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Bei einer geometrischen Folge wird jeder neue Wert mit demselben Faktor gebildet. So beschreibst du zum Beispiel Wachstum, Zerfall oder Zinseszins in regelmäßigen Schritten.
- Ich kann geometrische Folgen erkennen.
- Ich kann den Quotienten bestimmen.
- Ich kann Folgenglieder berechnen.
- Ich kann geometrische und arithmetische Folgen unterscheiden.
Die Grundidee
Eine geometrische Folge entsteht, wenn du immer mit demselben Faktor multiplizierst. Dieser Faktor heißt Quotient oder Wachstumsfaktor.
Geometrische Folge
Eine Folge ist geometrisch, wenn für aufeinanderfolgende Glieder immer derselbe Quotient gilt: \(\frac{a_{n+1}}{a_n}=q\).
Die Folge \(3, 6, 12, 24, ...\) ist geometrisch.
Jedes Glied entsteht durch Multiplikation mit 2. Also ist \(q=2\).
Geometrisch heißt: gleicher Faktor. Arithmetisch heißt: gleiche Differenz.
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Folgenglieder berechnen
Wenn Startwert \(a_1\) und Faktor \(q\) bekannt sind, gilt \(a_n=a_1\cdot q^{n-1}\).
Eine geometrische Folge startet mit \(a_1=4\) und hat \(q=3\).
\(a_4=4\cdot3^{4-1}=4\cdot27=108\).
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Prüfungsmodus
Prüfe nicht nur die ersten zwei Glieder. Eine Folge ist erst dann geometrisch, wenn derselbe Quotient durchgehend passt.
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
Geometrische Folgen wachsen oder schrumpfen mit einem festen Faktor. Bestimme den Quotienten sorgfältig und nutze \(a_n=a_1\cdot q^{n-1}\) für einzelne Glieder.