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Logarithmusfunktion: Eigenschaften verstehen
Eine Logarithmusfunktion beantwortet für viele positive Zahlen dieselbe Frage: Welcher Exponent erzeugt diese Zahl? Sie ist die Umkehrfunktion einer Exponentialfunktion. Auf dieser Seite lernst du, ihre Werte, ihren Graphen und ihre Bedingungen zu verstehen und Exponentialgleichungen damit zu lösen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Wie wird aus einer Potenz eine Logarithmusfunktion?
Stell dir die Potenzgleichung $a^y=x$ vor. Sind die Basis $a$ und das Ergebnis $x$ bekannt, sucht der Logarithmus den Exponenten $y$:
$$a^y=x \quad\Longleftrightarrow\quad y=\log_a(x)$$
Dabei muss $a>0$ und $a\ne 1$ gelten. Hältst du die Basis fest und lässt $x$ verschiedene positive Werte annehmen, entsteht die Logarithmusfunktion
$$f(x)=\log_a(x).$$
Logarithmusfunktion
Die Funktion $f(x)=\log_a(x)$ ordnet jeder positiven Zahl $x$ genau den Exponenten zu, mit dem du die feste Basis $a$ potenzieren musst, um $x$ zu erhalten.
Für $f(x)=\log_2(x)$ gilt:
- $f(1)=0$, denn $2^0=1$.
- $f(2)=1$, denn $2^1=2$.
- $f(8)=3$, denn $2^3=8$.
- $f\left(\frac12\right)=-1$, denn $2^{-1}=\frac12$.
So erhältst du vier Punkte des Graphen: $(1|0)$, $(2|1)$, $(8|3)$ und $\left(\frac12|-1\right)$.
Welche Zahlen sind als Eingabe erlaubt?
Für reelle Logarithmusfunktionen gelten drei Bedingungen:
- Die Basis ist positiv: $a>0$.
- Die Basis ist nicht $1$: $a\ne 1$.
- Das Argument ist positiv: $x>0$.
Darum ist der Definitionsbereich jeder Funktion $f(x)=\log_a(x)$
$$D=(0,\infty).$$
Jeder reelle Exponent kann als Funktionswert auftreten. Der Wertebereich ist daher
$$W=\mathbb R.$$
Die Nullstelle liegt immer bei $x=1$, weil $a^0=1$ und damit $\log_a(1)=0$ gilt. Einen Schnittpunkt mit der $y$-Achse gibt es nicht: Dort wäre $x=0$, doch $\log_a(0)$ ist nicht definiert.
Prüfe beim Logarithmus immer zuerst: Argument größer als null, Basis größer als null und Basis ungleich eins.
Steht im Argument ein Term, muss der ganze Term positiv sein. Für $g(x)=\ln(x-2)$ folgt zum Beispiel
$$x-2>0 \quad\Longleftrightarrow\quad x>2.$$
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Für $h(x)=\log_5(x+3)$ muss das Argument sein. Deshalb gilt $x+3>0$ und damit $x>$. Die Nullstelle erhältst du aus $x+3=$; sie liegt also bei $x=$.
Woran erkennst du den Graphen?
Alle Logarithmusgraphen verlaufen durch $(1|0)$ und nähern sich für $x\to0^+$ der $y$-Achse, ohne sie zu erreichen. Ob der Graph steigt oder fällt, entscheidet die Basis:
- Für $a>1$ ist $f(x)=\log_a(x)$ streng monoton steigend.
- Für $0\lt a\lt1$ ist $f(x)=\log_a(x)$ streng monoton fallend.
Das passt zu den zugehörigen Potenzen. Bei einer Basis größer als $1$ werden die Potenzwerte mit wachsendem Exponenten größer. Bei einer Basis zwischen $0$ und $1$ werden sie kleiner.
Vergleiche $p(x)=\log_2(x)$ mit $q(x)=\log_{1/2}(x)$:
- Beide haben die Nullstelle $(1|0)$.
