Mit Google fortfahren
Geometrische Folge: Formeln, Verhalten und Summen
Bei einer geometrischen Folge entsteht jedes neue Glied, indem du das vorherige mit demselben Faktor $q$ multiplizierst. Kennst du das Anfangsglied und $q$, kannst du jedes Folgenglied und auch die Summe der ersten Glieder berechnen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du eine geometrische Folge?
Stell dir vor, ein Wert wird in jedem Schritt verdoppelt: $1, 2, 4, 8, 16, \ldots$ Der feste Multiplikationsfaktor ist hier $q=2$.
Geometrische Folge
Eine Folge $(a_n)$ heißt geometrisch, wenn für alle Schritte derselbe Faktor $q$ gilt:
$$a_{n+1}=q\cdot a_n$$
Falls $a_n\ne 0$ ist, kannst du den Faktor auch als Quotienten berechnen:
$$q=\frac{a_{n+1}}{a_n}$$
Prüfe also mehrere benachbarte Glieder. Bei $3, 6, 12, 24, \ldots$ erhältst du immer den Quotienten $2$. Die Folge ist geometrisch. Bei $3, 6, 9, 12, \ldots$ ist dagegen die Differenz immer $3$; diese Folge ist arithmetisch, aber nicht geometrisch.
Geometrisch bedeutet: immer mit demselben Faktor multiplizieren. Arithmetisch bedeutet: immer dieselbe Zahl addieren.
Wie berechnest du einzelne Glieder?
Die rekursive Darstellung nennt das Anfangsglied und beschreibt den nächsten Schritt:
$$a_1=3,\qquad a_{n+1}=4a_n$$
Damit erhältst du nacheinander $3, 12, 48, 192, \ldots$ Für ein weit entferntes Glied wären jedoch viele Zwischenschritte nötig.
Die explizite Darstellung führt direkt zu jedem Glied. Vom ersten bis zum $n$-ten Glied wird der Faktor genau $n-1$ Mal angewendet:
$$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$$
Für $a_1=3$ und $q=4$ ist das siebte Glied gesucht. Zwischen $a_1$ und $a_7$ liegen sechs Multiplikationsschritte:
$$a_7=3\cdot 4^{7-1}=3\cdot 4^6=12\,288$$
Die Probe mit der Rekursion liefert $3, 12, 48, 192, 768, 3072, 12\,288$.
Beim Start mit $a_0$ verschiebt sich der Exponent. Dann gilt $a_n=a_0q^n$. Achte deshalb immer darauf, ob die Zählung bei $0$ oder bei $1$ beginnt.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Für eine bei $a_1$ beginnende geometrische Folge gilt $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$. Der Exponent beim Glied $a_6$ ist deshalb . Bei $a_1=2$ und $q=-3$ ergibt sich $a_5=2\cdot(-3)^4=$. In der Rekursion steht der feste Faktor zwischen .
Was verrät der Faktor über das Verhalten?
Für $a_1\gt0$ kannst du das Verhalten direkt an $q$ ablesen:
| Faktor $q$ | Verhalten | Beispiel |
|---|---|---|
| $q\gt1$ | positive Glieder wachsen | $2, 6, 18, \ldots$ |
| $q=1$ | Folge bleibt konstant | $2, 2, 2, \ldots$ |
| $0\lt q\lt1$ | positive Glieder fallen und nähern sich $0$ | $8, 4, 2, 1, \ldots$ |
| $-1\lt q\lt0$ | Vorzeichen wechseln, Beträge nähern sich $0$ | $4, -2, 1, -0{,}5, \ldots$ |
| $q=-1$ | Werte wechseln zwischen $a_1$ und $-a_1$ | $4, -4, 4, -4, \ldots$ |
| $q\lt-1$ | Vorzeichen wechseln, Beträge wachsen | $2, -6, 18, -54, \ldots$ |
Für $a_1\ne0$ gilt: Bei $|q|\lt1$ nähern sich die Folgenglieder $0$. Bei $q=1$ bleibt die Folge konstant. Bei $q=-1$ wechselt sie dauerhaft zwischen zwei Werten. Bei $|q|\gt1$ wachsen die Beträge ohne Schranke.
In der rekursiven Gleichung darf $q=0$ sein. Dann ist ab $a_2$ jedes Glied $0$. Die Quotientenform ist danach nicht mehr verwendbar, weil eine Division durch $0$ nicht definiert ist.
Wie addierst du die ersten Glieder?
Die Summe der ersten $n$ Glieder heißt Partialsumme:
$$s_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$$
Für $q\ne1$ kannst du sie ohne einzelnes Addieren berechnen:
$$s_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}$$
Die gleichwertige Form $s_n=a_1\frac{q^n-1}{q-1}$ ist bei $q\gt1$ oft bequemer. Für $q=1$ sind alle Glieder gleich, daher gilt stattdessen $s_n=n\cdot a_1$.
Eine Folge beginnt mit $a_1=4$ und hat $q=0{,}5$. Gesucht ist die Summe der ersten fünf Glieder.
$$s_5=4\cdot\frac{1-0{,}5^5}{1-0{,}5}=4\cdot\frac{1-0{,}03125}{0{,}5}=7{,}75$$
Die Einzelprobe bestätigt das Ergebnis:
$$4+2+1+0{,}5+0{,}25=7{,}75$$
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Geometrische Folge
- Erkennen: konstanter Faktor oder Quotient $q$
- Darstellen: rekursiv und explizit
- Untersuchen: Vorzeichen und Betrag von $q$
- Addieren: Partialsumme der ersten $n$ Glieder
Abschluss-Check
Du kannst eine geometrische Folge nun am konstanten Faktor erkennen, passend darstellen, ihr Verhalten vorhersagen und ihre ersten Glieder addieren.