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Manche Größen wachsen nicht jedes Mal um denselben Betrag, sondern um denselben Faktor. Dann spricht man von exponentiellem Wachstum, zum Beispiel bei Zinsen, Bakterien oder Klickzahlen.
- Ich kann exponentielles Wachstum von linearem Wachstum unterscheiden.
- Ich kann Startwert und Wachstumsfaktor erkennen.
- Ich kann Werte mit der Wachstumsformel berechnen.
- Ich kann Verdopplung und prozentuales Wachstum deuten.
Faktor statt gleicher Schritt
Bei linearem Wachstum kommt immer derselbe Betrag dazu. Bei exponentiellem Wachstum wird immer mit demselben Faktor multipliziert.
Exponentielles Wachstum
Exponentielles Wachstum liegt vor, wenn eine Größe nach jedem Schritt mit demselben Faktor \(q\) multipliziert wird. Eine typische Formel ist \(f(n)=a\cdot q^n\).
Eine Bakterienkultur startet mit 100 Bakterien und verdoppelt sich jede Stunde.
- Startwert: \(a=100\)
- Wachstumsfaktor: \(q=2\)
- Nach 3 Stunden: \(f(3)=100\cdot2^3=800\)
„Immer plus gleich viel“ ist linear. „Immer mal derselbe Faktor“ ist exponentiell.
Prozent in Faktor umwandeln
Ein Wachstum von 20 Prozent bedeutet nicht Faktor 20, sondern Faktor 1,2. Du behältst den alten Bestand und addierst 20 Prozent dazu.
Wachstumsfaktor
Der Wachstumsfaktor bei \(p\%\) Wachstum ist \(q=1+\frac p{100}\). Bei Abnahme wäre es \(q=1-\frac p{100}\).
Ein Wert startet bei 500 und wächst jährlich um 8 Prozent.
- Faktor: \(q=1+\frac8{100}=1{,}08\).
- Nach 2 Jahren: \(500\cdot1{,}08^2=583{,}2\).
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Prüfungsmodus
Achte auf Signalwörter: „verdoppelt sich“, „nimmt jedes Jahr um 3 Prozent zu“ oder „wächst um den Faktor 1,4“ sind exponentielle Hinweise.
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
Exponentielles Wachstum bedeutet: Eine Größe wird in jedem Schritt mit demselben Faktor multipliziert. In \(f(n)=a\cdot q^n\) ist \(a\) der Startwert und \(q\) der Wachstumsfaktor. Prozentangaben wandelst du zuerst in einen Faktor um.