Logistisches Wachstum verstehen und modellieren

Stell dir eine Bakterienkultur auf einem begrenzten Nährboden vor. Zu Beginn sind nur wenige Bakterien vorhanden. Viele Nährstoffe sind frei, deshalb wächst der Bestand fast exponentiell. Mit zunehmendem Bestand werden die Ressourcen knapper. Der Zuwachs nimmt ab, bis sich der Bestand einer Sättigungsgrenze nähert.

Die drei Größen spielen unterschiedliche Rollen:

• Der aktuelle Bestand liefert das Wachstumspotenzial: Ohne vorhandene Individuen gibt es in diesem Modell keinen Zuwachs.
• Die verbleibende Kapazität bremst: Je näher der Bestand an der Schranke liegt, desto weniger Raum bleibt für weiteres Wachstum.
• Die Wachstumskonstante fasst die Stärke des Wachstums zusammen.

Wir bezeichnen den Bestand zur Zeit $t$ mit $B(t)$. Die Sättigungsgrenze heißt $S$, und die positive Zahl $k$ ist die Wachstumskonstante. Dann lautet die Differentialgleichung:

$$B'(t)=k\,B(t)\bigl(S-B(t)\bigr)$$

$B'(t)$ ist die momentane Wachstumsgeschwindigkeit. Der Faktor $B(t)$ beschreibt den aktuellen Bestand. Der Faktor $S-B(t)$ ist die noch freie Kapazität.

Für einen positiven Anfangsbestand $B_0=B(0)$ unterhalb von $S$ besitzt das Modell die explizite Form

$$B(t)=\frac{S}{1+\left(\frac{S}{B_0}-1\right)e^{-Skt}}.$$

Setzt du $t=0$ ein, wird der Exponentialfaktor zu $1$. Der Nenner ist dann $S/B_0$, also ergibt sich tatsächlich $B(0)=B_0$. Für große $t$ geht $e^{-Skt}$ gegen $0$; dadurch nähert sich $B(t)$ der Schranke $S$.

Der Graph beginnt flach, wird immer steiler und flacht anschließend wieder ab. Diese Form heißt S-Kurve oder Sigmoidkurve.

• Solange $B(t)$ klein gegenüber $S$ ist, gilt näherungsweise $S-B(t)\approx S$. Dann verhält sich das Modell ähnlich wie exponentielles Wachstum.
• Bei $B(t)=S/2$ ist die Steigung am größten. Dort liegt der Wendepunkt.
• Oberhalb von $S/2$ wird die freie Kapazität immer kleiner. Der Bestand wächst weiter, aber langsamer.

Warum liegt das stärkste Wachstum bei der halben Kapazität? Betrachte für einen festen Zeitpunkt das Produkt

$$B(S-B).$$

Ist $B$ sehr klein, fehlt Bestand als Wachstumsmotor. Ist $B$ fast so groß wie $S$, fehlt freie Kapazität. Das Produkt ist bei $B=S/2$ am größten. Daher gilt

$$B(t_W)=\frac S2$$

und für die maximale Wachstumsgeschwindigkeit

$$v_{\max}=k\frac S2\left(S-\frac S2\right)=\frac{kS^2}{4}.$$

Ein vollständiges Beispiel zeigt den Rechenweg. In einem Behälter leben anfangs $25$ Insekten. Nach einem Tag sind es $30$ Insekten. Die Kapazitätsgrenze liegt bei $400$ Insekten.

1. Gegebene Werte einsetzen

Es gilt $B_0=25$ und $S=400$. Damit ist

$$\frac{S}{B_0}-1=\frac{400}{25}-1=15$$

und die Funktion hat zunächst die Form

$$B(t)=\frac{400}{1+15e^{-400kt}}.$$

2. Messwert verwenden

Mit $B(1)=30$ folgt

$$30=\frac{400}{1+15e^{-400k}}.$$

Schrittweise umgeformt ergibt sich

$$1+15e^{-400k}=\frac{40}{3},$$

$$e^{-400k}=\frac{37}{45},$$

$$k=-\frac{1}{400}\ln\left(\frac{37}{45}\right)\approx0{,}00049.$$

3. Modell aufschreiben und prüfen

Gerundet lautet das Modell

$$B(t)\approx\frac{400}{1+15e^{-0{,}196t}}.$$

Es liefert $B(0)=25$ und näherungsweise $B(1)=30$. Nach zehn Tagen ergibt das Modell rund $128$ Insekten. Um den Wendepunkt herum, nahe dem 14. Tag, liegt der Bestand bei ungefähr $200$ Insekten und wächst am schnellsten.

Ein Modell ist eine vereinfachte Beschreibung, keine Garantie für die Zukunft. Das logistische Modell setzt insbesondere eine feste Sättigungsgrenze und eine konstante Wachstumskonstante voraus.

Frühe Messwerte allein können täuschen: Solange $B(t)$ viel kleiner als $S$ ist, sieht logistisches Wachstum fast exponentiell aus. Erst spätere Daten zeigen möglicherweise die Abflachung.

Prüfe vor einer Entscheidung:

1. Gibt es eine sachlich begründete Kapazitätsgrenze?
2. Zeigen die Daten zuerst zunehmende und später abnehmende Zuwächse?
3. Bleiben Umweltbedingungen und Modellparameter ungefähr konstant?
4. Passt das Modell auch zu Messwerten, die nicht zur Bestimmung der Parameter verwendet wurden?

Du kannst logistisches Wachstum nun an seiner Modellidee erkennen, mathematisch beschreiben, am Wendepunkt deuten und anhand von Daten sowie Annahmen überprüfen.