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Gebrochenrationale Funktionen analysieren
Eine gebrochenrationale Funktion ist ein Quotient aus zwei Polynomen. Um ihren Graphen zu verstehen, untersuchst du zuerst den ursprünglichen Nenner, dann gemeinsame Faktoren und schließlich das Verhalten an Lücken und im Unendlichen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du eine gebrochenrationale Funktion?
Eine Funktion ist gebrochenrational, wenn sie sich als Quotient zweier Polynome schreiben lässt:
$$f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$$
Dabei darf $q$ nicht das Nullpolynom sein. Für einen konkreten Wert $x$ muss außerdem $q(x)\ne 0$ gelten, denn eine Division durch null ist nicht definiert.
Zählergrad und Nennergrad
Der Zählergrad ist die höchste Potenz von $x$ im Zählerpolynom $p(x)$. Der Nennergrad ist die höchste Potenz von $x$ im Nennerpolynom $q(x)$.
- Ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad, heißt die Funktion echt gebrochenrational.
- Ist der Zählergrad mindestens so groß wie der Nennergrad, heißt sie unecht gebrochenrational. Dann kannst du durch Polynomdivision einen ganzrationalen Anteil und einen echt gebrochenrationalen Rest erhalten.
Bei
$$g(x)=\frac{3x^2-2x+1}{x^3+1}$$
ist der Zählergrad $2$ und der Nennergrad $3$. Deshalb ist $g$ echt gebrochenrational.
Bei
$$h(x)=\frac{x^2+1}{x^2-1}$$
sind beide Grade $2$. Deshalb ist $h$ unecht gebrochenrational.
Warum kommt der Definitionsbereich zuerst?
Jede Nullstelle des ursprünglichen Nenners ist ausgeschlossen. Schreibe diese Werte auf, bevor du kürzt.
$$D_f=\{x\in\mathbb R\mid q(x)\ne 0\}$$
Wir untersuchen im weiteren Verlauf
$$f(x)=\frac{x^2-3x-10}{x^2-2x-15}.$$
Der Nenner lässt sich faktorisieren:
$$x^2-2x-15=(x-5)(x+3).$$
Er wird bei $x=5$ und $x=-3$ null. Daher gilt schon vor jedem Kürzen:
$$D_f=\mathbb R\setminus\{-3;5\}.$$
Auch der Zähler zerfällt in Faktoren:
$$x^2-3x-10=(x-5)(x+2).$$
Für erlaubte $x$ kannst du nun kürzen:
$$f(x)=\frac{(x-5)(x+2)}{(x-5)(x+3)}=\frac{x+2}{x+3},\qquad x\ne5.$$
Der Faktor $(x-5)$ verschwindet aus der vereinfachten Schreibweise. Ohne die ursprüngliche Ausschlussbedingung wäre der gekürzte Term $\frac{x+2}{x+3}$ bei $x=5$ definiert. Die ursprüngliche Funktion $f$ bleibt dort jedoch undefiniert; für sie gehört deshalb die Bedingung $x\ne5$ immer dazu.
Erst ausschließen, dann kürzen. Kürzen macht eine ursprüngliche Nennernullstelle niemals wieder erlaubt. Außerdem darfst du nur gemeinsame Faktoren kürzen, keine Summanden.
Ist die Lücke ein Loch oder eine Polstelle?
Eine ursprüngliche Nennernullstelle erzeugt immer eine Definitionslücke. Nach vollständigem Faktorisieren und Kürzen erkennst du ihre Art.
Hebbare Definitionslücke
Wird der verantwortliche Nennerfaktor vollständig gekürzt, nähert sich der Graph einem endlichen Punkt. Die ursprüngliche Funktion bleibt dort undefiniert: Im Graphen liegt ein Loch.
Polstelle
Bleibt der Faktor nach dem Kürzen im Nenner, wächst der Betrag der Funktionswerte in der Nähe der Stelle unbegrenzt. Dort liegt eine Polstelle und damit eine senkrechte Asymptote vor.
Beim Leitbeispiel ist $x=5$ eine hebbare Lücke. Die Höhe des Lochs erhältst du aus dem gekürzten Term:
$$\frac{5+2}{5+3}=\frac78.$$
Das Loch liegt also bei $(5\mid\frac78)$.
Bei $x=-3$ bleibt der Faktor $(x+3)$ im Nenner. Deshalb ist $x=-3$ eine Polstelle und die Gerade $x=-3$ eine senkrechte Asymptote.
Für die Richtung betrachtest du beide Seiten getrennt. In der Nähe von $-3$ ist der Zähler $x+2$ negativ. Links von $-3$ ist auch $x+3$ negativ, rechts davon positiv. Daher gilt:
$$\lim_{x\to-3^-}f(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to-3^+}f(x)=-\infty.$$
Die Vorzeichen wechseln an diesem Pol. Allgemein hilft die verbleibende Vielfachheit des Nennerfaktors: Eine ungerade Vielfachheit führt bei sonst nicht verschwindenden Faktoren zu einem Vorzeichenwechsel, eine gerade nicht.
Der Ausdruck $0/0$ entscheidet noch nichts. Er kann auf einen gemeinsamen Faktor hinweisen. Erst nach vollständigem Faktorisieren siehst du, ob der Faktor ganz verschwindet, im Nenner bleibt oder nach dem Kürzen noch im Zähler vorkommt.
