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Manche Dinge werden nicht jedes Mal um denselben Betrag kleiner, sondern um denselben Anteil: ein Medikament im Körper, der Wert eines Geräts oder radioaktiver Zerfall.
Hier lernst du, was exponentielle Abnahme bedeutet, wie du den Abnahmefaktor bildest und wie du passende Aufgaben löst.
- Ich kann exponentielle Abnahme von linearer Abnahme unterscheiden.
- Ich kann den Abnahmefaktor aus einem Prozentsatz berechnen.
- Ich kann die Formel $N(t)=N_0\cdot q^t$ anwenden.
- Ich kann Halbwertszeit als besonderen Abnahmefall verstehen.
- Ich kann Textaufgaben in eine Rechnung übersetzen.
Was bedeutet exponentielle Abnahme?
Bei exponentieller Abnahme wird in jedem Zeitraum mit demselben Faktor multipliziert. Es wird also immer derselbe Anteil entfernt, nicht derselbe Betrag.
Exponentielle Abnahme
Eine exponentielle Abnahme liegt vor, wenn ein Anfangswert wiederholt mit einem festen Faktor \(q\) multipliziert wird, wobei \(0<q<1\) gilt.
Ein Stoff verliert jedes Jahr \(20\,\%\) seiner Menge.
Dann bleiben jedes Jahr \(80\,\%\) übrig.
Der Faktor ist \(q=0{,}8\).
Exponentiell heißt: gleicher Faktor pro Schritt. Linear heißt: gleicher Betrag pro Schritt.
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Abnahmefaktor berechnen
Wenn etwas um \(p\,\%\) abnimmt, bleibt \(100\,\%-p\,\%\) übrig.
Abnahmefaktor
Der Abnahmefaktor ist \(q=1-\frac p{100}\). Er beschreibt den Anteil, der nach einem Zeitraum übrig bleibt.
Eine Menge nimmt pro Stunde um \(15\,\%\) ab.
\(q=1-\frac{15}{100}=0{,}85\).
Nach jeder Stunde bleiben \(85\,\%\) der vorherigen Menge übrig.
Bei \(60\,\%\) Abnahme bleibt \(40\,\%\) übrig.
Der Faktor ist \(q=0{,}4\).
Bei Abnahme ist der Faktor kleiner als \(1\) und größer als \(0\).
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Die Abnahmeformel
Die allgemeine Formel sieht ähnlich aus wie bei Wachstum, nur ist der Faktor kleiner als \(1\).
Abnahmeformel
Bei Anfangswert \(N_0\), Faktor \(q\) und Zeit \(t\) gilt:
Ein Medikament startet mit \(1000\,\text{mg}\). Pro Stunde bleiben \(80\,\%\) übrig. Wie viel ist nach \(3\) Stunden da?
\(N_0=1000\), \(q=0{,}8\), \(t=3\).
\(N(3)=1000\cdot0{,}8^3\)
\(N(3)=1000\cdot0{,}512=512\).
Es sind \(512\,\text{mg}\) übrig.
Die Hochzahl zählt die Anzahl der gleichen Abnahmeschritte.
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Halbwertszeit
Die Halbwertszeit ist die Zeit, nach der nur noch die Hälfte übrig ist.
Halbwertszeit
Die Halbwertszeit ist die Zeitspanne, in der ein Bestand auf die Hälfte seines vorherigen Werts sinkt.
Eine Substanz hat eine Halbwertszeit von \(6\) Stunden. Am Anfang sind \(80\,\text{g}\) vorhanden.
Nach \(6\) Stunden: \(40\,\text{g}\).
Nach \(12\) Stunden: \(20\,\text{g}\).
Nach \(18\) Stunden: \(10\,\text{g}\).
Bei jeder Halbwertszeit wird mit \(\frac12\) multipliziert. Auch wenn die absolute Menge kleiner wird, bleibt der Anteil gleich.
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Prüfungsmodus: Linear oder exponentiell?
Der wichtigste Entscheidungspunkt ist: gleicher Betrag oder gleicher Prozentsatz?
"Der Wert sinkt jedes Jahr um \(200\,€\)." Das ist linear.
"Der Wert sinkt jedes Jahr um \(20\,\%\)." Das ist exponentiell.
Ein Gerät kostet \(1000\,€\) und verliert jährlich \(15\,\%\) seines Werts.
\(q=0{,}85\)
Nach \(4\) Jahren:
\(1000\cdot0{,}85^4\approx522{,}01\)
Prozent pro Zeitraum ist ein starker Hinweis auf exponentielle Abnahme.
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Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Exponentielle Abnahme bedeutet, dass ein Wert in gleichen Schritten mit einem festen Faktor kleiner als \(1\) multipliziert wird. Der Faktor ist \(q=1-\frac p{100}\).
Die Formel lautet \(N(t)=N_0\cdot q^t\). Entscheidend ist, ob in der Aufgabe ein gleicher Prozentsatz oder ein gleicher Betrag genannt wird.