Mit Google fortfahren
Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Danach kannst du ihren Graphen deuten, Definitionsbereich und Wertebereich bestimmen und typische Eigenschaften erklären.
- Ich kann $f(x)=\log_b(x)$ als Umkehrfunktion verstehen.
- Ich kann Definitionsbereich und Wertebereich nennen.
- Ich kann den Graphen für Basen größer als 1 beschreiben.
- Ich kann einfache Transformationen erkennen.
Von der Exponentialfunktion zurück
Bei \(2^3=8\) macht die Exponentialfunktion aus der Hochzahl 3 den Wert 8. Die Logarithmusfunktion fragt zurück: Welche Hochzahl gehört zu 8?
Logarithmusfunktion
Eine Logarithmusfunktion hat die Form \(f(x)=\log_b(x)\) mit \(b>0\) und \(b\ne1\). Sie ist die Umkehrfunktion von \(g(x)=b^x\).
Für \(f(x)=\log_2(x)\) gilt: \(f(1)=0\), weil \(2^0=1\). \(f(2)=1\), weil \(2^1=2\). \(f(8)=3\), weil \(2^3=8\).
Logarithmuswerte sind Hochzahlen. Deshalb liegen typische Punkte bei Potenzen der Basis.
Interaktive Quizfrage wird geladen ...
Definitionsbereich und Wertebereich
Der Logarithmus ist nur für positive x-Werte definiert. Der Graph nähert sich der y-Achse, berührt sie aber nicht.
Eigenschaften
Für \(f(x)=\log_b(x)\) gilt: Der Definitionsbereich ist \(x>0\). Der Wertebereich sind alle reellen Zahlen. Die y-Achse ist eine senkrechte Asymptote.
\(f(x)=\ln(x)\) ist nicht für \(x=-1\) oder \(x=0\) definiert. Für \(x=1\) gilt \(f(1)=0\). Der Graph schneidet die x-Achse deshalb bei \((1|0)\).
Interaktiver Lückentext wird geladen ...
Wachstum und Basis
Bei Basen größer als 1 wächst die Logarithmusfunktion langsam. Bei Basen zwischen 0 und 1 fällt sie.
\(f(x)=\log_{10}(x)\). \(f(10)=1\), \(f(100)=2\), \(f(1000)=3\).
Der x-Wert muss sich verzehnfachen, damit der Funktionswert nur um 1 steigt.
Prüfungsmodus
Achte bei verschobenen Funktionen auf den Ausdruck im Logarithmus. Er muss positiv sein.
Bestimme den Definitionsbereich von \(f(x)=\ln(x-3)\).
Der Logarithmus braucht \(x-3>0\). Also gilt \(x>3\). Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x=3\).
Interaktive Quizfrage wird geladen ...
Alles auf einen Blick
Interaktive Mindmap wird geladen ...
Interaktive Lernkarten wird geladen ...
Zusammenfassung
Die Logarithmusfunktion macht Potenzieren rückgängig. Ihr x-Wert muss positiv sein, ihr Graph hat die y-Achse als Asymptote und schneidet die x-Achse bei \((1|0)\). Verschiebungen erkennst du über den Ausdruck im Logarithmus.