Welche Nullstellen und Asymptoten hat der Graph?
Eine Funktionsnullstelle muss zwei Bedingungen erfüllen:
$$p(x)=0\quad\text{und}\quad q(x)\ne0.$$
Im Leitbeispiel liefert der Zähler die Kandidaten $x=5$ und $x=-2$. Der Wert $5$ ist ausgeschlossen. Deshalb besitzt $f$ nur die Nullstelle $x=-2$.
Für das Verhalten im Unendlichen vergleichst du die Grade oder führst eine Polynomdivision durch.
| Gradvergleich | Verhalten für $x\to\pm\infty$ | Asymptotische Beschreibung |
|---|---|---|
| Zählergrad $<$ Nennergrad | $f(x)\to0$ | waagerechte Asymptote $y=0$ |
| Zählergrad $=$ Nennergrad | Quotient der Leitkoeffizienten | waagerechte Asymptote |
| Zählergrad $=$ Nennergrad $+1$ | linearer Quotient aus der Polynomdivision | schiefe Asymptote |
| Graddifferenz größer als $1$ | Quotient höheren Grades | ganzrationale Näherungskurve, keine schiefe Gerade |
Beim Leitbeispiel sind die ursprünglichen Grade gleich und die Leitkoeffizienten beide $1$. Daher ist $y=1$ die waagerechte Asymptote. Noch genauer zeigt die Umformung
$$\frac{x+2}{x+3}=1-\frac1{x+3},$$
wie sich der Graph nähert:
$$\lim_{x\to+\infty}f(x)=1\text{ von unten},\qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=1\text{ von oben}.$$
Für
$$u(x)=\frac{x^3-27}{2x^2}$$
führst du die Polynomdivision so aus:
- Teile die führenden Terme: $x^3:2x^2=\frac12x$. Das ist der erste Quotiententerm.
- Multipliziere zurück: $\frac12x\cdot2x^2=x^3$.
- Subtrahiere vom Zähler: $(x^3-27)-x^3=-27$. Der Rest ist also $-27$.
Damit gilt
$$u(x)=\frac12x-\frac{27}{2x^2}.$$
Der Restterm geht für $x\to\pm\infty$ gegen $0$. Deshalb ist
$$y=\frac12x$$
eine schiefe Asymptote. Da $-\frac{27}{2x^2}<0$ für alle erlaubten $x$ gilt, liegt der Graph an beiden Enden unter dieser Geraden.
Eine senkrechte Asymptote entsteht an einer Polstelle. Eine waagerechte oder schiefe Asymptote beschreibt dagegen das Verhalten für große Beträge von $x$. Diese Arten darfst du nicht gleichsetzen.
So führst du eine vollständige Analyse durch
Gehe immer in derselben Reihenfolge vor:
- Faktorisiere den ursprünglichen Nenner und notiere alle ausgeschlossenen Werte.
- Faktorisiere den Zähler und kürze nur gemeinsame Faktoren.
- Klassifiziere jede ursprüngliche Nennernullstelle als hebbare Lücke oder Polstelle.
- Berechne bei einer hebbaren Lücke die Lochhöhe mit dem gekürzten Term.
- Bestimme erlaubte Zählernullstellen.
- Ermittle senkrechte, waagerechte oder schiefe Asymptoten und das Randverhalten.
- Trage Asymptoten, Nullstellen und Löcher ein. Nutze bei Bedarf Stützpunkte für die Skizze.
Vollständiges Ergebnis für das Leitbeispiel
Für
$$f(x)=\frac{x^2-3x-10}{x^2-2x-15}$$
erhältst du:
- Definitionsbereich: $D_f=\mathbb R\setminus\{-3;5\}$
- gekürzter Term: $f(x)=\frac{x+2}{x+3}=1-\frac1{x+3}$ für $x\ne5$
- Nullstelle: $(-2\mid0)$
- hebbare Lücke: $(5\mid\frac78)$
- Polstelle und senkrechte Asymptote: $x=-3$
- am Pol: links $+\infty$, rechts $-\infty$
- waagerechte Asymptote: $y=1$
- im Unendlichen: rechts Annäherung an $1$ von unten, links von oben
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Beim Analysieren hältst du zuerst die Nullstellen des fest. Wird ein Nennerfaktor vollständig gekürzt, entsteht dort eine . Bleibt er im Nenner, kann dort eine liegen. Eine Zählernullstelle ist nur dann eine Funktionsnullstelle, wenn der Wert im liegt.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Gebrochenrationale Funktion untersuchen
- Zuerst: ursprünglichen Nenner faktorisieren und Definitionsbereich festhalten
- Hebbare Lücke: gemeinsamer Nennerfaktor verschwindet vollständig
- Polstelle: Faktor bleibt nach dem Kürzen im Nenner
- Danach: erlaubte Zählernullstellen bestimmen
- Senkrechte Asymptote: Verhalten an einer Polstelle
- Waagerechte Asymptote: bei gleichen Graden aus den Leitkoeffizienten
- Schiefe Asymptote: bei Graddifferenz eins aus der Polynomdivision
Die Reihenfolge schützt dich vor dem häufigsten Fehler: Eine weggekürzte Stelle bleibt ausgeschlossen und ist daher weder eine neue erlaubte Stelle noch automatisch eine Nullstelle.