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Asymptoten erkennen und berechnen
Eine Asymptote ist eine Gerade oder Kurve, der sich ein Funktionsgraph immer weiter annähert. Bei gebrochenrationalen Funktionen findest du sie durch Kürzen, Nennernullstellen, Gradvergleich und gegebenenfalls Polynomdivision.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was beschreibt eine Asymptote?
Eine Asymptote zeigt, wie sich ein Graph an einem Rand seines Definitionsbereichs verhält. Dabei kann es um sehr große positive oder negative Werte von $x$ oder um die Nähe zu einer Polstelle gehen.
Asymptote
Eine Asymptote ist eine Gerade oder Kurve, zu der der Abstand des Funktionsgraphen in einer bestimmten Richtung beliebig klein wird.
Dass ein Graph eine Asymptote besitzt, bedeutet nicht automatisch, dass er sie niemals berühren oder schneiden darf. Entscheidend ist das Annäherungsverhalten am betrachteten Rand.
Die vier wichtigen Arten sind:
- waagerecht: $y=c$
- senkrecht: $x=x_0$
- schief: $y=mx+b$ mit $m\ne 0$
- kurvenförmig: eine nicht lineare Funktion, zum Beispiel ein quadratisches Polynom
Gradvergleich: Welche Asymptote passt?
Eine gebrochenrationale Funktion hat die Form
$$f(x)=\frac{Z(x)}{N(x)}.$$
$Z(x)$ und $N(x)$ sind Polynome. Ihr Grad ist jeweils die höchste vorkommende Potenz von $x$.
| Vergleich der Grade | Verhalten für große $ | x | $ | Asymptote |
|---|---|---|---|---|
| $\deg Z<\deg N$ | Der Bruch geht gegen $0$. | $y=0$ | ||
| $\deg Z=\deg N$ | Die Leitkoeffizienten bestimmen den Grenzwert. | waagerecht | ||
| $\deg Z=\deg N+1$ | Polynomdivision liefert eine lineare Funktion. | schief | ||
| $\deg Z>\deg N+1$ | Polynomdivision liefert ein höhergradiges Polynom. | kurvenförmig |
Bei gleichen Graden teilst du den Leitkoeffizienten des Zählers durch den Leitkoeffizienten des Nenners.
Für
$$f(x)=\frac{x^2-2x^3+9}{5x^3+4x^2-1}$$
haben Zähler und Nenner den Grad $3$. Die Leitkoeffizienten sind $-2$ und $5$. Deshalb lautet die waagerechte Asymptote
$$y=-\frac{2}{5}.$$
Vergleiche zuerst die Grade. Sind sie gleich, zählen nur die Koeffizienten vor den höchsten Potenzen.
Senkrechte Asymptote oder hebbare Lücke?
Vor dem Gradvergleich solltest du gemeinsame Faktoren vollständig kürzen. Dadurch unterscheidest du eine Polstelle von einer hebbaren Definitionslücke.
- Bleibt eine Nennernullstelle nach dem Kürzen erhalten, liegt dort eine Polstelle und damit eine senkrechte Asymptote.
- Verschwindet der betreffende Nennerfaktor beim Kürzen, liegt an dieser Stelle eine hebbare Definitionslücke vor.
Gegeben ist
$$f(x)=\frac{2x^2+2x-12}{6x^2-12x}.$$
Zähler und Nenner lassen sich faktorisieren:
$$f(x)=\frac{2(x+3)(x-2)}{6x(x-2)}.$$
Für $x\ne 2$ darf der gemeinsame Faktor $x-2$ gekürzt werden:
$$f(x)=\frac{x+3}{3x}.$$
Der gekürzte Faktor zeigt: Bei $x=2$ befindet sich eine hebbare Definitionslücke. Der Faktor $x$ bleibt dagegen im Nenner. Deshalb ist $x=0$ eine Polstelle und
$$x=0$$
die senkrechte Asymptote.
Polynomdivision führt zur schiefen oder kurvenförmigen Asymptote
Ist der Zählergrad größer als der Nennergrad, teilst du den Zähler durch den Nenner. Es entsteht
$$f(x)=A(x)+R(x),$$
wobei $A(x)$ der Polynomanteil und $R(x)$ der Restterm ist. Geht $R(x)$ für $x\to\pm\infty$ gegen $0$, beschreibt $y=A(x)$ die Asymptote.
Für
$$f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}$$
liefert die Polynomdivision
$$f(x)=x+1+\frac{2}{x-1}.$$
Für sehr große positive oder negative $x$ geht $\frac{2}{x-1}$ gegen $0$. Der Graph nähert sich daher der schiefen Geraden
$$y=x+1.$$
Ist der Polynomanteil nicht linear, entsteht eine kurvenförmige Asymptote. Zum Beispiel gilt
$$\frac{x^3+1}{x-1}=x^2+x+1+\frac{2}{x-1}.$$
Der Restterm geht wieder gegen $0$. Deshalb lautet die kurvenförmige Asymptote
$$y=x^2+x+1.$$
Der Grad des Ergebnisses der Polynomdivision entscheidet: Grad $1$ bedeutet schiefe Asymptote, ein höherer Grad bedeutet kurvenförmige Asymptote.
Asymptoten bei Exponentialfunktionen
Bei Exponentialfunktionen untersuchst du die Grenzwerte für $x\to+\infty$ und $x\to-\infty$ getrennt. Ein endlicher Grenzwert $c$ ergibt auf der betreffenden Seite die waagerechte Asymptote $y=c$.
Gegeben ist
$$f(x)=x^2e^{2x+1}+2.$$
Für $x\to+\infty$ wächst die Funktion ohne endliche Grenze. Für $x\to-\infty$ geht der exponentielle Faktor $e^{2x+1}$ so stark gegen $0$, dass auch das Produkt $x^2e^{2x+1}$ gegen $0$ geht. Somit gilt auf dieser Seite
$$f(x)\to 2.$$
Die Funktion besitzt für $x\to-\infty$ die waagerechte Asymptote $y=2$.
Eine Asymptote kann nur auf einer Seite auftreten. Prüfe deshalb die Richtungen $x\to+\infty$ und $x\to-\infty$ einzeln.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Asymptoten bestimmen
- Zuerst gemeinsame Faktoren kürzen
- Verbleibende Nennernullstellen ergeben senkrechte Asymptoten
- Gleiche oder kleinere Zählergrade führen zu waagerechten Asymptoten
- Größere Zählergrade verlangen eine Polynomdivision
- Endliche Grenzwerte ergeben waagerechte Asymptoten
Abschluss-Check
Du kannst nun systematisch vorgehen: kürzen, Nennernullstellen prüfen, Grade vergleichen und bei Bedarf dividieren oder Grenzwerte untersuchen.