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Die e-Funktion ist eine besondere Exponentialfunktion. Sie taucht bei Wachstum, Zerfall und in der Analysis auf, weil ihre Ableitung wieder sie selbst ist. Nach dieser Seite kannst du Graph, Ableitung und typische Terme einordnen.
- Ich kann $e^x$ als natürliche Exponentialfunktion erklären.
- Ich kann wichtige Eigenschaften des Graphen nennen.
- Ich kann einfache e-Funktionen ableiten.
- Ich kann Parameter in $a\cdot e^{kx}+d$ deuten.
Was ist besonders an \(e^x\)?
Die Zahl e ist eine feste mathematische Zahl, ungefähr 2,718. Die Funktion \(f(x)=e^x\) wächst exponentiell.
e-Funktion
Die natürliche Exponentialfunktion ist \(f(x)=e^x\). Sie ist immer positiv und hat die Ableitung \(f'(x)=e^x\).
\(f(0)=e^0=1\).
\(f(1)=e\approx 2{,}718\).
Der Graph schneidet die y-Achse bei 1 und nähert sich nach links der x-Achse an, ohne sie zu schneiden.
\(e^x\) bleibt beim Ableiten unverändert. Das macht sie in der Analysis so wichtig.
Ableiten mit Faktor und Kettenregel
Bei \(a\cdot e^{kx}\) bleiben äußere Faktoren stehen, und der innere Faktor \(k\) kommt durch die Kettenregel dazu.
\(f(x)=3e^{2x}\).
Äußere Zahl 3 bleibt. Die Ableitung von \(e^{2x}\) ist \(2e^{2x}\).
Also \(f'(x)=6e^{2x}\).
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Zusammenfassung
Die e-Funktion ist die natürliche Exponentialfunktion. Sie ist stets positiv, geht durch \((0|1)\) und bleibt beim Ableiten erhalten. Bei zusammengesetzten Exponenten brauchst du zusätzlich die Kettenregel.