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Exponentialfunktionen: Graphen und Gleichungen
Bei einer Exponentialfunktion steht die Variable im Exponenten. Sie beschreibt eine Größe, die in gleich großen Schritten immer mit demselben Faktor multipliziert wird. So kannst du Wachstum, Zerfall, Graphen und Gleichungen systematisch untersuchen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran du eine Exponentialfunktion erkennst
Vergleiche zwei Folgen: $100, 200, 300, 400$ und $100, 200, 400, 800$. In der ersten Folge kommt jedes Mal derselbe Betrag hinzu. Das ist linear. In der zweiten Folge wird jedes Mal mit $2$ multipliziert. Das ist exponentiell.
Exponentialfunktion
Eine reelle Exponentialfunktion in Grundform lautet
$$f(x)=a\cdot b^x.$$
Dabei gilt $a\neq 0$, $b>0$ und $b\neq 1$. Der Vorfaktor $a$ ist $f(0)$, weil $b^0=1$. Die Basis $b$ ist der Faktor pro Schritt. Die Variable $x$ steht im Exponenten.
Die Bedingung $b>0$ sorgt dafür, dass $b^x$ für jede reelle Zahl $x$ einen reellen Wert besitzt. Die Basis $1$ wird ausgeschlossen, weil $1^x=1$ und damit nur eine konstante Funktion entsteht. Die Basis $0$ eignet sich ebenfalls nicht für eine auf ganz $\mathbb R$ definierte Exponentialfunktion.
Für $f(x)=3\cdot 2^x$ ist $a=3$ und $b=2$. Deshalb ist $f(0)=3$. Pro Schritt nach rechts verdoppelt sich der Funktionswert:
$$f(-2)=\frac34,\quad f(-1)=\frac32,\quad f(0)=3,\quad f(1)=6,\quad f(2)=12.$$
Die Quotienten benachbarter Werte sind jeweils $2$. Das ist das Kennzeichen der exponentiellen Veränderung.
Wie Basis und Vorfaktor den Graphen bestimmen
Für die Grundfunktion $f(x)=a\cdot b^x$ ist der Definitionsbereich immer $D=\mathbb R$. Weil $b^x$ stets positiv ist, bestimmt das Vorzeichen von $a$ den Wertebereich:
- Für $a>0$ gilt $W=(0,\infty)$.
- Für $a\lt0$ gilt $W=(-\infty,0)$.
Der Graph schneidet die $x$-Achse nicht. Er nähert sich ihr nur an; die Gerade $y=0$ ist eine waagrechte Asymptote.
Die Monotonie hängt von Basis und Vorzeichen des Vorfaktors ab:
- $a>0$ und $b>1$: streng steigend.
- $a>0$ und $0\lt b\lt1$: streng fallend.
- $a\lt0$ und $b>1$: streng fallend.
- $a\lt0$ und $0\lt b\lt1$: streng steigend.
Bestimme zuerst, ob $b^x$ steigt oder fällt. Ein negativer Vorfaktor spiegelt alle Funktionswerte an der $x$-Achse und kehrt dadurch die Monotonie um.
Untersuche $g(x)=-2\cdot\left(\frac12\right)^x$.
Die Basis $\frac12$ liegt zwischen $0$ und $1$, also ist $\left(\frac12\right)^x$ fallend. Der negative Vorfaktor spiegelt den Graphen: $g$ ist deshalb streng steigend. Es gilt $D=\mathbb R$, $W=(-\infty,0)$ und $g(0)=-2$.
Wie Verschiebungen den Graphen verändern
Eine nützliche erweiterte Form ist
$$f(x)=a\cdot b^{x+c}+d.$$
Du liest die Veränderungen von innen nach außen:
- $x+c$ verschiebt den Graphen waagrecht: bei $c>0$ nach links, bei $c\lt0$ nach rechts.
- $a$ streckt oder staucht die Funktionswerte; bei $a\lt0$ kommt die Spiegelung an der $x$-Achse hinzu.
- $d$ verschiebt den Graphen nach oben oder unten. Die waagrechte Asymptote lautet dann $y=d$.
Der Definitionsbereich bleibt $\mathbb R$. Der Wertebereich liegt bei $a>0$ oberhalb und bei $a\lt0$ unterhalb der Asymptote:
- $a>0$: $W=(d,\infty)$.
