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Exponentielles Wachstum: Faktor, Formel und Zeit
Exponentielles Wachstum liegt vor, wenn ein Bestand in gleich langen Zeitabschnitten immer mit demselben Faktor größer wird. Deshalb bleibt nicht der Zuwachs, sondern der Quotient aufeinanderfolgender Werte konstant.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du exponentielles Wachstum?
Vergleiche zwei Sparpläne. Beide beginnen mit $100\,€$:
- Plan L erhält jedes Jahr $20\,€$ dazu: $100, 120, 140, 160, \ldots$
- Plan E wächst jedes Jahr um $20\,\%$: $100, 120, 144, 172{,}80, \ldots$
Bei Plan L ist die Differenz stets $20\,€$. Das ist lineares Wachstum. Bei Plan E ist der Quotient stets $1{,}2$. Das ist exponentielles Wachstum.
| Schritt $n$ | Plan L in € | Differenz | Plan E in € | Quotient |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 100 | – | 100 | – |
| 1 | 120 | 20 | 120 | 1,2 |
| 2 | 140 | 20 | 144 | 1,2 |
| 3 | 160 | 20 | 172,80 | 1,2 |
Wachstumsfaktor
Der Wachstumsfaktor $q$ gibt an, mit welcher Zahl der Bestand pro gleich langem Zeitabschnitt multipliziert wird. Bei exponentiellem Wachstum gilt $q>1$.
Gleiche Differenz bedeutet linear. Gleicher Quotient bedeutet exponentiell. Prüfe nur Quotienten, wenn die verglichenen Ausgangswerte nicht null sind.
Wie entsteht die Wachstumsformel?
Sei $B_0$ der Anfangsbestand und $q$ der Faktor pro Zeitabschnitt. Nach einem Schritt gilt $B_1=B_0q$, nach zwei Schritten $B_2=B_0q^2$. Nach $n$ Schritten lautet das diskrete Modell:
$$B_n=B_0\cdot q^n$$
Dabei ist $n=0,1,2,\ldots$ die Anzahl der vollständig vergangenen Zeitabschnitte. Der Exponent zählt also die Multiplikationen. Es gilt $B_0>0$ und für Wachstum $q>1$.
Eine Zunahme um $p\,\%$ bedeutet: Zum ganzen Bestand kommt der Anteil $p/100$ hinzu. Daher gilt
$$q=1+\frac{p}{100}.$$
Umgekehrt erhältst du die prozentuale Wachstumsrate aus dem Faktor:
$$p=(q-1)\cdot100\,\%.$$
Ein Guthaben von $800\,€$ wächst jährlich um $3\,\%$.
- Anfangswert: $B_0=800\,€$.
- Jahresfaktor: $q=1+3/100=1{,}03$.
- Modell: $B_n=800\,€\cdot1{,}03^n$.
- Nach fünf Jahren: $B_5=800\,€\cdot1{,}03^5\approx927{,}42\,€$.
Die Einheit bleibt Euro. Der Exponent $5$ ist einheitenlos und zählt fünf Jahre, weil der Faktor für ein Jahr gilt.
Wie berechnest du Bestand und unbekannte Größen?
Wenn $B_0$, $q$ und $n$ bekannt sind, setzt du direkt in $B_n=B_0q^n$ ein. Fehlt ein anderer Parameter, stellst du die Gleichung um:
$$B_0=\frac{B_n}{q^n}$$
$$q=\sqrt[n]{\frac{B_n}{B_0}}\quad\text{für }n>0$$
Eine Tierpopulation wächst in fünf Jahren von 850 auf 1000 Tiere. Unter der Annahme eines konstanten jährlichen Faktors gilt
$$1000=850\cdot q^5.$$
Teile durch 850 und ziehe die fünfte Wurzel:
$$q=\sqrt[5]{\frac{1000}{850}}\approx1{,}033.$$
Die jährliche Wachstumsrate beträgt damit ungefähr
$$p=(1{,}033-1)\cdot100\,\%\approx3{,}3\,\%.$$
Die Rechnung beschreibt ein Modell. Sie beweist nicht, dass die Population in jedem einzelnen Jahr tatsächlich genau um $3{,}3\,\%$ gewachsen ist.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Bei $12\,\%$ Wachstum lautet der Faktor . Im Modell $B_n=500\cdot1{,}12^n$ ist $500$ der . Nach $n=0$ Schritten beträgt der Bestand . Der Exponent zählt die .
