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Radioaktiver Zerfall: Formel und Halbwertszeit
Beim radioaktiven Zerfall nimmt der Bestand vieler noch nicht zerfallener Kerne exponentiell ab. Mit dem Zerfallsgesetz kannst du den verbleibenden Bestand, die Halbwertszeit oder einen gesuchten Zeitpunkt berechnen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Warum ist zufälliger Zerfall trotzdem berechenbar?
Der Zerfallszeitpunkt eines einzelnen instabilen Atomkerns lässt sich nicht vorhersagen. Bei sehr vielen Kernen zeigt sich dennoch ein regelmäßiger Verlauf: In gleich langen Zeitabschnitten zerfällt im Mittel derselbe Anteil der jeweils noch vorhandenen Kerne.
Deshalb wird der Bestand nicht in gleichen Schritten kleiner. Stattdessen wird er in gleichen Zeitabschnitten immer mit demselben Faktor zwischen 0 und 1 multipliziert.
Bleiben nach jedem Zeitabschnitt 80 % des vorherigen Bestands übrig, lauten die ersten Werte bei einem Anfangsbestand von 1 000 Kernen:
- Anfang: 1 000
- nach einem Zeitabschnitt: $1\,000\cdot 0{,}8=800$
- nach zwei Zeitabschnitten: $800\cdot 0{,}8=640$
- nach drei Zeitabschnitten: $640\cdot 0{,}8=512$
Die absolute Abnahme wird kleiner, der Faktor $0{,}8$ bleibt jedoch gleich.
Das Zerfallsgesetz beschreibt den Bestand
Zerfallsgesetz
Das Zerfallsgesetz gibt den erwarteten Bestand der noch nicht zerfallenen Kerne zum Zeitpunkt $t$ an:
$$N(t)=N_0e^{-\lambda t}$$
Dabei ist $N_0$ der Anfangsbestand, $N(t)$ der Bestand zur Zeit $t$ und $\lambda$ die positive Zerfallskonstante.
Das Minuszeichen sorgt für die Abnahme. Da $\lambda>0$ und $t\geq 0$ gelten, liegt der Faktor $e^{-\lambda t}$ höchstens bei 1 und wird mit wachsender Zeit kleiner.
Die Einheit von $\lambda$ muss zur Zeiteinheit von $t$ passen. Wird $t$ in Sekunden gemessen, hat $\lambda$ die Einheit $\mathrm{s^{-1}}$. Das Produkt $\lambda t$ ist dadurch einheitenlos.
Die zugehörige Änderungsrate lautet
$$\frac{dN}{dt}=-\lambda N.$$
Das bedeutet: Je mehr Kerne noch vorhanden sind, desto stärker ist die erwartete momentane Abnahme.
Gleiche Zeitspannen führen bei exponentiellem Zerfall zum gleichen Faktor. Eine konstante Differenz würde dagegen zu einem linearen Modell gehören.
Die Halbwertszeit macht den Zerfall anschaulich
Halbwertszeit
Die Halbwertszeit $T_{1/2}$ ist die Zeitspanne, nach der noch die Hälfte des zuvor vorhandenen Bestands übrig ist.
Nach jeder weiteren Halbwertszeit halbiert sich der aktuelle Bestand erneut:
- nach $T_{1/2}$: $\frac12N_0=50\,\%$,
- nach $2T_{1/2}$: $\frac14N_0=25\,\%$,
- nach $3T_{1/2}$: $\frac18N_0=12{,}5\,\%$.
Die Halbwertszeitform des Zerfallsgesetzes lautet
$$N(t)=N_0\left(\frac12\right)^{t/T_{1/2}}.$$
Sie ist gleichwertig zur Form mit der Zerfallskonstante. Zwischen beiden Größen gilt
$$\lambda=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}$$
und damit
$$T_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda}.$$
Warum gilt diese Beziehung? Nach einer Halbwertszeit muss $N(T_{1/2})=\frac12N_0$ sein. Einsetzen in das Zerfallsgesetz ergibt
$$\frac12N_0=N_0e^{-\lambda T_{1/2}}.$$
Nach dem Teilen durch $N_0$ und dem Logarithmieren folgt
$$\ln\left(\frac12\right)=-\lambda T_{1/2}.$$
Weil $\ln(1/2)=-\ln 2$ gilt, erhältst du
$$\lambda=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}.$$
So löst du eine Zerfallsaufgabe mit Logarithmen
Ein Präparat besitzt anfangs eine Masse von $15\,\mathrm{mg}$. Nach jeweils sieben Tagen bleibt ein Fünftel der zuvor vorhandenen Masse.
