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Bei einer geometrischen Reihe werden Potenzen eines festen Faktors addiert. Das klingt abstrakt, taucht aber bei Zinseszins, Halbwertszeiten, wiederholten Rabatten und unendlichen Prozessen auf.
Nach dieser Seite kannst du geometrische Folgen und Reihen unterscheiden, endliche Summen berechnen und den Grenzwert unendlicher Reihen einordnen.
- Ich kann geometrische Folge und geometrische Reihe unterscheiden.
- Ich kann den Quotienten $q$ erkennen.
- Ich kann eine endliche geometrische Summe berechnen.
- Ich kann entscheiden, wann eine unendliche geometrische Reihe konvergiert.
- Ich kann typische Formelverwechslungen vermeiden.
Folge oder Reihe?
Eine Folge listet Zahlen auf. Eine Reihe addiert diese Zahlen.
Geometrische Folge
Eine geometrische Folge entsteht, wenn jeder Wert durch Multiplikation mit demselben Faktor \(q\) aus dem vorherigen entsteht.
Geometrische Reihe
Eine geometrische Reihe ist die Summe der Glieder einer geometrischen Folge.
Folge: \(2,6,18,54\) mit \(q=3\).
Reihe: \(2+6+18+54=80\).
Folge heißt auflisten. Reihe heißt aufsummieren.
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Endliche geometrische Reihe
Für endliche Summen gibt es eine Formel. Sie spart langes Addieren.
Summenformel
Für \(q\ne1\) gilt: \(S_n=a_1\cdot\frac{q^n-1}{q-1}\), wenn \(n\) Glieder ab \(a_1\) addiert werden.
Berechne \(3+6+12+24+48\).
Hier ist \(a_1=3\), \(q=2\) und \(n=5\).
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Unendliche geometrische Reihe
Eine unendliche geometrische Reihe kann einen endlichen Grenzwert haben, wenn der Faktor betragsmäßig kleiner als 1 ist.
Konvergenz geometrischer Reihen
Eine unendliche geometrische Reihe mit Startwert \(a_1\) und Quotient \(q\) konvergiert für \(|q|<1\) gegen \(\frac{a_1}{1-q}\).
Berechne \(1+\frac12+\frac14+\frac18+\dots\).
Hier ist \(a_1=1\) und \(q=\frac12\).
Nur wenn \(|q|<1\) werden die Glieder immer kleiner genug für einen Grenzwert.
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Prüfungsmodus
Achte darauf, ob nach einem einzelnen Glied oder nach einer Summe gefragt ist.
Ein Ball springt nach jedem Aufprall auf die Hälfte der vorherigen Höhe. Die Höhen bilden eine geometrische Folge. Wenn du alle zurückgelegten Strecken addierst, entsteht eine geometrische Reihe.
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
Eine geometrische Folge entsteht durch wiederholtes Multiplizieren mit \(q\). Eine geometrische Reihe addiert diese Glieder. Endliche Reihen berechnest du mit der Summenformel, unendliche Reihen haben nur bei \(|q|<1\) einen Grenzwert.