Wie bestimmst du die Verdopplungszeit?
Die Verdopplungszeit $T_2$ ist die Zeit, nach der der Anfangsbestand doppelt so groß ist. Bei einem Faktor $q$ pro Zeiteinheit setzt du
$$B_0q^{T_2}=2B_0.$$
Für $B_0>0$ kürzt sich der Anfangsbestand heraus. Mit Logarithmen folgt
$$T_2=\frac{\ln 2}{\ln q}.$$
Eine Bakterienkultur wächst stündlich um $12\,\%$. Damit ist $q=1{,}12$ pro Stunde und
$$T_2=\frac{\ln2}{\ln1{,}12}\approx6{,}12\text{ Stunden}.$$
Zur Kontrolle: Nach sechs Stunden liefert das Modell
$$B_6=B_0\cdot1{,}12^6\approx1{,}974B_0.$$
Nach sieben vollen Stunden ist der Bestand erstmals mehr als doppelt so groß. Die genaue Modellzeit $6{,}12$ Stunden und die Beobachtung nur zu vollen Stunden beantworten also unterschiedliche Fragen.
Die oft genutzte Überschlagsregel $T_2\approx70/p$ liefert bei kleinen jährlichen Raten eine grobe Zahl von Jahren, wenn $p$ als Prozentzahl eingesetzt wird. Die Logarithmusformel ist genauer und zeigt die verwendete Zeiteinheit eindeutig.
Wann passt das Modell – und wann nicht?
Ein exponentielles Modell setzt voraus, dass der Faktor in gleich langen Zeitabschnitten konstant bleibt. Das kann Zinseszins oder eine frühe Wachstumsphase gut beschreiben. Reale Bestände wachsen jedoch meist nicht unbegrenzt: Nahrung, Raum, Nachfrage oder andere Bedingungen können den Faktor verändern.
Prüfe bei jeder Modellierung:
- Bezugszeit: Gilt der Faktor pro Stunde, Monat oder Jahr?
- Definitionsbereich: Sind nur ganze Schritte sinnvoll, also $n=0,1,2,\ldots$, oder ist eine stetige Zeit $t\ge0$ begründet?
- Einheit: Hat der Bestand die Einheit Euro, Tiere oder Milligramm? Der Exponent muss einheitenlos sein.
- Annahme: Bleibt die relative Änderung im betrachteten Zeitraum plausibel konstant?
- Ergebnis: Sind Rundung und Bedeutung im Kontext sinnvoll, besonders bei unteilbaren Objekten?
Für stetige Zeit kann dasselbe Wachstum auch als
$$B(t)=B_0e^{kt}$$
geschrieben werden. Wenn $q$ für eine Zeiteinheit gilt, ist $k=\ln q$ pro Zeiteinheit. Beide Schreibweisen beschreiben dann dieselbe Exponentialfunktion. Für einen Faktor pro Zeitspanne $\Delta t$ gilt allgemeiner $k=\ln(q)/\Delta t$.
Bei exponentieller Abnahme gilt $0\lt q\lt 1$. Eine Halbwertszeit ist die Zeit bis zum Faktor $0{,}5$. Zum Beispiel beschreibt $M(t)=160\,\mathrm{mg}\cdot0{,}5^{t/(6\,\mathrm h)}$ eine Halbierung alle sechs Stunden. Nach 18 Stunden verbleiben $20\,\mathrm{mg}$. Der Quotient $t/(6\,\mathrm h)$ ist einheitenlos.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Exponentielles Wachstum
- erkennen: konstanter Quotient statt konstanter Differenz
- modellieren: $B_n=B_0\cdot q^n$ mit $q>1$
- Rate umrechnen: $q=1+p/100$
- Zeit bestimmen: $T_2=\ln2/\ln q$
- prüfen: Zeiteinheit, Definitionsbereich und Sachkontext
- begrenzen: konstanter Faktor gilt nicht automatisch dauerhaft