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Nicht jedes Wachstum geht ewig exponentiell weiter. Wenn Platz, Nahrung oder Marktgröße begrenzt sind, nähert sich das Wachstum einer Grenze.
- Ich kann logistisches Wachstum von exponentiellem Wachstum unterscheiden.
- Ich kann Sättigungsgrenze und Wendepunkt deuten.
- Ich kann typische Modellparameter erklären.
- Ich kann typische Fehler erkennen und mein Ergebnis prüfen.
Grundidee
Beim logistischen Wachstum wächst eine Größe zunächst schnell, später aber immer langsamer. Sie nähert sich einer oberen Grenze, der Sättigungsgrenze.
Logistisches Wachstum
Logistisches Wachstum beschreibt begrenztes Wachstum mit einer S-förmigen Kurve. Typisch ist eine Kapazität \(K\), der sich die Werte langfristig annähern.
Eine Bakterienkultur wächst am Anfang fast exponentiell. Wenn Nahrung knapp wird, flacht die Kurve ab und nähert sich einer maximalen Populationsgröße.
Logistisch heißt: erst beschleunigt, dann gebremst, am Ende nahe an einer Grenze.
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Vorgehen Schritt für Schritt
Lies im Modell die Sättigungsgrenze ab. Prüfe dann, wo die Kurve am steilsten ist: Dort liegt der Wendepunkt und das Wachstum ist maximal.
Ein Modell hat Sättigungsgrenze \(K=1000\). Wenn der Bestand bei 500 liegt, ist er oft nahe am stärksten Wachstum. Danach nimmt die Wachstumsrate ab, obwohl der Bestand noch steigt.
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Typische Fehler und Prüfungsmodus
Aufgaben fragen oft nach Interpretation: Was bedeutet \(K\)? Wann wächst es am stärksten? Warum ist ein exponentielles Modell langfristig unrealistisch?
Eine typische Form ist \(f(t)=\frac{K}{1+a e^{-kt}}\). Dabei ist \(K\) die langfristige Obergrenze.
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Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Logistisches Wachstum modelliert begrenztes Wachstum. Die wichtigsten Ideen sind Sättigungsgrenze, S-Kurve und der Wendepunkt als Ort der größten Wachstumsrate.