeden reellen Wert annehmen.
Der Graph hat folgende Eigenschaften:
- Er schneidet die x-Achse bei $x=1$, weil $\ln 1=0$.
- Er ist streng steigend.
- Für $x\to 0^+$ fällt $\ln x$ gegen $-\infty$; die Gerade $x=0$ ist eine vertikale Asymptote.
- Für $x\to\infty$ wächst $\ln x$ ebenfalls gegen $\infty$, allerdings immer langsamer.
Bei $\ln(g(x))$ gelten zwei verschiedene Bedingungen:
- definiert: $g(x)>0$
- Nullstelle: $g(x)=1$
Untersuche $f(x)=\ln(x-2)$.
Definitionsbereich: Das Argument muss positiv sein:
$$x-2>0\quad\Longleftrightarrow\quad x>2$$
Also ist $D=(2,\infty)$.
Nullstelle: Für eine Nullstelle muss das Argument 1 sein:
$$x-2=1\quad\Longleftrightarrow\quad x=3$$
Die Nullstelle $x=3$ liegt im Definitionsbereich und ist daher zulässig.
Welche Rechengesetze gelten?
Für positive Zahlen $u$ und $v$ sowie jede reelle Zahl $r$ gelten:
$$\ln(uv)=\ln u+\ln v$$
$$\ln\left(\frac{u}{v}\right)=\ln u-\ln v$$
$$\ln(u^r)=r\ln u$$
Die Gesetze verwandeln Multiplikation in Addition, Division in Subtraktion und einen Exponenten in einen Faktor.
Vereinfache $\ln 12-\ln 3$.
Die Differenz passt zum Quotientengesetz:
$$\ln 12-\ln 3=\ln\left(\frac{12}{3}\right)=\ln 4$$
Außerdem gilt mit dem Potenzgesetz:
$$2\ln 3=\ln(3^2)=\ln 9$$
Für Summen und Differenzen im Argument gibt es kein entsprechendes Gesetz. Im Allgemeinen ist $\ln(u+v)\ne\ln u+\ln v$.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Ein Produkt im Argument wird zu einer : $\ln(uv)=\ln u+\ln v$. Ein Quotient wird zu einer . Bei $\ln(u^r)$ darf der Exponent als vor den Logarithmus. Für $\ln(u+v)$ gibt es .
Wie löst du Exponentialgleichungen mit ln?
Steht die Unbekannte im Exponenten, bringt Logarithmieren sie mithilfe der Potenzregel nach vorn. Achte darauf, dass beide Seiten der logarithmierten Gleichung positiv sein müssen.
Löse $3^x=5$.
- Logarithmiere beide Seiten:
$$\ln(3^x)=\ln 5$$
- Hole den Exponenten mit der Potenzregel nach vorn:
$$x\ln 3=\ln 5$$
- Teile durch $\ln 3$:
$$x=\frac{\ln 5}{\ln 3}\approx 1{,}465$$
Die Näherung ist plausibel: $3^1=3<5$ und $3^2=9>5$, also muss $x$ zwischen 1 und 2 liegen.
Für eine Gleichung der Form $e^x=y$ mit $y>0$ ist der Weg kürzer: Direkt aus der Umkehrbeziehung folgt $x=\ln y$.
Wie nutzt du ln in der Analysis?
Die natürliche Logarithmusfunktion ist in der Analysis besonders praktisch:
$$\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}\quad(x>0)$$
Ist das Argument eine Funktion $g(x)$, brauchst du die Kettenregel:
$$\frac{d}{dx}\ln(g(x))=\frac{g'(x)}{g(x)}$$
Diese Formel gilt überall dort, wo $g(x)>0$ ist.
Leite $f(x)=\ln(x^2+2)$ ab.
Das Argument $x^2+2$ ist für jedes reelle $x$ positiv. Seine Ableitung ist $2x$. Daher:
$$f'(x)=\frac{2x}{x^2+2}$$
Eine Stammfunktion von $\ln x$ ist
$$\int \ln x\,dx=x\ln x-x+C\quad(x>0)$$
Du kannst das prüfen, indem du $x\ln x-x$ ableitest: Mit der Produktregel entsteht $\ln x+1-1=\ln x$.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Natürlicher Logarithmus
- Bedeutung: gesuchter Exponent zur Basis e
- Umkehrung: hebt die e-Funktion auf
- Bereich: nur positive Argumente
- Graph: steigend, Nullstelle bei 1
- Rechengesetze: Produkt, Quotient, Potenz
- Gleichungen: Unbekannte aus dem Exponenten lösen
- Analysis: Ableitung als innere Ableitung durch Argument
Abschluss-Check
Du bist sicher, wenn du bei jeder Aufgabe zuerst fragst: Ist das Logarithmusargument positiv? Entscheide danach, ob du die Umkehrbeziehung, ein Logarithmengesetz oder die Kettenregel brauchst.