Eulersche Zahl e einfach erklärt

$e$ ist eine mathematische Konstante: Ihr Wert ist fest und hängt nicht von einer Aufgabe oder Maßeinheit ab.

Die Punkte zeigen, dass die Dezimaldarstellung unendlich weitergeht. Dabei entsteht keine sich wiederholende Ziffernfolge. Deshalb ist $e$ irrational: Die Zahl lässt sich nicht als Quotient zweier ganzer Zahlen schreiben.

$e$ ist sogar transzendent. Das bedeutet: Sie ist keine Nullstelle eines von null verschiedenen Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten. Irrationalität und Transzendenz sind also nicht dasselbe; Transzendenz ist die stärkere Aussage.

Stell dir ein Startkapital von $1$ Euro und insgesamt $100\,\%$ Zinsen für ein Jahr vor. Bei einer einzigen Gutschrift erhältst du

$$\left(1+1\right)^1=2.$$

Wird der Jahreszins auf zwei gleiche Zeitabschnitte verteilt, entstehen zweimal $50\,\%$:

$$\left(1+\frac{1}{2}\right)^2=2{,}25.$$

Bei vier Gutschriften mit jeweils $25\,\%$ ergibt sich

$$\left(1+\frac{1}{4}\right)^4=\frac{625}{256}=2{,}44140625.$$

Allgemein lautet der Endwert bei $n$ gleich großen Zeitabschnitten

$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n.$$

Je größer $n$ wird, desto näher kommt dieser Ausdruck an $e$ heran:

$$e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n.$$

Das Zeichen $\lim$ bezeichnet einen Grenzwert. Es bedeutet hier nicht, dass wirklich unendlich oft gerechnet wird. Es beschreibt die Zahl, der sich die Folgenglieder beliebig genau nähern.

Eine zweite exakte Beschreibung verwendet eine unendliche Reihe:

$$e=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}=1+1+\frac12+\frac16+\frac1{24}+\dots$$

Das Ausrufezeichen bezeichnet die Fakultät. Für eine positive ganze Zahl werden alle natürlichen Zahlen bis zu ihr multipliziert:

$$4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24,$$

und als Festlegung gilt $0!=1$.

Für die natürliche Exponentialfunktion

$$f(x)=e^x$$

stimmen Funktion und Ableitung überein:

$$f'(x)=e^x=f(x).$$

Die Ableitung beschreibt die momentane Steigung. Bei $e^x$ ist die Steigung an jeder Stelle also genauso groß wie der dortige Funktionswert.

Der natürliche Logarithmus $\ln(x)$ ist die Umkehrfunktion von $e^x$. Daher gilt

$$\ln(e)=1,$$

weil $e^1=e$ ist.

Eine weitere exakte Charakterisierung lautet: Die Fläche unter dem Graphen von $y=1/x$ zwischen $x=1$ und $x=e$ beträgt genau $1$.

$e$ tritt auf, wenn die momentane Änderung proportional zum aktuellen Bestand ist. Ein passendes Modell lautet

$$A(t)=A_0\cdot e^{kt}.$$

Dabei ist $A_0$ der Anfangswert, $t$ die Zeit und $k$ eine konstante relative Änderungsrate.

• Für $k>0$ beschreibt das Modell exponentielles Wachstum.
• Für $k<0$ beschreibt es exponentiellen Zerfall.
• Für $k=0$ bleibt der Bestand konstant.

Beispiele sind kontinuierliche Verzinsung, idealisierte Wachstumsprozesse und radioaktiver Zerfall. Reales Wachstum muss jedoch nicht unbegrenzt exponentiell bleiben: Begrenzte Ressourcen können beispielsweise zu einer Obergrenze führen.

Auch in der Wahrscheinlichkeitsrechnung erscheint $e$. Werden viele Briefe zufällig auf ebenso viele adressierte Umschläge verteilt, nähert sich die Wahrscheinlichkeit, dass kein Brief im richtigen Umschlag liegt, dem Wert

$$\frac1e\approx0{,}367879,$$

also ungefähr $36{,}8\,\%$.

In der höheren Mathematik verbindet die Euler-Formel die Exponentialfunktion mit Kreisfunktionen:

$$e^{i\varphi}=\cos(\varphi)+i\sin(\varphi).$$

Dabei bezeichnet $i$ die imaginäre Einheit. Für $\varphi=\pi$ entsteht die Euler-Identität

$$e^{i\pi}+1=0.$$

• Näherung und exakte Zahl verwechseln: $e\approx2{,}71828$ ist gerundet; Grenzwert und Reihe definieren $e$ exakt.
• Irrational mit unerklärbar verwechseln: $e$ hat keine endliche oder periodische Dezimaldarstellung, ist aber exakt definiert.
• Fakultät falsch lesen: $5!$ bedeutet $5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1$, nicht $5^2$ und nicht $5$.
• Grenzwert als unendliches Ergebnis deuten: Beim Zinseszins wächst die Zahl der Teilperioden unbegrenzt, der Endwert nähert sich aber der endlichen Zahl $e$.
• Jedes Wachstum für immer exponentiell fortsetzen: Das Modell $A_0e^{kt}$ gilt nur, solange eine konstante relative Änderungsrate sinnvoll ist.