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Grenzwert verstehen und berechnen
Ein Grenzwert beschreibt, welchem Wert sich eine Funktion nähert, wenn sich $x$ einer Stelle oder $+\infty$ beziehungsweise $-\infty$ nähert. Entscheidend ist das Verhalten in der Nähe – der Funktionswert an der Stelle muss nicht einmal definiert sein.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was beschreibt ein Grenzwert?
Grenzwert
Der Grenzwert oder Limes ist der Wert, dem sich $f(x)$ nähert, wenn $x$ gegen eine Zahl $a$ oder gegen $\pm\infty$ läuft. Die Schreibweise
$$\lim_{x\to a}f(x)=L$$
bedeutet: Nähert sich $x$ der Stelle $a$, dann nähert sich $f(x)$ dem Wert $L$.
Bei $x\to+\infty$ untersuchst du den Graphen weit rechts, bei $x\to-\infty$ weit links. Beide Richtungen können unterschiedliche Ergebnisse haben.
Für $f(x)=\frac{x+2}{x}=1+\frac{2}{x}$ wird der Bruch $\frac{2}{x}$ bei großen positiven und negativen Beträgen von $x$ immer kleiner. Daher gilt:
$$\lim_{x\to+\infty}\frac{x+2}{x}=1$$
und
$$\lim_{x\to-\infty}\frac{x+2}{x}=1.$$
Die Funktionswerte nähern sich der $1$ aus unterschiedlichen Richtungen.
Wie untersuchst du eine endliche Stelle?
Ist eine Funktion an der Stelle $a$ stetig und dort definiert, darfst du direkt einsetzen:
$$\lim_{x\to a}f(x)=f(a).$$
Das Polynom $f(x)=x^2$ ist stetig. Deshalb gilt:
$$\lim_{x\to2}x^2=2^2=4.$$
Bei einer Definitionslücke musst du getrennt von links und rechts schauen:
- $x\to a^-$ bedeutet Annäherung mit Werten kleiner als $a$.
- $x\to a^+$ bedeutet Annäherung mit Werten größer als $a$.
Ein beidseitiger Grenzwert existiert nur, wenn beide einseitigen Grenzwerte übereinstimmen.
Für $f(x)=\frac1x$ bei $x=0$ gilt:
$$\lim_{x\to0^-}\frac1x=-\infty,$$
$$\lim_{x\to0^+}\frac1x=+\infty.$$
Die beiden Seiten stimmen nicht überein. Daher existiert kein beidseitiger Grenzwert bei $0$.
Anders ist es bei $g(x)=\frac1{x^2}$: Von beiden Seiten wachsen die Werte gegen $+\infty$. Man schreibt den uneigentlichen Grenzwert
$$\lim_{x\to0}\frac1{x^2}=+\infty.$$
Eine Definitionslücke verhindert einen Grenzwert nicht automatisch. Vergleiche immer die Annäherung von links und rechts.
Wie verhalten sich Polynome im Unendlichen?
Bei einem Polynom entscheidet für große Beträge von $x$ der Summand mit der höchsten Potenz. Er heißt führender Term oder Leitterm. Die niedrigeren Potenzen werden im Vergleich immer weniger wichtig.
Untersuche
$$f(x)=-\frac13x^3+2x^2.$$
Der führende Term ist $-\frac13x^3$.
Für $x\to+\infty$ wird $x^3$ positiv und beliebig groß. Der negative Faktor kehrt das Vorzeichen um:
$$\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty.$$
Für $x\to-\infty$ wird $x^3$ negativ und sein Betrag beliebig groß. Durch den negativen Faktor wird der führende Term positiv:
$$\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty.$$
Für den führenden Term $a x^n$ helfen zwei Entscheidungen:
- Ist $n$ gerade, zeigen beide Enden in dieselbe Richtung.
- Ist $n$ ungerade, zeigen die Enden in unterschiedliche Richtungen.
- Ist $a<0$, kehren sich die Richtungen gegenüber $x^n$ um.
