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Manche Größen wachsen schnell am Anfang und dann immer langsamer: ein Akku beim Laden, eine Pflanze nahe ihrer maximalen Höhe oder eine Nachricht, die fast alle erreicht hat. Das nennt man beschränktes Wachstum.
- Ich kann beschränktes Wachstum von unbegrenztem Wachstum unterscheiden.
- Ich kann die Schranke als Grenzwert deuten.
- Ich kann eine einfache Folge mit Annäherung berechnen.
- Ich kann typische Graphenmerkmale erklären.
Wachsen mit Grenze
Beim beschränkten Wachstum gibt es eine obere Grenze. Die Größe nähert sich dieser Grenze an, überschreitet sie im Modell aber nicht.
Beschränktes Wachstum
Beschränktes Wachstum liegt vor, wenn eine Größe wächst, aber durch eine Schranke begrenzt ist und sich dieser Schranke immer langsamer annähert.
Ein Wasserbehälter kann höchstens 100 Liter enthalten. Ist er erst zu 20 Litern gefüllt, kann anfangs viel dazukommen. Je voller er wird, desto kleiner wird der fehlende Rest.
Nicht die Größe selbst wächst gleichmäßig, sondern oft der Abstand zur Schranke schrumpft regelmäßig.
Rechnen mit Abstand zur Schranke
Eine einfache Modellform lautet \(B(t)=S-(S-B_0)\cdot a^t\). Dabei ist \(S\) die Schranke, \(B_0\) der Startwert und \(0<a<1\) der Restfaktor.
Schranke
Die Schranke ist der Wert, dem sich die Größe annähert. Sie wird auch Sättigungswert oder Grenzwert genannt.
Schranke \(S=100\), Start \(B_0=20\), Restfaktor \(a=0{,}5\).
Die Werte kommen 100 immer näher.
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Graph und Prüfungsaufgaben
Der Graph steigt, wird aber flacher. In Aufgaben musst du oft die Schranke erkennen, den Startwert einsetzen oder erklären, warum ein Ergebnis über der Schranke nicht sinnvoll ist.
Wenn ein Modell eine maximale Konzentration von 50 mg/l hat, wäre ein berechneter Wert von 70 mg/l ein Warnsignal. Dann hast du wahrscheinlich Schranke oder Vorzeichen falsch genutzt.
Im Prüfungsmodus immer prüfen: Startwert, Schranke, Restfaktor und Sinn des Ergebnisses.
Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Beschränktes Wachstum beschreibt Annäherung an eine Grenze. Entscheidend sind Schranke, Startwert und der kleiner werdende Abstand.