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Stetigkeit prüfen und verstehen
Eine Funktion ist an einer Stelle $x_0$ stetig, wenn sich ihre Funktionswerte bei der Annäherung an $x_0$ dem tatsächlichen Wert $f(x_0)$ nähern. Bei einer reellen Funktion prüfst du dafür den Funktionswert sowie den Grenzwert von links und von rechts.
Auf dieser Seite lernst du, Stetigkeit an einzelnen Stellen zu untersuchen, typische Unterbrechungen zu unterscheiden und hebbare Definitionslücken zu schließen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was bedeutet Stetigkeit?
Anschaulich kannst du den Graphen einer stetigen Funktion ohne Unterbrechung zeichnen. Das ist jedoch nur eine Vorstellungshilfe. Entscheidend ist der Grenzwert.
Stetigkeit an einer Stelle
Eine Funktion $f$ ist an einer Stelle $x_0$ ihres Definitionsbereichs stetig, wenn der Grenzwert existiert und mit dem Funktionswert übereinstimmt:
$$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$$
Bei einer inneren Stelle einer reellen Funktion bedeutet das:
$$\lim_{x\to x_0^-}f(x)=\lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0)$$
Die Zeichen $x\to x_0^-$ und $x\to x_0^+$ stehen für die Annäherung von links beziehungsweise von rechts. Ist die Bedingung an jeder Stelle des Definitionsbereichs erfüllt, heißt die Funktion auf diesem Definitionsbereich stetig.
An einem Randpunkt wird nur aus der Richtung geprüft, die zum Definitionsbereich gehört. So ist $f(x)=\sqrt{x}$ auf $[0,\infty)$ auch bei $x_0=0$ stetig: Dort ist nur die Annäherung von rechts möglich.
„Ohne Absetzen zeichnen“ hilft beim Vorstellen. Ob eine Funktion wirklich stetig ist, entscheidest du mit Definitionsbereich, Grenzwert und Funktionswert.
Wie prüfst du eine Stelle?
Untersuche eine Stelle $x_0$ in drei Schritten:
- Definitionsbereich prüfen: Ist $f(x_0)$ überhaupt definiert?
- Grenzwert bestimmen: Berechne bei einer inneren Stelle den links- und den rechtsseitigen Grenzwert. Nur wenn beide gleich sind, existiert der beidseitige Grenzwert.
- Vergleichen: Prüfe, ob der Grenzwert gleich $f(x_0)$ ist.
Untersuche $f(x)=x^3$ bei $x_0=0$.
- Die Zahl $0$ gehört zum Definitionsbereich.
- Von beiden Seiten nähern sich die Funktionswerte dem Wert $0$:
$$\lim_{x\to0^-}x^3=\lim_{x\to0^+}x^3=0$$
- Außerdem ist $f(0)=0$.
Damit gilt $\lim_{x\to0}f(x)=f(0)$. Die Funktion ist bei $0$ stetig.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Bei einer inneren Stelle prüfst du zuerst den . Danach vergleichst du den linksseitigen mit dem Grenzwert. Stimmen beide Grenzwerte und der überein, ist die Funktion dort stetig.
Welche Unterbrechungen können auftreten?
Zwei Fälle führen besonders häufig zu einer Unstetigkeit an einer definierten Stelle.
Die einseitigen Grenzwerte unterscheiden sich
Betrachte
$$s(x)=\begin{cases}-1,&x<0,\\1,&x\ge0.\end{cases}$$
Dann gilt
$$\lim_{x\to0^-}s(x)=-1\qquad\text{und}\qquad\lim_{x\to0^+}s(x)=1.$$
Die beiden Werte sind verschieden. Deshalb existiert kein beidseitiger Grenzwert. Bei $0$ liegt eine Sprungstelle vor.
Grenzwert und Funktionswert unterscheiden sich
Betrachte
$$p(x)=\begin{cases}x^2,&x\ne0,\\1,&x=0.\end{cases}$$
Für $x$ nahe bei $0$ gilt $p(x)=x^2$. Daher ist
$$\lim_{x\to0}p(x)=0.$$
Der eingesetzte Funktionswert lautet aber $p(0)=1$. Die Funktion ist bei $0$ unstetig, obwohl der Grenzwert existiert.
