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Halbwertszeit berechnen: Formeln und Beispiele
Die Halbwertszeit ist die feste Zeitspanne, nach der bei einer exponentiellen Abnahme nur noch die Hälfte eines Bestands vorhanden ist. Du kannst sie durch wiederholtes Halbieren ablesen oder mit Logarithmen aus dem Abnahmefaktor berechnen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Die Halbwertszeit sicher erkennen
Eine Halbwertszeit gehört zu einer exponentiellen Abnahme: In gleich langen Zeitabschnitten wird der vorhandene Bestand immer mit demselben Faktor multipliziert. Die absolute Abnahme wird dabei kleiner, weil der jeweils neue Bestand die Grundlage für den nächsten Schritt ist.
Halbwertszeit
Die Halbwertszeit $T_H$ ist die Zeitspanne, nach der ein exponentiell abnehmender Bestand $B(t)$ die Hälfte seines Anfangswerts erreicht:
$$B(T_H)=0{,}5\cdot B(0)$$
Nach jeder weiteren Halbwertszeit halbiert sich der dann noch vorhandene Bestand erneut. Aus $100\,\%$ werden also $50\,\%$, dann $25\,\%$ und danach $12{,}5\,\%$.
Die Halbwertszeit sagt nicht, wann der ganze Bestand verschwunden ist. Sie beschreibt eine wiederkehrende Halbierung.
Mit mehreren Halbwertszeiten rechnen
Ist $T_H$ bekannt, kannst du den Bestand direkt modellieren:
$$B(t)=B(0)\cdot\left(\frac12\right)^{t/T_H}$$
Der Exponent $t/T_H$ zählt, wie viele Halbwertszeiten vergangen sind. Nach drei Halbwertszeiten ist der Faktor deshalb $(\frac12)^3=\frac18$.
Für Jod-131 gelten $T_H=8{,}02$ Tage und ein Anfangsbestand von $20\,\mathrm{mg}$. Nach $16{,}04$ Tagen sind genau zwei Halbwertszeiten vergangen:
$$\frac{16{,}04}{8{,}02}=2$$
$$B(16{,}04)=20\,\mathrm{mg}\cdot\left(\frac12\right)^2=5\,\mathrm{mg}$$
Kontrolle: $20\,\mathrm{mg}\to10\,\mathrm{mg}\to5\,\mathrm{mg}$. Das Ergebnis passt zu zwei Halbierungen.
Aus einer Abnahmerate die Halbwertszeit bestimmen
Sinkt ein Bestand pro Zeiteinheit um $p\,\%$, lautet der Abnahmefaktor
$$q=1-\frac{p}{100}$$
und das Modell lautet $B(t)=B(0)\cdot q^t$. Für eine exponentielle Abnahme liegt $q$ zwischen $0$ und $1$.
Zum Bestimmen der Halbwertszeit setzt du den Bestand gleich der Hälfte des Anfangswerts:
$$B(0)\cdot q^{T_H}=0{,}5\cdot B(0)$$
Der Anfangsbestand kürzt sich. Deshalb hängt $T_H$ nur vom Faktor $q$ ab:
$$q^{T_H}=0{,}5$$
Logarithmieren löst den Exponenten:
$$T_H=\frac{\ln(0{,}5)}{\ln(q)}$$
Eine Caesium-Menge nimmt im Modell jährlich um $2{,}284\,\%$ ab. Zuerst bestimmst du den Jahresfaktor:
$$q=1-\frac{2{,}284}{100}=0{,}97716$$
Dann setzt du ihn in die Halbwertszeitformel ein:
$$T_H=\frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}97716)}\approx30$$
Die Einheit kommt von der Rate: Nach ungefähr $30$ Jahren ist die Hälfte des Anfangsbestands vorhanden. Beide Logarithmen sind negativ; ihr Quotient ist daher positiv.
Das kontinuierliche Zerfallsmodell nutzen
Manche Zerfallsprozesse werden mit der Exponentialfunktion zur Basis $e$ beschrieben:
$$B(t)=B(0)e^{-\lambda t}$$
Die positive Zahl $\lambda$ heißt Zerfallskonstante. Das Minuszeichen sorgt dafür, dass der Bestand abnimmt. Für die Halbwertszeit gilt
$$T_H=\frac{\ln 2}{\lambda}$$
Das ist dieselbe Halbierungsbedingung in einer anderen Schreibweise.
Für die Funktion $f(t)=18e^{-0{,}065t}$ mit $t$ in Minuten gilt:
$$18e^{-0{,}065T_H}=0{,}5\cdot18$$
Nach dem Kürzen und Logarithmieren folgt:
$$-0{,}065T_H=\ln(0{,}5)$$
$$T_H=\frac{\ln(0{,}5)}{-0{,}065}\approx10{,}66$$
Die Messgröße halbiert sich ungefähr alle $10{,}7$ Minuten.
Modell und Sprache richtig prüfen
Die Halbwertszeitformeln setzen voraus, dass der relative Abnahmefaktor beziehungsweise die Zerfallskonstante konstant bleibt. Bei einer linearen Abnahme mit stets demselben absoluten Verlust gibt es keine wiederkehrende, bestandsunabhängige Halbwertszeit.
Prüfe bei Sachaufgaben außerdem die unabhängige Größe. Hängt eine exponentielle Abnahme von der Höhe statt von der Zeit ab, kannst du dieselbe Halbierungsgleichung verwenden. Das Ergebnis ist dann aber eine Höhendifferenz und keine Zeitspanne.
Beim Luftdruckmodell mit ungefähr $13\,\%$ Abnahme pro Kilometer ist $q=0{,}87$. Die Gleichung $0{,}87^h=0{,}5$ sucht die Höhendifferenz $h$ in Kilometern, nach der sich der modellierte Luftdruck halbiert. Der Rechenweg ist mathematisch derselbe, doch das Wort Halbwertszeit wäre hier unpassend.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Halbwertszeit
- Bedeutung: wiederkehrende Halbierung
- Bedingung: $B(T_H)=0{,}5B(0)$
- Faktor-Modell: $B(0)q^t$
- Rate: $q=1-\frac{p}{100}$
- Formel: $T_H=\frac{\ln(0{,}5)}{\ln q}$
- kontinuierliches Modell: $B(0)e^{-\lambda t}$
- Formel: $T_H=\frac{\ln2}{\lambda}$
- Prüfung: Einheit und Modellannahme beachten