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Stetigkeit beschreibt, ob ein Graph ohne Sprung oder Loch gezeichnet werden kann. Nach dieser Seite kannst du die Idee verstehen und einfache Funktionen an kritischen Stellen prüfen.
- Ich kann Stetigkeit anschaulich erklären.
- Ich kann kritische Stellen finden.
- Ich kann Funktionswert und Grenzwert vergleichen.
- Ich kann Sprung und Lücke unterscheiden.
- Ich kann stückweise Funktionen prüfen.
Grundidee
Für Stetigkeit müssen drei Dinge zusammenpassen: Die Stelle ist erlaubt, der Annäherungswert von links und rechts passt, und dieser Wert ist wirklich der Funktionswert.
Stetigkeit
Eine Funktion ist an einer Stelle stetig, wenn der Funktionswert dort existiert und die Funktionswerte in der Nähe gegen genau diesen Wert laufen. Anschaulich hat der Graph dort kein Loch und keinen Sprung.
Prüfe \(f(x)=x^2\) bei \(x=2\).
- Der Funktionswert existiert: \(f(2)=4\).
- Wenn \(x\) nahe bei 2 liegt, liegt \(x^2\) nahe bei 4.
- Links und rechts nähert sich der Graph demselben Wert.
\(f\) ist bei \(x=2\) stetig.
Polynome sind überall stetig. Probleme entstehen meist bei Brüchen, Wurzeln, Logarithmen oder stückweise definierten Funktionen.
Schritt für Schritt
Bei stückweisen Funktionen prüfst du besonders die Übergangsstelle. Berechne den linken Wert, den rechten Wert und den angegebenen Funktionswert.
Gegeben ist \(f(x)=x+1\) für \(x<2\) und \(f(x)=3\) für \(x\geq2\).
- Von links nähert sich \(x+1\) bei \(x=2\) dem Wert 3.
- Von rechts ist der Wert 3.
- Der Funktionswert ist \(f(2)=3\).
Die Funktion ist bei \(x=2\) stetig.
Bei \(g(x)=\frac{x^2-1}{x-1}\) gibt es bei \(x=1\) eine Lücke, obwohl der gekürzte Term \(x+1\) harmlos aussieht. Die ursprüngliche Funktion ist dort nicht definiert.
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Typische Fehler erkennen
Ein häufiger Fehler ist, nur den Funktionsterm zu vereinfachen und die ursprüngliche Definitionslücke zu vergessen.
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Prüfungsmodus
Bei Aufgaben mit Parametern setzt du Stetigkeit als Bedingung: linker Grenzwert gleich rechter Grenzwert gleich Funktionswert. Daraus bestimmst du den Parameter.
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
- Stetigkeit bedeutet anschaulich ohne Loch und Sprung.
- Funktionswert und Annäherungswert müssen übereinstimmen.
- Polynome sind überall stetig.
- Bei Brüchen und stückweisen Funktionen prüfst du kritische Stellen.