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e-Funktion: Eigenschaften, Ableitung und ln
Die e-Funktion ist die natürliche Exponentialfunktion $f(x)=e^x$. Ihre besondere Eigenschaft lautet: Sie ist ihre eigene Ableitung. Ihr Graph liegt immer über der $x$-Achse, geht durch $(0\mid1)$ und wächst streng.
Auf dieser Seite lernst du die Grundfunktion kennen, rechnest mit e-Potenzen, löst einfache Exponentialgleichungen mit dem natürlichen Logarithmus und leitest verkettete e-Funktionen ab.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Den Grundgraphen erkennen
Die Zahl $e\approx2{,}718$ ist eine feste irrationale Zahl, ähnlich wie $\pi$. Bei $f(x)=e^x$ steht die Variable im Exponenten. Deshalb ist $f$ eine Exponentialfunktion.
Natürliche Exponentialfunktion
Die Funktion $f(x)=e^x$ heißt natürliche Exponentialfunktion oder kurz e-Funktion. Ihr Definitionsbereich ist $\mathbb R$, ihr Wertebereich ist $(0,\infty)$.
Daraus folgen die wichtigsten Merkmale:
- $e^x$ ist für jedes reelle $x$ definiert und immer positiv.
- Wegen $e^0=1$ schneidet der Graph die $y$-Achse bei $(0\mid1)$.
- Die Grundfunktion hat keine Nullstelle.
- Sie ist streng monoton steigend.
- Für $x\to-\infty$ nähert sich $e^x$ der Zahl $0$, erreicht sie aber nie.
- Für $x\to\infty$ wächst $e^x$ unbegrenzt.
Die Gerade $y=0$, also die $x$-Achse, ist eine waagrechte Asymptote: Der Graph kommt ihr beliebig nahe, ohne sie zu schneiden.
„Sehr nahe bei null“ bedeutet nicht „gleich null“. Für jedes reelle $x$ gilt $e^x>0$.
Mit e-Potenzen rechnen
Für e-Potenzen gelten dieselben Potenzregeln wie für andere Potenzen mit gleicher Basis:
$$e^a\cdot e^b=e^{a+b}$$
$$\frac{e^a}{e^b}=e^{a-b}$$
$$(e^a)^b=e^{ab}$$
Außerdem gilt $e^{-a}=\frac1{e^a}$.
Vereinfache $(e^x)^2\cdot e^x$.
Zuerst wird die Potenz einer Potenz umgeformt: $(e^x)^2=e^{2x}$. Danach werden beim Multiplizieren gleicher Basen die Exponenten addiert:
$$(e^x)^2\cdot e^x=e^{2x}\cdot e^x=e^{3x}$$
Die Produktregel für Potenzen gilt nicht für Summen. Der Term $e^x+e^{2x}$ ist deshalb nicht gleich $e^{3x}$. Man kann aber den gemeinsamen Faktor ausklammern:
$$e^x+e^{2x}=e^x(1+e^x)$$
Gleichungen mit dem natürlichen Logarithmus lösen
Der natürliche Logarithmus $\ln$ ist die Umkehrfunktion der e-Funktion. Für jedes reelle $u$ gilt
$$\ln(e^u)=u$$
und für jedes $z>0$ gilt
$$e^{\ln z}=z$$
Der Zusatz $z>0$ ist nötig, weil $\ln z$ im Reellen nur für positive Zahlen definiert ist.
Löse $e^{2x}=5$.
- Der Exponentialterm steht bereits allein.
- Logarithmiere beide Seiten: $\ln(e^{2x})=\ln5$.
- Nutze die Umkehrbeziehung: $2x=\ln5$.
- Teile durch $2$:
$$x=\frac{\ln5}{2}$$
Die Probe bestätigt das Ergebnis: $e^{2\cdot\frac{\ln5}{2}}=e^{\ln5}=5$.
Bei $e^u=0$ gibt es keine reelle Lösung. Logarithmiere dann nicht mit $\ln0$; dieser Ausdruck ist nicht definiert. Die Begründung ist schon vorher sichtbar: Jede e-Potenz ist positiv.
e-Funktionen ableiten und integrieren
Die Sonderrolle von $e$ zeigt sich beim Ableiten:
$$(e^x)'=e^x$$
Funktionswert und Steigung stimmen an jeder Stelle überein. Da $e^x>0$ ist, ist auch die Steigung stets positiv. Das erklärt, warum der Grundgraph überall wächst.
Steht im Exponenten eine Funktion $g(x)$, brauchst du die Kettenregel:
$$(e^{g(x)})'=g'(x)e^{g(x)}$$
Leite $f(x)=e^{3x-2}$ ab.
Der äußere Exponentialterm bleibt erhalten. Die innere Funktion ist $g(x)=3x-2$ mit $g'(x)=3$. Daher gilt:
$$f'(x)=3e^{3x-2}$$
Für Stammfunktionen gilt
$$\int e^x\,dx=e^x+C$$
Bei einem linearen Exponenten $ax+b$ mit $a\ne0$ wird durch die innere Ableitung $a$ geteilt:
$$\int e^{ax+b}\,dx=\frac1a e^{ax+b}+C$$
Eine Stammfunktion von $e^{4x+1}$ ist $F(x)=\frac14e^{4x+1}$. Beim Ableiten entsteht durch die Kettenregel der Faktor $4$; er kürzt sich mit $\frac14$:
$$F'(x)=\frac14\cdot4e^{4x+1}=e^{4x+1}$$
Diese Integrationsregel lässt sich nicht ungeprüft auf nichtlineare Exponenten übertragen. Bei $e^{x^2}$ fehlt beispielsweise der passende konstante innere Faktor.
Verschiebungen und andere Basen verstehen
Eigenschaften der Grundfunktion dürfen nicht blind auf veränderte e-Funktionen übertragen werden. Bei
$$h(x)=e^x+c$$
verschiebt sich der Graph um $c$ Einheiten nach oben oder unten. Die waagrechte Asymptote ist dann $y=c$, und der Wertebereich lautet $(c,\infty)$.
Für $h(x)=e^x-3$ ist $y=-3$ die Asymptote. Eine Nullstelle ist jetzt möglich:
$$e^x-3=0\iff e^x=3\iff x=\ln3$$
Die Aussage „e-Funktionen haben keine Nullstelle“ gilt also nur für die unverschobene Grundfunktion $e^x$.
Auch jede Exponentialfunktion $b^x$ mit $b>0$ lässt sich auf die Basis $e$ umschreiben:
$$b^x=e^{x\ln b}$$
Denn $b=e^{\ln b}$. Diese Darstellung macht die Ableitung verständlich:
$$(b^x)'=\ln(b)\,e^{x\ln b}=b^x\ln(b)$$
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- e-Funktion $e^x$
- Graph: positiv, streng steigend, durch $(0\mid1)$
- Grenzverhalten: links gegen $0$, rechts gegen $\infty$
- Rechnen: Potenzregeln für gleiche Basis
- Umkehrung: Exponentialgleichungen mit $\ln$ lösen
- Analysis: eigene Ableitung und Kettenregel
- Veränderungen: Verschiebung oder andere Basis neu prüfen