- $p(2)=1$, weil $2^1=2$.
- $q(2)=-1$, weil $\left(\frac12\right)^{-1}=2$.
Der Graph von $p$ steigt, der Graph von $q$ fällt.
Warum ist der Logarithmus die Umkehrfunktion?
Eine Exponentialfunktion $E(x)=a^x$ macht aus einem Exponenten einen Potenzwert. Die Logarithmusfunktion $L(x)=\log_a(x)$ kehrt genau diesen Schritt um:
$$\log_a(a^x)=x$$
und für $x>0$
$$a^{\log_a(x)}=x.$$
Deshalb sind die Graphen von $E$ und $L$ Spiegelbilder an der Geraden $y=x$. Beim Spiegeln tauschen sich Eingabe und Ausgabe: Aus dem Punkt $(u|v)$ auf dem Exponentialgraphen wird $(v|u)$ auf dem Logarithmusgraphen.
Auf $E(x)=3^x$ liegt der Punkt $(2|9)$, denn $3^2=9$. Auf der Umkehrfunktion $L(x)=\log_3(x)$ liegt deshalb der gespiegelte Punkt $(9|2)$, denn $\log_3(9)=2$.
Der natürliche Logarithmus $\ln(x)=\log_e(x)$ ist die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion $e^x$. Der dekadische Logarithmus hat die Basis $10$ und wird häufig als $\log(x)$ geschrieben. Achte dabei auf die Schreibweise in deiner Aufgabe oder auf deinem Taschenrechner.
Wie helfen die Logarithmengesetze beim Rechnen?
Für dieselbe zulässige Basis $a$ und positive Argumente $u$ und $v$ gelten:
$$\log_a(uv)=\log_a(u)+\log_a(v)$$
$$\log_a\left(\frac uv\right)=\log_a(u)-\log_a(v)$$
$$\log_a(u^r)=r\cdot\log_a(u).$$
Die Regeln beziehen sich auf Produkte, Quotienten und Potenzen im Argument. Aus einer Summe darfst du keine Summe von Logarithmen machen.
Berechne $\log_2(32)$, indem du $32$ zerlegst:
$$\log_2(32)=\log_2(4\cdot8)$$
$$=\log_2(4)+\log_2(8)=2+3=5.$$
Die Probe $2^5=32$ bestätigt das Ergebnis.
Wie löst du Exponentialgleichungen?
Bei einer Exponentialgleichung steht die Unbekannte im Exponenten. Bringe die Gleichung zuerst in die Form $a^x=b$ und übersetze sie dann:
$$a^x=b \quad\Longrightarrow\quad x=\log_a(b).$$
Für eine numerische Berechnung kannst du die Basis wechseln:
$$\log_a(b)=\frac{\ln(b)}{\ln(a)}.$$
Ein Kapital wächst jedes Jahr mit dem Faktor $1{,}05$. Nach wie vielen Jahren hat es sich im Modell verdoppelt?
- Stelle die Potenzgleichung auf: $1{,}05^t=2$.
- Logarithmiere: $t=\log_{1{,}05}(2)$.
- Wechsle zur Rechnertaste $\ln$: $t=\frac{\ln(2)}{\ln(1{,}05)}\approx14{,}2$.
- Deute das Ergebnis: Im Modell dauert die Verdopplung etwa $14{,}2$ Jahre.
Die Probe mit $1{,}05^{14{,}2}$ ergibt ungefähr $2$; kleine Abweichungen entstehen durch das Runden.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Logarithmusfunktion $f(x)=\log_a(x)$
- Bedeutung: sucht den Exponenten in $a^y=x$
- Bedingungen: $a>0$, $a\ne1$ und $x>0$
- Graph: durch $(1|0)$; je nach Basis steigend oder fallend
- Umkehrung: Spiegelbild der Exponentialfunktion an $y=x$
- Rechenregeln: Produkt, Quotient und Potenz im Argument umformen
- Anwendung: Exponentialgleichungen nach dem Exponenten lösen