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Manche Funktionsgraphen nähern sich einer Geraden immer weiter an, ohne sie im betrachteten Verhalten wirklich zu erreichen. Diese Gerade heißt Asymptote. Sie hilft dir, das Verhalten einer Funktion für große Werte oder in der Nähe verbotener Stellen zu verstehen.
Nach dieser Seite kannst du senkrechte, waagerechte und schiefe Asymptoten unterscheiden und einfache Beispiele berechnen.
- Ich kann erklären, was eine Asymptote ist.
- Ich kann senkrechte Asymptoten an Nennernullstellen erkennen.
- Ich kann waagerechte Asymptoten aus dem Grenzverhalten deuten.
- Ich kann schiefe Asymptoten bei gebrochenrationalen Funktionen einordnen.
- Ich kann typische Verwechslungen mit Achsenschnitten vermeiden.
Was eine Asymptote ist
Eine Asymptote ist eine Gerade, der sich ein Graph annähert.
Asymptote
Eine Asymptote ist eine Gerade, der sich ein Funktionsgraph immer weiter nähert. Der Abstand zwischen Graph und Gerade wird dabei sehr klein.
Asymptoten beschreiben Verhalten. Sie sind nicht automatisch Nullstellen, Achsenabschnitte oder Tangenten.
Die Funktion \(f(x)=\frac{1}{x}\) hat zwei Asymptoten: die y-Achse \(x=0\) und die x-Achse \(y=0\).
Asymptoten zeigen, wohin der Graph strebt, nicht unbedingt wo er schneidet.
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Senkrechte Asymptoten
Senkrechte Asymptoten entstehen oft dort, wo ein Nenner 0 wird und die Funktion nicht definiert ist.
Senkrechte Asymptote
Eine senkrechte Asymptote hat die Form \(x=a\). Der Graph wächst oder fällt in der Nähe dieser Stelle unbegrenzt.
\(f(x)=\frac{2}{x-3}\) ist bei \(x=3\) nicht definiert. Dort wird der Nenner 0.
Die senkrechte Asymptote ist:
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Waagerechte und schiefe Asymptoten
Waagerechte Asymptoten beschreiben, welchem y-Wert sich eine Funktion für sehr große oder sehr kleine x-Werte nähert.
Waagerechte Asymptote
Eine waagerechte Asymptote hat die Form \(y=c\). Der Graph nähert sich für große positive oder negative x-Werte diesem y-Wert.
\(f(x)=\frac{3x+1}{x+2}\) hat für große \(x\) ungefähr den Wert \(\frac{3x}{x}=3\). Die waagerechte Asymptote ist \(y=3\).
Schiefe Asymptote
Eine schiefe Asymptote ist eine schräge Gerade \(y=mx+b\), der sich der Graph annähert.
\(f(x)=x+1+\frac{2}{x}\) nähert sich für große \(|x|\) der Geraden \(y=x+1\), weil \(\frac{2}{x}\) gegen 0 geht.
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Prüfungsmodus
Trenne Definitionslücke, Asymptote und Schnittpunkt sauber. Nicht jede Nennernullstelle bleibt eine Asymptote, wenn sich ein Faktor kürzen lässt.
\(f(x)=\frac{x-1}{x-1}\) ist für \(x=1\) nicht definiert, aber sonst gleich 1. Bei \(x=1\) gibt es eine Lücke, keine senkrechte Asymptote.
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
Asymptoten beschreiben, wie sich ein Graph an Rändern oder nahe verbotenen Stellen verhält. Senkrechte Asymptoten kommen oft von Nennernullstellen, waagerechte und schiefe Asymptoten vom Verhalten für große x-Werte.