Exponentielle Abnahme verstehen und modellieren

Stell dir einen Stoff vor, von dem täglich $20\,\%$ der jeweils vorhandenen Menge verschwinden. Nach jedem Tag bleiben $80\,\%=0{,}8$ übrig. Nicht immer dieselbe Menge, sondern immer derselbe Anteil geht verloren.

Die rekursive Beschreibung berechnet jeden neuen Wert aus dem vorherigen:

$$B(t+1)=B(t)\cdot q$$

In einer Wertetabelle erkennst du das Modell am konstanten Quotienten:

$$\frac{B(t+1)}{B(t)}=q$$

Für die Werte $200$, $160$, $128$ und $102{,}4$ ist jeder Quotient $0{,}8$. Die Differenzen $-40$, $-32$ und $-25{,}6$ sind dagegen nicht gleich. Das ist exponentielle, nicht lineare Abnahme.

Mit dem Anfangsbestand $B_0=B(0)$ und dem Faktor $q$ kannst du jeden späteren Wert direkt berechnen:

$$B(t)=B_0\cdot q^t,\qquad 0 \lt q \lt 1$$

Bei einer Abnahme um $p\,\%$ pro Zeitschritt gilt:

$$q=1-\frac{p}{100}$$

Die Einheit von $t$ muss zum Faktor passen. Bedeutet $q=0{,}88$ „pro Tag“, dann misst du $t$ in Tagen. Im schrittweisen Modell sind zunächst $t=0,1,2,\ldots$ sinnvoll.

Ein häufiger Fehler lautet $80\cdot0{,}12^t$. Damit würdest du so rechnen, als blieben täglich nur $12\,\%$ übrig. „Abnahme um $12\,\%$“ bedeutet aber „Abnahme auf $88\,\%$“.

Die Halbwertszeit $T_{1/2}$ ist die Zeitspanne, nach der nur noch die Hälfte eines Bestands vorhanden ist. Sie ist bei einem idealen Exponentialmodell immer gleich lang: erst von $100\,\%$ auf $50\,\%$, dann von $50\,\%$ auf $25\,\%$.

Für das diskrete Modell löst du

$$q^{T_{1/2}}=\frac12$$

und erhältst

$$T_{1/2}=\frac{\ln(1/2)}{\ln(q)}.$$

Da bei $0 \lt q \lt 1$ sowohl $\ln(q)$ als auch $\ln(1/2)$ negativ sind, ist die Halbwertszeit positiv. Für $q=0{,}8$ pro Tag gilt $T_{1/2}\approx3{,}11$ Tage.

In einem kontinuierlichen Modell schreibt man häufig

$$B(t)=B_0\cdot e^{kt},\qquad k\lt0.$$

Die Formen mit $q$ und mit $e$ sind gleichwertig, wenn ein Zeitschritt dieselbe Einheit hat:

$$q=e^k\qquad\text{und}\qquad k=\ln(q).$$

Dann gilt auch

$$T_{1/2}=\frac{\ln(1/2)}{k}.$$

Der Parameter $k$ hat die Einheit „pro Zeiteinheit“. Das Vorzeichen $k\lt0$ kennzeichnet die Abnahme.

Kennst du zwei Werte $B(t_1)$ und $B(t_2)$, dann liegen zwischen ihnen $\Delta t=t_2-t_1$ gleich große Zeitschritte. Aus

$$\frac{B(t_2)}{B(t_1)}=q^{\Delta t}$$

folgt

$$q=\left(\frac{B(t_2)}{B(t_1)}\right)^{1/\Delta t}.$$

Für die kontinuierliche Form erhältst du direkt

$$k=\frac{\ln\!\left(B(t_2)/B(t_1)\right)}{t_2-t_1}.$$

Die Rechnung bestimmt ein Modell, beweist aber noch nicht, dass der reale Prozess wirklich exponentiell verläuft. Zwei Messpunkte passen zu vielen Kurven. Weitere Daten müssen das Muster bestätigen.

Ein mathematisches Modell ist eine begründete Vereinfachung. Prüfe deshalb nicht nur die Rechnung, sondern auch die Voraussetzungen.

1. Gleich große Zeitabstände: Nur dann darfst du benachbarte Quotienten direkt vergleichen.
2. Konstanter relativer Rückgang: Die Quotienten müssen gleich oder bei Messdaten ungefähr gleich sein.
3. Passender Definitionsbereich: Bei einem Prozess ab dem Startzeitpunkt gilt meist $t\ge0$. Ein schrittweises Modell nutzt ganze Zeitschritte; ein kontinuierliches Modell erlaubt reelle Zeiten.
4. Sinnvolle Werte: Bei $B_0>0$ bleibt $B(t)>0$. Das reine Modell nähert sich für große $t$ der Null, erreicht sie aber nicht.
5. Sachliche Grenzen: Faktoren können sich ändern, Messwerte können streuen und eine Größe kann sich statt der Null einem anderen Endwert nähern.

Kühlt etwa ein Getränk in einem Raum ab, nähert sich seine Temperatur gewöhnlich der Raumtemperatur und nicht $0\,^{\circ}\mathrm C$. Dann muss die Temperaturdifferenz zur Umgebung modelliert werden, nicht einfach die absolute Temperatur mit $B_0q^t$.