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Beschränktes Wachstum: Modell und Berechnung
Beim beschränkten Wachstum wächst ein Bestand nicht unbegrenzt. Er nähert sich einer festen Schranke $S$, weil seine momentane Änderung proportional zum noch fehlenden Abstand $S-B(t)$ ist. Genau dieser Abstand nimmt exponentiell ab.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Warum wächst der Bestand immer langsamer?
Stell dir ein Produkt vor, das höchstens einen Marktanteil von 12 % erreichen kann. Solange erst wenige Menschen das Produkt nutzen, ist der Abstand zur möglichen Sättigung groß. Später bleibt nur noch ein kleiner Abstand übrig. Deshalb nimmt der Bestand weiter zu, aber immer langsamer.
Sättigungsmanko
Das Sättigungsmanko oder der Restbestand ist der Abstand des aktuellen Bestands $B(t)$ von der Schranke $S$:
$$R(t)=S-B(t)$$
Beim Wachstum von unten gilt $B(t)\lt S$, also ist $R(t)\gt 0$.
Entscheidend ist: Nicht der Bestand $B(t)$ wächst exponentiell. Das Sättigungsmanko $R(t)$ nimmt exponentiell ab.
Bei einer Schranke von 500 Geräten und einem aktuellen Bestand von 380 Geräten beträgt das Sättigungsmanko
$$R=500-380=120\text{ Geräte}.$$
Es fehlen also noch 120 Geräte bis zur Sättigungsgrenze.
So liest du das Modell
Für kontinuierliches beschränktes Wachstum von unten gilt
$$B(t)=S-(S-B_0)e^{-kt},\qquad k>0.$$
Dabei bedeuten:
- $B(t)$: Bestand zum Zeitpunkt $t$,
- $B_0=B(0)$: Anfangsbestand,
- $S$: Sättigungsgrenze,
- $S-B_0$: anfängliches Sättigungsmanko,
- $k$: Wachstumskonstante; ihre Einheit ist der Kehrwert der Zeiteinheit.
Der Faktor $e^{-kt}$ liegt für $t\ge 0$ zwischen 0 und 1 und nähert sich 0. Daher wird der abgezogene Rest immer kleiner und $B(t)$ nähert sich $S$ von unten. Für endliche Zeiten erreicht das Modell die Schranke nicht; erst für $t\to\infty$ gilt $B(t)\to S$.
Ein größeres $k$ bedeutet eine schnellere Annäherung an die Schranke. $k$ ist aber weder ein fester Zuwachs noch ein konstanter prozentualer Wachstumsfaktor des Bestands.
Für eine Annäherung von oben gilt dieselbe allgemeine Form $B(t)=S+(B_0-S)e^{-kt}$ mit $B_0>S$. Dann fällt der Bestand, bleibt aber oberhalb von $S$. Das wird auch beschränkte Abnahme genannt.
Eine Modellfunktion aus Daten bestimmen
Ein Smartphone erreicht langfristig höchstens 12 % Marktanteil. Bei der Einführung beträgt der Anteil 0 %, nach 6 Monaten 10 %. Wir verwenden $t$ in Monaten.
1. Schranke und Anfangsbestand einsetzen
Aus $S=12$ und $B_0=0$ folgt
$$B(t)=12-12e^{-kt}.$$
2. Messwert einsetzen
$$10=12-12e^{-6k}$$
$$2=12e^{-6k}$$
$$\frac16=e^{-6k}$$
3. Logarithmieren
$$\ln\left(\frac16\right)=-6k$$
$$k=\frac{\ln(6)}6\approx0{,}299\text{ pro Monat}.$$
Damit lautet das Modell
$$B(t)=12-12e^{-\frac{\ln(6)}6t}.$$
Die Werte von $B(t)$ werden in Prozent angegeben. Bei Änderungsraten sprechen wir deshalb von Prozentpunkten pro Monat, nicht von Prozent pro Monat.
Plausibilitätscheck: $B(0)=0$, $B(6)=10$ und langfristig nähert sich $B(t)$ dem Wert 12. Alle drei Angaben passen zum Kontext.
Einen Zielzeitpunkt berechnen
Wann erreicht das Smartphone-Modell einen Marktanteil von 11 %? Setze den Zielbestand ein und löse nach $t$ auf.
$$11=12-12e^{-\frac{\ln(6)}6t}$$
$$1=12e^{-\frac{\ln(6)}6t}$$
$$\frac1{12}=e^{-\frac{\ln(6)}6t}$$
Nach dem Logarithmieren folgt
$$\ln\left(\frac1{12}\right)=-\frac{\ln(6)}6t$$
$$t=\frac{6\ln(12)}{\ln(6)}\approx8{,}32\text{ Monate}.$$
Nach etwa 8,32 Monaten sagt das Modell einen Marktanteil von 11 % voraus.
Ein Ziel oberhalb von 12 % wäre in diesem Modell nicht erreichbar. Ein Ziel genau bei 12 % wird nur als Grenzwert erreicht, nicht zu einem endlichen Zeitpunkt.
Wachstumsgeschwindigkeit und Modellwahl
Die Ableitung gibt die momentane Wachstumsgeschwindigkeit an. Aus
$$B(t)=S-(S-B_0)e^{-kt}$$
folgt
$$B'(t)=k(S-B_0)e^{-kt}=k\bigl(S-B(t)\bigr).$$
Die Geschwindigkeit ist also proportional zum noch fehlenden Abstand. Im Smartphone-Beispiel beträgt sie zu Beginn
$$B'(0)=12\cdot\frac{\ln(6)}6=2\ln(6)\approx3{,}58$$
Prozentpunkte pro Monat. Später wird sie kleiner.
Welches Wachstumsmodell passt?
- Unbeschränkt exponentiell: Der Bestand selbst besitzt eine konstante relative Änderungsrate und hat keine feste Schranke.
- Klassisch beschränkt: $B'(t)=k(S-B(t))$. Das Wachstum ist zu Beginn am schnellsten und wird fortlaufend langsamer.
- Logistisch: Die Änderungsrate hängt sowohl vom Bestand als auch vom Abstand zur Schranke ab, also von $B(t)(S-B(t))$. Der typische Verlauf ist S-förmig: erst langsam, dann schneller, schließlich wieder langsamer.
Eine obere Schranke allein beweist deshalb noch kein klassisch beschränktes Wachstum. Der Verlauf der Daten muss ebenfalls passen.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Beschränktes Wachstum
- Grundidee
- feste Schranke $S$
- exponentiell abnehmendes Sättigungsmanko
- Modell
- $B(t)=S-(S-B_0)e^{-kt}$
- $B'(t)=k(S-B(t))$
- Rechnen
- Parameter aus Messwerten bestimmen
- Zielzeit mit Logarithmus berechnen
- Ergebnis mit Einheit und Schranke prüfen
- Abgrenzung
- nicht unbeschränkt exponentiell
- nicht automatisch logistisches Wachstum
- Grundidee