Wann lässt sich eine Definitionslücke schließen?
Ist $x_0$ nicht im Definitionsbereich, kann die ursprüngliche Funktion dort nicht auf Stetigkeit geprüft werden. Sie kann auf ihrem übrigen Definitionsbereich trotzdem stetig sein.
Nähern sich die Funktionswerte von beiden Seiten derselben endlichen Zahl $L$, lässt sich die Lücke durch den neuen Wert $f(x_0)=L$ stetig fortsetzen. Eine solche Lücke heißt hebbar.
Gegeben ist
$$q(x)=\frac{x^2-4}{x-2},\qquad D_q=\mathbb R\setminus\{2\}.$$
Für $x\ne2$ gilt wegen $x^2-4=(x-2)(x+2)$:
$$q(x)=x+2.$$
Deshalb ist
$$\lim_{x\to2}q(x)=2+2=4.$$
Die ursprüngliche Funktion besitzt bei $2$ nur eine Definitionslücke. Mit $\widetilde q(2)=4$ erhältst du die stetige Fortsetzung $\widetilde q(x)=x+2$ auf ganz $\mathbb R$.
Eine Sprungstelle ist nicht auf diese Weise behebbar: Wenn linker und rechter Grenzwert verschieden sind, gibt es keinen einzelnen Wert, der zu beiden Seiten passt. Auch eine Polstelle mit unbegrenzt wachsenden Funktionswerten lässt sich nicht durch einen endlichen Funktionswert schließen.
Welche Regeln und welche formale Definition helfen?
Sind $f$ und $g$ an einer Stelle stetig, dann sind dort auch Summe, Differenz und Produkt stetig. Der Quotient $f/g$ ist stetig, sofern der Nenner an der betrachteten Stelle nicht null ist. Auch eine zulässige Verkettung stetiger Funktionen ist stetig.
Daraus folgt zum Beispiel: Polynome sind auf ganz $\mathbb R$ stetig. Rationale Funktionen sind an allen Stellen ihres Definitionsbereichs stetig, an denen ihr Nenner nicht null ist.
Die formale Epsilon-Delta-Definition beschreibt Stetigkeit über Abstände. Zu jeder gewünschten Genauigkeit $\varepsilon>0$ bei den Funktionswerten muss eine Nähe $\delta>0$ bei den Eingabewerten gefunden werden:
$$|x-x_0|<\delta\quad\Rightarrow\quad|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon.$$
Die Wahl von $\delta$ darf von $\varepsilon$ und vom betrachteten Punkt abhängen, aber nicht von einem einzelnen $x$ innerhalb der Umgebung.
Zeige die Epsilon-Delta-Idee für $f(x)=3x+1$ an der Stelle $x_0=2$.
Zuerst formst du den Abstand der Funktionswerte um:
$$|f(x)-f(2)|=|3x+1-7|=|3x-6|=3|x-2|.$$
Wähle $\delta=\varepsilon/3$. Aus $|x-2|<\delta$ folgt dann
$$|f(x)-f(2)|=3|x-2|<3\delta=\varepsilon.$$
Damit ist die Funktion bei $2$ stetig.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Stetigkeit
- Prüfen
- Definitionsbereich
- Einseitige Grenzwerte
- Funktionswert
- Unterscheiden
- Sprungstelle
- Falsch gesetzter Punktwert
- Definitionslücke
- Anwenden
- Hebbare Lücke schließen
- Rechenregeln nutzen
- Epsilon-Delta-Abstand wählen
- Prüfen
Abschluss-Check
Wenn du eine Stetigkeitsaufgabe löst, halte dich an die Reihenfolge: Definitionsbereich prüfen, Grenzwerte bestimmen, mit dem Funktionswert vergleichen. So erkennst du zuverlässig, ob ein Übergang stetig, sprunghaft oder durch einen passenden Punktwert reparierbar ist.