Schritt 1: Das Modell aufstellen
Der Faktor pro sieben Tage ist $1/5$. Deshalb gilt
$$M(t)=15\,\mathrm{mg}\cdot\left(\frac15\right)^{t/(7\,\mathrm{d})}.$$
Der Quotient $t/(7\,\mathrm{d})$ zählt, wie viele Sieben-Tage-Abschnitte vergangen sind.
Schritt 2: Den Zeitpunkt für 1 mg bestimmen
Setze $M(t)=1\,\mathrm{mg}$:
$$1=15\left(\frac15\right)^{t/7}.$$
Teile durch 15 und logarithmiere:
$$\ln\left(\frac1{15}\right)=\frac{t}{7}\ln\left(\frac15\right).$$
Nun nach $t$ auflösen:
$$t=7\cdot\frac{\ln(1/15)}{\ln(1/5)}\approx 11{,}8\,\mathrm{d}.$$
Nach etwa 11,8 Tagen sind noch $1\,\mathrm{mg}$ vorhanden; danach ist es weniger.
Schritt 3: Die Halbwertszeit bestimmen
Für die Halbwertszeit setzt du den verbleibenden Anteil gleich $1/2$:
$$\frac12=\left(\frac15\right)^{T_{1/2}/7}.$$
Daraus folgt
$$T_{1/2}=7\cdot\frac{\ln(1/2)}{\ln(1/5)}\approx 3{,}0\,\mathrm{d}.$$
Das Ergebnis ist plausibel: Nach sieben Tagen bleibt nur ein Fünftel übrig. Die Hälfte muss daher schon deutlich früher erreicht sein.
Wie erkennst du exponentiellen Zerfall in Messdaten?
Bei Messwerten prüfst du die Quotienten aufeinanderfolgender Bestände:
$$q_i=\frac{N(t_{i+1})}{N(t_i)}.$$
Sind die Zeitabstände gleich und die Quotienten ungefähr konstant, passt ein exponentielles Modell. Kleine Abweichungen können durch Messunsicherheit und zufällige Schwankungen entstehen.
Für einen konstanten Zeitabstand $\Delta t$ und einen Zerfallsfaktor $q$ kannst du schreiben:
$$N(t)=N_0\cdot q^{t/\Delta t}.$$
Die Halbwertszeit folgt aus
$$T_{1/2}=\Delta t\cdot\frac{\ln(1/2)}{\ln q}.$$
Eine Messreihe beginnt mit 75 Einheiten und liefert nach einer Minute 71,6 Einheiten. Der erste Quotient ist
$$q_0=\frac{71{,}6}{75}\approx 0{,}955.$$
Für die nächsten beiden Werte 68,4 und 65,3 erhältst du ebenfalls Quotienten nahe 0,955. Das stützt ein exponentielles Modell mit einem Zerfallsfaktor von ungefähr 0,955 pro Minute.
Ein einzelner Quotient reicht nicht. Erst mehrere ungefähr gleiche Quotienten machen die Modellwahl überzeugend.
Ein Modell ist keine exakte Vorhersage jedes einzelnen Kerns. Bei wenigen Kernen können die tatsächlichen Bestände sichtbar um den erwarteten Verlauf schwanken. Bei sehr vielen Kernen fallen diese relativen Schwankungen meist deutlich weniger auf.
Was sagt die Aktivität aus?
Aktivität
Die Aktivität $A$ gibt an, wie viele Zerfälle pro Sekunde stattfinden. Ihre Einheit ist Becquerel; $1\,\mathrm{Bq}=1\,\mathrm{s^{-1}}$.
Da der Bestand abnimmt, ist $dN/dt$ negativ. Die Aktivität wird deshalb als positive Gegenzahl definiert:
$$A=-\frac{dN}{dt}=\lambda N.$$
Mit $A_0=\lambda N_0$ folgt das Aktivitätsgesetz
$$A(t)=A_0e^{-\lambda t}.$$
Bestand und Aktivität haben somit für dasselbe Nuklid dieselbe Halbwertszeit. Sie sind aber nicht dieselbe Größe: $N$ zählt noch vorhandene Kerne, $A$ beschreibt Zerfälle pro Sekunde.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Radioaktiver Zerfall
- Zufälliger Einzelzerfall
- Erwartbarer Verlauf vieler Kerne
- Exponentielles Modell
- $N(t)=N_0e^{-\lambda t}$
- Konstante Quotienten bei gleichen Zeitabständen
- Halbwertszeit
- Bestand halbiert sich wiederholt
- $T_{1/2}=\ln(2)/\lambda$
- Aktivität
- Zerfälle pro Sekunde
- $A(t)=A_0e^{-\lambda t}$
- Zufälliger Einzelzerfall
Abschluss-Check
Du kannst nun das passende Zerfallsmodell aufstellen, seine Parameter deuten, gesuchte Zeiten mit Logarithmen bestimmen und beurteilen, ob Messdaten zu einer exponentiellen Abnahme passen.