Mit Google fortfahren
Manche Größen wachsen nicht immer um denselben Betrag, sondern vervielfachen sich: Bakterien verdoppeln sich, Zinsen werden wieder mitverzinst, ein Gerücht erreicht immer mehr Personen. Genau dafür benutzt du Exponentialfunktionen.
- Ich kann eine Exponentialfunktion erkennen.
- Ich kann Anfangswert und Wachstumsfaktor deuten.
- Ich kann Funktionswerte berechnen.
- Ich kann Wachstum und Zerfall unterscheiden.
- Ich kann den Graphen grob beschreiben.
Die Grundidee
Bei linearem Wachstum kommt immer derselbe Betrag dazu. Bei exponentiellem Wachstum wird immer mit demselben Faktor multipliziert.
Exponentialfunktion
Eine Exponentialfunktion hat die Form \(f(x)=a\cdot b^x\). Dabei ist \(a\) der Anfangswert und \(b\) der Wachstumsfaktor. Die Variable steht im Exponenten.
Eine Pflanze ist am Anfang 5 cm hoch und verdoppelt ihre Höhe in jedem Modellschritt.
Dann gilt \(f(x)=5\cdot 2^x\).
\(f(0)=5\cdot 2^0=5\)
\(f(1)=5\cdot 2=10\)
\(f(3)=5\cdot 8=40\)
Steht die Variable oben im Exponenten, denke sofort an „mal Faktor“, nicht an „plus Betrag“.
Interaktive Quizfrage wird geladen ...
Wachstum, Zerfall und Prozentfaktor
Der Faktor \(b\) entscheidet über die Richtung. Bei \(b>1\) wächst der Graph. Bei \(0<b<1\) fällt er.
Wachstumsfaktor
Der Wachstumsfaktor ist die Zahl, mit der pro Schritt multipliziert wird. 20 Prozent Wachstum bedeuten \(b=1{,}20\). 20 Prozent Abnahme bedeuten \(b=0{,}80\).
Ein Wert startet bei 200 und sinkt jedes Jahr um 15 Prozent.
Übrig bleiben jedes Jahr 85 Prozent, also \(b=0{,}85\).
Das Modell lautet \(f(x)=200\cdot 0{,}85^x\).
Nach 2 Jahren: \(f(2)=200\cdot 0{,}85^2=200\cdot 0{,}7225=144{,}5\).
Interaktiver Lückentext wird geladen ...
Graph und typische Aufgaben
Der Graph einer Exponentialfunktion geht durch \((0|a)\), weil \(b^0=1\) gilt. Eine waagerechte Linie, der sich der Graph nähert, heißt Asymptote.
Für \(f(x)=4\cdot 3^x\) ist \(f(0)=4\).
Bei \(x=1\) ist \(f(1)=12\), bei \(x=2\) ist \(f(2)=36\).
Der Graph steigt immer schneller, weil jeder neue Wert dreimal so groß ist wie der vorherige.
Interaktive Quizfrage wird geladen ...
Prüfungsmodus
In gemischten Aufgaben musst du zuerst entscheiden, ob ein fester Betrag oder ein fester Faktor gegeben ist.
Interaktive Quizfrage wird geladen ...
Alles auf einen Blick
Interaktive Mindmap wird geladen ...
Interaktive Lernkarten wird geladen ...
Zusammenfassung
Exponentialfunktionen beschreiben Situationen mit wiederholter Multiplikation. Du liest den Anfangswert an \(a\) ab und den Faktor an \(b\). Achte besonders darauf, Prozentangaben in Faktoren umzuwandeln.