Mit Google fortfahren
Geometrische Reihe: Formel, Grenzwert, Beispiele
Eine geometrische Reihe entsteht, wenn du die Glieder einer geometrischen Folge addierst: Von einem Glied zum nächsten wird immer mit demselben Faktor $q$ multipliziert. Eine endliche Summe kannst du für jedes $q$ berechnen; eine unendliche geometrische Reihe besitzt nur für $|q|<1$ einen endlichen Grenzwert.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Von der Folge zur Reihe
Bei einer geometrischen Folge entsteht jedes neue Glied, indem du das vorige mit demselben Faktor $q$ multiplizierst. Beginnst du mit $a$, lauten die Glieder
$$a,\ aq,\ aq^2,\ aq^3,\ldots$$
Addierst du solche Glieder, erhältst du eine geometrische Reihe. Die endliche Summe vom Index $k=0$ bis $k=n$ ist
$$S_n=\sum_{k=0}^{n} aq^k=a+aq+aq^2+\ldots+aq^n.$$
Der Index startet bei $0$. Deshalb enthält $S_n$ genau $n+1$ Summanden. Diese Zählung ist wichtig: Der höchste Exponent ist $n$, in der Summenformel erscheint daher $n+1$.
Geometrische Reihe
Eine Summe ist geometrisch, wenn ihre Summanden die Form $aq^k$ haben: Jeder folgende Summand entsteht aus dem vorigen durch Multiplikation mit demselben Faktor $q$. Das gilt auch für $q=0$, etwa bei $5+0+0+\ldots$. Solange der vorige Summand nicht null ist, kannst du $q$ auch durch Division zweier aufeinanderfolgender Summanden bestimmen. In $3+6+12+24$ ist der Faktor stets $q=2$.
Endliche Summen mit der Formel berechnen
Für $q\ne 1$ gilt die geometrische Summenformel
$$S_n=a\cdot\frac{1-q^{n+1}}{1-q}.$$
Warum funktioniert sie? Multipliziere $S_n$ mit $q$ und subtrahiere:
$$S_n-qS_n=(a+aq+\ldots+aq^n)-(aq+aq^2+\ldots+aq^{n+1}).$$
Alle mittleren Summanden heben sich auf. Es bleibt
$$S_n(1-q)=a(1-q^{n+1}).$$
Für $q\ne1$ darfst du durch $1-q$ teilen und erhältst die Summenformel.
Berechne $2+6+18+54+162$.
Das Anfangsglied ist $a=2$, der Faktor ist $q=3$. Die Exponenten reichen von $0$ bis $4$, also ist $n=4$ und es gibt fünf Summanden.
$$S_4=2\cdot\frac{1-3^5}{1-3}=2\cdot\frac{-242}{-2}=242.$$
Die direkte Addition bestätigt das Ergebnis: $2+6+18+54+162=242$.
Prüfe vor dem Einsetzen: Wo startet der Index, wie viele Summanden gibt es und welcher Exponent ist der höchste? Bei $k=0$ bis $k=n$ sind es $n+1$ Summanden.
Der Sonderfall q gleich 1
Bei $q=1$ wäre der Nenner $1-q=0$. Die Bruchformel darfst du dann nicht verwenden. Die Summe ist trotzdem einfach: Jeder Summand ist gleich $a$.
$$S_n=\sum_{k=0}^{n}a\cdot1^k=(n+1)a.$$
Für $a=4$, $q=1$ und $k=0$ bis $k=5$ werden sechs gleiche Summanden addiert:
$$S_5=4+4+4+4+4+4=6\cdot4=24.$$
Wann eine unendliche Reihe einen Grenzwert hat
Eine unendliche Reihe wird über ihre Partialsummen verstanden. Du berechnest also $S_0,S_1,S_2,\ldots$ und fragst, ob diese Folge sich einem festen Wert nähert.
Für $q\ne1$ gilt weiterhin
$$S_n=a\cdot\frac{1-q^{n+1}}{1-q}.$$
Genau für $|q|<1$ nähert sich $q^{n+1}$ der Zahl $0$. Dann konvergieren die Partialsummen und es gilt
$$\sum_{k=0}^{\infty}aq^k=\frac{a}{1-q}\qquad\text{für }|q|<1.$$
Für $|q|\ge1$ gehen die Summanden $aq^k$ bei $a\ne0$ nicht gegen $0$. Deshalb kann die Reihe nicht konvergieren. Das umfasst auch $q=1$ und $q=-1$. Der Sonderfall $a=0$ ergibt dagegen unabhängig von $q$ nur Nullen und damit die Summe $0$.
Ein negatives $q$ verhindert Konvergenz nicht. Entscheidend ist der Betrag: Bei $q=-\frac12$ wechseln die Vorzeichen, während die Beträge kleiner werden. Weil $|-\frac12|<1$ gilt, konvergiert die Reihe.
Untersuche
$$6-3+\frac32-\frac34+\ldots$$
Hier ist $a=6$ und $q=-\frac12$. Da $|q|=\frac12<1$ ist, konvergiert die Reihe. Ihr Grenzwert ist
$$\frac{a}{1-q}=\frac{6}{1-(-\frac12)}=\frac{6}{\frac32}=4.$$
Die ersten Partialsummen $6,3,4{,}5,3{,}75,\ldots$ schwanken um $4$ und nähern sich diesem Wert.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Geometrische Reihe
- erkennen: konstanter Faktor $q$
- endlich: Summenformel für $q\ne1$
- Sonderfall: bei $q=1$ sind alle Summanden gleich
- unendlich: Grenzwert der Partialsummen
- konvergent: $|q|<1$
- divergent: $|q|\ge1$ bei $a\ne0$
- sicher rechnen: Startindex und Anzahl prüfen