- $a\lt0$: $W=(-\infty,d)$.
Betrachte $f(x)=2^{x+3}-4$ und starte bei $2^x$.
- $x+3$ verschiebt den Graphen um $3$ nach links.
- $-4$ verschiebt ihn um $4$ nach unten.
- Die Asymptote ist $y=-4$.
- Der $y$-Achsenabschnitt ist $f(0)=2^3-4=4$.
- Für die Nullstelle gilt $2^{x+3}-4=0$. Also ist $2^{x+3}=4=2^2$ und damit $x=-1$.
Wie du Exponentialgleichungen löst
Bei einer Exponentialgleichung steht die gesuchte Variable im Exponenten. Isoliere zuerst die Potenz. Danach gibt es zwei Wege.
Gleiche Basis herstellen
Löse $5\cdot 2^x=80$.
$$5\cdot 2^x=80$$
Teile durch $5$:
$$2^x=16.$$
Da $16=2^4$ gilt, folgt eindeutig $x=4$. Die Probe ergibt $5\cdot2^4=5\cdot16=80$.
Mit dem Logarithmus lösen
Wenn sich nicht leicht dieselbe Basis herstellen lässt, verwendest du den Logarithmus. Für $a\cdot b^x=y$ gilt die folgende Umformung, sofern $\frac ya>0$ ist:
$$x=\log_b\left(\frac ya\right)=\frac{\ln(y/a)}{\ln(b)}.$$
Wann ist ein Bestand von $500$ bei Verdopplung pro Stunde auf $50\,000$ angewachsen?
$$500\cdot 2^t=50\,000$$
Nach Division durch $500$ bleibt $2^t=100$. Deshalb
$$t=\frac{\ln(100)}{\ln(2)}\approx6{,}644.$$
Der Gleichheitszeitpunkt liegt nach etwa $6$ Stunden und $39$ Minuten. Erst danach ist der Bestand größer als $50\,000$.
Der Logarithmus darf hier nur auf positive Zahlen angewendet werden. Prüfe deshalb nach dem Isolieren, ob die rechte Seite positiv ist. Eine Gleichung wie $2^x=-3$ hat im reellen Zahlenbereich keine Lösung, weil $2^x$ immer positiv ist.
Wie du Wachstum und Zerfall modellierst
In einem Sachmodell steht $a$ für den Anfangswert und $b$ für den Faktor pro Zeitintervall. Aus einer prozentualen Änderung $p$ erhältst du:
- Zunahme um $p$: $b=1+p$.
- Abnahme um $p$: $b=1-p$.
Dabei setzt du den Prozentsatz als Dezimalzahl ein, zum Beispiel $5\,\%=0{,}05$. Das Modell setzt voraus, dass der Faktor in jedem betrachteten Intervall gleich bleibt.
Ein Präparat hat anfangs eine Masse von $25\,\mathrm{g}$ und verliert pro Jahr $5\,\%$ seiner jeweils vorhandenen Masse.
Der Abnahmefaktor ist $b=1-0{,}05=0{,}95$. Mit $t$ in Jahren lautet das Modell
$$m(t)=25\cdot0{,}95^t.$$
Nach neun Jahren gilt
$$m(9)=25\cdot0{,}95^9\approx15{,}76\,\mathrm{g}.$$
Das Ergebnis ist plausibel: Die Masse ist kleiner als $25\,\mathrm{g}$, aber weiterhin positiv.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Exponentialfunktionen
- Grundform $a\cdot b^x$
- $a$ ist Anfangs- oder Streckfaktor
- $b$ ist Faktor pro Schritt
- Graph untersuchen
- Definitionsbereich $\mathbb R$
- Monotonie aus $a$ und $b$
- Asymptote $y=d$
- Veränderungen
- $x+c$ verschiebt waagrecht
- $+d$ verschiebt senkrecht
- Gleichungen lösen
- Potenz isolieren
- Potenzvergleich oder Logarithmus
- Sachmodelle
- Prozent in Faktor umwandeln
- Einheit und konstantes Intervall prüfen
- Grundform $a\cdot b^x$
Abschluss-Check
Du kannst Exponentialfunktionen nun an der variablen Potenz erkennen, ihre Graphen aus den Parametern lesen, Transformationen beschreiben, Gleichungen lösen und konstante prozentuale Änderungen modellieren.