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Grenzwerte beschreiben, welchem Wert sich eine Folge oder Funktion nähert. Du musst den Wert nicht unbedingt erreichen. Entscheidend ist, was langfristig oder in der Nähe einer Stelle passiert.
- Ich kann die Idee eines Grenzwerts erklären.
- Ich kann einfache Grenzwerte von Folgen bestimmen.
- Ich kann Funktionsgrenzwerte durch Einsetzen oder Umformen prüfen.
- Ich kann linksseitige und rechtsseitige Annäherung unterscheiden.
Annäherung statt Erreichen
Ein Grenzwert beantwortet die Frage: Wohin gehen die Werte, wenn der Eingabewert immer weiter läuft oder sich einer Stelle nähert?
Grenzwert
Ein Grenzwert ist der Wert, dem sich eine Folge oder Funktion beliebig genau annähert. Man schreibt dafür \(\lim\).
Die Folge \(a_n=\frac{1}{n}\) hat die Werte \(1\), \(\frac12\), \(\frac13\), \(\frac14\) und so weiter.
Die Werte werden immer kleiner und nähern sich 0.
Also gilt \(\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0\).
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Grenzwerte von Funktionen
Wenn eine Funktion an der Stelle normal definiert ist, darfst du oft direkt einsetzen. Wenn nicht, musst du umformen oder seitlich betrachten.
Berechne \(\lim_{x\to2}(3x+1)\).
Direkt einsetzen ist erlaubt:
\(3\cdot2+1=7\).
Der Grenzwert ist 7.
Direktes Einsetzen ist der erste Test. Ergibt es eine sinnvolle Zahl, bist du oft fertig.
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Umformen bei Lücken
Manche Terme haben an einer Stelle eine Lücke, obwohl sich die Werte einem klaren Wert nähern.
Berechne \(\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}\).
Direkt einsetzen ergibt \(0:0\), also formst du um.
\(x^2-4=(x-2)(x+2)\).
Für \(x\ne2\) gilt \(\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2\).
Grenzwert: \(2+2=4\).
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Prüfungsmodus
Prüfe bei gebrochenen Termen: direkt einsetzen, faktorisieren, kürzen, dann erneut einsetzen. Bei Sprüngen müssen links und rechts denselben Wert liefern.
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
Grenzwerte beschreiben Annäherung. Starte mit direktem Einsetzen. Wenn eine unbestimmte Form wie \(0:0\) entsteht, formst du um und untersuchst den vereinfachten Term in der Nähe der Stelle.