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e-Funktion ableiten: Kettenregel einfach erklärt
Die Ableitung von $e^x$ ist wieder $e^x$. Steht im Exponenten ein Ausdruck $u(x)$, multiplizierst du die e-Funktion zusätzlich mit der Ableitung dieses Exponenten: $(e^{u(x)})'=u'(x)e^{u(x)}$.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Warum bleibt die e-Funktion erhalten?
Für die natürliche Exponentialfunktion gilt die Grundregel
$$f(x)=e^x \quad\Rightarrow\quad f'(x)=e^x.$$
Die Ableitungsfunktion ist also dieselbe Funktion wie die Ausgangsfunktion. Das bedeutet genauer: An jeder Stelle $x$ ist der Ableitungswert $f'(x)$ gleich dem Funktionswert $f(x)$.
Für $f(x)=4e^x$ bleibt der konstante Faktor $4$ beim Ableiten erhalten:
$$f'(x)=4e^x.$$
Steht im Exponenten nur $x$, bleibt $e^x$ beim Ableiten unverändert.
Wie funktioniert die Kettenregel?
Bei $e^{u(x)}$ ist der vollständige Exponent $u(x)$ die innere Funktion. Die e-Funktion ist die äußere Funktion.
Kettenregel
Bei einer verketteten Funktion leitest du die äußere Funktion ab, setzt die innere Funktion wieder ein und multiplizierst mit der inneren Ableitung.
Für die e-Funktion ergibt sich:
$$(e^{u(x)})'=u'(x)e^{u(x)}.$$
Gehe in vier Schritten vor:
- Markiere den vollständigen Exponenten $u(x)$.
- Berechne seine Ableitung $u'(x)$.
- Übernimm $e^{u(x)}$ unverändert.
- Multipliziere $e^{u(x)}$ mit $u'(x)$.
Vollständiges Beispiel
Gegeben ist
$$f(x)=e^{x^2+x}.$$
Der vollständige Exponent lautet
$$u(x)=x^2+x.$$
Mit der Potenz- und Summenregel folgt
$$u'(x)=2x+1.$$
Nun setzt du die innere Ableitung als Faktor ein:
$$f'(x)=(2x+1)e^{x^2+x}.$$
Der Exponent bleibt dabei vollständig erhalten.
Der häufigste Fehler ist ein fehlender Faktor $u'(x)$. Kontrolliere deshalb nach jeder Rechnung: Habe ich den gesamten Exponenten abgeleitet?
Wann brauche ich weitere Ableitungsregeln?
Prüfe zuerst die äußere Struktur des Terms:
- Bei einer Summe leitest du die Summanden einzeln ab.
- Bei einem konstanten Faktor bleibt der Faktor erhalten.
- Bei einem Produkt zweier $x$-abhängiger Faktoren verwendest du die Produktregel.
- Enthält ein e-Faktor einen nicht einfachen Exponenten, brauchst du innerhalb der Rechnung zusätzlich die Kettenregel.
Für die Summe
$$f(x)=e^{3x}+e^x$$
gilt
$$f'(x)=3e^{3x}+e^x.$$
Beim ersten Summanden liefert die Kettenregel den Faktor $3$. Der zweite Summand bleibt beim Ableiten unverändert.
Gegeben ist das Produkt
$$f(x)=3x^2e^{-x}.$$
Setze $p(x)=3x^2$ und $q(x)=e^{-x}$. Dann gilt
$$p'(x)=6x$$
und wegen der Kettenregel
$$q'(x)=-e^{-x}.$$
Die Produktregel $(pq)'=p'q+pq'$ ergibt
$$f'(x)=6xe^{-x}-3x^2e^{-x}.$$
Das Minuszeichen stammt aus der Ableitung des Exponenten $-x$.
Typische Fehler entstehen, wenn du nur einen Teil des Exponenten ableitest, den Kettenregelfaktor vergisst oder ein Minuszeichen übersiehst. Entscheide deshalb zuerst über die Termstruktur und rechne erst danach.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- e-Funktion ableiten
- Grundregel
- $(e^x)'=e^x$
- Konstante Faktoren bleiben erhalten
- Kettenregel
- vollständigen Exponenten $u(x)$ bestimmen
- mit $u'(x)$ multiplizieren
- Weitere Verknüpfungen
- Summanden einzeln ableiten
- bei Produkten Produkt- und Kettenregel kombinieren
- Kontrolle
- Exponent vollständig übernommen
- Faktor und Vorzeichen geprüft
- Grundregel