Wie untersuchst du rationale Funktionen?
Eine rationale Funktion ist ein Quotient aus Polynomen. Für ihr Verhalten im Unendlichen vergleichst du die höchsten Potenzen in Zähler und Nenner.
- Zählergrad kleiner als Nennergrad: Der Grenzwert ist $0$.
- Zählergrad gleich Nennergrad: Der Grenzwert ist der Quotient der führenden Koeffizienten.
- Zählergrad größer als Nennergrad: Untersuche weiter, etwa durch Polynomdivision oder Division durch die höchste passende Potenz.
Bestimme den Grenzwert von
$$f(x)=\frac{-3x+2}{4x-5}.$$
Zähler und Nenner haben beide Grad $1$. Teile beide durch $x$:
$$\frac{-3x+2}{4x-5}=\frac{-3+\frac2x}{4-\frac5x}.$$
Für $x\to\pm\infty$ gehen $\frac2x$ und $\frac5x$ gegen $0$. Daher bleibt
$$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{-3x+2}{4x-5}=-\frac34.$$
Waagerechte Asymptote
Gilt $\lim_{x\to+\infty}f(x)=L$ oder $\lim_{x\to-\infty}f(x)=L$, dann beschreibt die Gerade $y=L$ eine waagerechte Asymptote in der jeweiligen Richtung. Der Graph nähert sich dieser Leitlinie an.
Im Beispiel ist $y=-\frac34$ an beiden Rändern eine waagerechte Asymptote.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad, strebt der Quotient gegen . Bei gleichen Graden teilst du die . Ist der Zählergrad größer, musst du das Verhalten .
Was tust du bei einer unbestimmten Form?
Setze zuerst probeweise ein. Entsteht $\frac00$, ist das kein Ergebnis. Häufig lässt sich der Term umformen.
Betrachte
$$f(x)=\frac{x^4-1}{x-1}$$
für $x\to1$. Direktes Einsetzen ergibt $\frac00$. Faktorisiere den Zähler:
$$x^4-1=(x-1)(x^3+x^2+x+1).$$
Für $x\ne1$ darfst du $x-1$ kürzen. Damit folgt:
$$\lim_{x\to1}\frac{x^4-1}{x-1}=\lim_{x\to1}(x^3+x^2+x+1)=4.$$
Die Funktion hat bei $x=1$ eine hebbare Lücke: Der ursprüngliche Term ist dort nicht definiert, besitzt aber einen endlichen Grenzwert.
Vertiefung: Regel von l’Hospital
Liegt nach dem Einsetzen die unbestimmte Quotientenform $\frac00$ oder $\frac{\infty}{\infty}$ vor und sind die Voraussetzungen der Regel erfüllt, darfst du Zähler und Nenner getrennt ableiten. Das ist nicht dasselbe wie die Quotientenregel.
Für das vorige Beispiel ergibt sich:
$$\lim_{x\to1}\frac{x^4-1}{x-1}=\lim_{x\to1}\frac{4x^3}{1}=4.$$
Bleibt nach dem Ableiten erneut eine unbestimmte Form, kann die Regel nochmals angewendet werden.
Wende l’Hospital nicht allein deshalb an, weil ein Bruch vorliegt. Prüfe zuerst ausdrücklich auf $\frac00$ oder $\frac{\infty}{\infty}$.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Grenzwert
- Annäherungsrichtung
- endliche Stelle von links oder rechts
- $+\infty$ oder $-\infty$
- Endliche Stelle
- bei Stetigkeit direkt einsetzen
- einseitige Grenzwerte vergleichen
- Verhalten im Unendlichen
- bei Polynomen den Leitterm prüfen
- bei Quotienten die Grade vergleichen
- Problemstelle
- hebbare Lücke durch Umformen erkennen
- unbestimmte Form gezielt bearbeiten
- Ergebnis
- endlicher Wert oder uneigentlicher Grenzwert
- möglicherweise kein Grenzwert
- Annäherungsrichtung